Dirac-Notation

DieDirac-Notation,auchBra-Ket-Notation,ist in derQuantenmechanikeineNotationfür quantenmechanischeZustände.Die Notation geht aufPaul Diraczurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eineKlammer(bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seineQuantenzahlencharakterisiert.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man dieVektoreneinesVektorraums$V$auch außerhalb einesSkalarproduktsmit einer spitzen Klammer alsKet$|v\rangle$.Jedem Ket$|v\rangle$entspricht einBra$\langle v|\,,$der demDualraum$V^{*}$angehört, also einelineare Abbildungvon$V$in den zu Grunde liegendenKörper$K$repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras$\langle v|$auf einen Ket$|w\rangle$wird$\langle v|w\rangle$geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einemHilbertraumhandelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus demSatz von Fréchet-Riesz,denF. RieszundM. Fréchet1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraumisometrischisomorphzueinander sind. In unserem Zusammenhang: Zu jedem Ket$|v\rangle$existiert das entsprechende Bra$\langle v|$,und umgekehrt.

Darstellung

Sei$v$ein Vektor eineskomplexen$m$-dimensionalen Vektorraums$\left(v\in \mathbb {C} ^{m}\right)$.Der Ket-Ausdruck$\left|v\right\rangle$kann alsSpaltenvektormit komplexen Elementen$v_{n}$($v_{n}\in \mathbb {C}$)dargestelltwerden:

$\left|v\right\rangle \doteq {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{m}\end{pmatrix}}$

Wichtig ist dabei, dass$\left|v\right\rangle$und der dazugehörige Spaltenvektor$(v_{1},v_{2},v_{3},\dotsc,v_{m})^{T}$nichtdasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf.Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einerBasisunabhängig ist, während die Darstellung durchKoordinatenvektorendie Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei$(v_{1},v_{2},v_{3},\dotsc,v_{m})^{T}$um dieDarstellungvon$\left|v\right\rangle$handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie$\Rightarrow$,$\doteq$,$\leftrightarrow$etc. erfolgen.

Der Bra-Ausdruck$\left\langle v\right|$kann demnach als Zeilenvektor mit denkonjugiertenWerten dargestellt werden:

$\left\langle v\right|\doteq {\begin{pmatrix}v_{1}^{*}&v_{2}^{*}&v_{3}^{*}&\dotso &v_{m}^{*}\end{pmatrix}}$

Beispiele

Teilchen mit Spin

Durch die Notation$|1s,{\uparrow }\rangle$kann einElektronim Zustand 1s mitSpinup desWasserstoffatomsbezeichnet werden.

Photon

DerPolarisationszustandeinesPhotonskann alsÜberlagerungzweier Basiszustände$|V\rangle$(vertikal polarisiert) und$|H\rangle$(horizontal polarisiert), angegeben werden:

$|\gamma \rangle =\ Alpha |V\rangle +\beta |H\rangle$,

wobei

$\ Alpha,\beta \in \mathbb {C}$

und

$\ Alpha ^{*}\ Alpha +\beta ^{*}\beta =|\ Alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$.

System aus mehreren Bosonen

Gegeben sei eine Anzahl von$n$Bosonen$q_{k}$mit jeweils einem bestimmten Impuls$p_{k}=k{\frac {2\pi }{L}}$.Der Zustand lässt sich mittels der Dirac-Notation kompakt abbilden:

$n$	Zustandsvektor	Besetzungs­zahl­darstellung	Erläuterung
0	$\left|0\right\rangle$	$\left|00\right\rangle$	0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
1	$\left|q_{1}\right\rangle$	$\left|10\right\rangle$	1 Teilchen befindet sich im Zustand 1. 0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
1	$\left|q_{2}\right\rangle$	$\left|01\right\rangle$	0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
2	$\left|q_{1},q_{1}\right\rangle$	$\left|20\right\rangle$	2 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
2	$\left|q_{1},q_{2}\right\rangle =\left|q_{2},q_{1}\right\rangle$	$\left|11\right\rangle$	1 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 1 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
2	$\left|q_{2},q_{2}\right\rangle$	$\left|02\right\rangle$	0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 2 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
3	$\left|q_{1},q_{1},q_{1}\right\rangle$	$\left|30\right\rangle$	3 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
3	$\left|q_{1},q_{1},q_{2}\right\rangle =\left|q_{1},q_{2},q_{1}\right\rangle =\left|q_{2},q_{1},q_{1}\right\rangle$	$\left|21\right\rangle$	2 Teilchen befinden sich im Zustand 1. 1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

Skalarprodukt

DasSkalarprodukteines Bra$\langle \phi |$mit einem Ket$|\psi \rangle$wird in Bra-Ket-Notation geschrieben als:

$\langle \phi |\psi \rangle:=\left(\langle \phi |\right)\cdot \left(|\psi \rangle \right)$

Dies kann als Anwendung des Bras$\langle \phi |$auf den Ket$|\psi \rangle$aufgefasst werden.

Für komplexe Zahlen$c_{1}$und$c_{2}$gilt:

$\langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle$(Linearität)

Aufgrund derDualitätsbeziehunggilt außerdem:

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{*}$(komplexe Konjugation)

Tensorprodukt

DasTensorprodukteines Ket$|\phi \rangle$mit einem Bra$\langle \psi |$wird geschrieben als

$\phi \otimes \psi \ \ =:\ \ |\phi \rangle \langle \psi |$

Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.

Für eine vollständigeOrthonormalbasis$\{|1\rangle,|2\rangle,\dotsc,|N\rangle \}$führt die Operation

$|1\rangle \langle 1||\psi \rangle =\langle 1|\psi \rangle |1\rangle =c_{1}|1\rangle$

eine Projektion auf den Basiszustand$|1\rangle$aus. Dies definiert denProjektionsoperatorauf den Unterraum des Zustands$|1\rangle$:

$|1\rangle \langle 1|$

Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist derEinheitsoperator$I$,der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt zu

$I=\sum _{n=1}^{N}|n\rangle \langle n|$.

(In unendlich-dimensionalen Hilberträumen ist bei diskreter Basis der Limes$N\to \infty$zu betrachten.)

Diese „Darstellung des Einheitsoperators “ist insbesondere deshalb von so herausragender Bedeutung, da man damit jedenZustand$|a\rangle$in einer beliebigenBasisentwickeln kann.

Ein Beispiel einerBasisentwicklung durch Einschieben der Eins:

$|a\rangle =I|a\rangle =\sum _{n=1}^{N}|n\rangle \underbrace {\langle n|a\rangle } _{=:\ Alpha _{n}}=\sum _{n=1}^{N}\ Alpha _{n}|n\rangle$

Dies ist die Darstellung des Zustands-Kets$|a\rangle$in der$n$-Basis durch das sogenannteEinschieben der Eins.

Dass diesimmerfunktioniert, ist eine unmittelbare Konsequenz derVollständigkeitdes Hilbertraums, in dem die Zustände, also dieKets,'leben'.

Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden. So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über das Ortskontinuum und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen$\mathbb {R} ^{3}$:

$I=\sum _{\text{kont. Basis}}|{\vec {x}}\rangle \langle {\vec {x}}|=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,\,\mathrm {d} ^{3}\!x\,|{\vec {x}}\rangle \langle {\vec {x}}|$

Natürlich ist auch mit einer solchen kontinuierlichen Basis eine Basisentwicklung möglich, was in der Regel auf einFourierintegralführt. Technisch handelt es sich dabeinichtum eine Entwicklung nach Basisvektoren des Hilbertraums, da es in den betrachtetenseparablen Räumenkein Kontinuum von paarweise orthogonalen Vektoren geben kann: Vektoren der Art$|{\vec {x}}\rangle$bilden vielmehr eine mathematisch nicht-triviale Erweiterung des betrachteten Hilbertraums, und man nennt sie daher auch manchmal „uneigentliche Vektoren “, weil sie wie dieDeltafunktionoder wie monochromatischeebene Wellennicht quadratintegrierbar sind. (Auch der Begriff derOrthogonalitätmuss hierbei verallgemeinert werden, indem man statt der sonst üblichenKroneckersymbole$\delta _{i,j}$Deltafunktionen benutzt.)

Beachtet man bei Rechnungen diese Details, die im Grunde nur auf die „Rezepte “$\sum _{i}\to \int _{\mathbb {R} ^{3}}\,\,\mathrm {d} ^{3}\!x\,$und$\delta _{i,j}\to \delta (x_{i}-x_{j})$hinauslaufen, so bleibt die Basisentwicklung eine brauchbare Analogie.

Darstellungen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.

Die Projektion auf eine bestimmte Basis wirdDarstellunggenannt. Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik alspartielle Differentialgleichunggeschrieben werden kann.

• Darstellung in der Ortsraum-Basis (Ortsdarstellung):

Sei$|{\vec {x}}\rangle$ein Eigenzustand desOrtsoperators${\hat {x}}$mit der Eigenschaft

${\hat {x}}|{\vec {x}}\rangle ={\vec {x}}|{\vec {x}}\rangle$.

Die Wellenfunktion$\psi ({\vec {x}})$ergibt sich durch Projektion als

$\psi ({\vec {x}})=\langle {\vec {x}}|\psi \rangle$

Das Skalarprodukt ist

$\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle \ =\int _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})}\langle \psi _{1}|{\vec {x}}\rangle \langle {\vec {x}}|\psi _{2}\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\!x=\int _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})}\psi _{1}({\vec {x}})^{*}\,\psi _{2}({\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}\!x$

• Darstellung in der Impulsraum-Basis (Impulsdarstellung):

Sei$|{\vec {p}}\rangle$ein Eigenzustand desImpulsoperators${\hat {p}}$mit der Eigenschaft

${\hat {p}}|{\vec {p}}\rangle ={\vec {p}}|{\vec {p}}\rangle$.

Die Wellenfunktion$\psi ({\vec {p}})$ergibt sich durch Projektion als

$\psi ({\vec {p}})=\langle {\vec {p}}|\psi \rangle \,\,\left(\equiv \,\int {\frac {e^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}}{(2\pi )^{3/2}}}\,\psi ({\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}\!x\right)$

Das Skalarprodukt ist jetzt dasselbe wie zuvor

$\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle \ =\int _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {p}})}\langle \psi _{1}|{\vec {p}}\rangle \langle {\vec {p}}|\psi _{2}\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\!p=\int _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {p}})}\psi _{1}({\vec {p}})^{*}\,\psi _{2}({\vec {p}})\,\mathrm {d} ^{3}\!p$

Allgemein gilt, dass Skalarprodukte bei einem beliebigenBasiswechselinvariant sind. Beispiele sind die Übergänge („Darstellungswechsel “) von einem vollständigen Satz von Eigenvektoren und/oder uneigentlichen EigenvektorenselbstadjungierterOperatorendes Systems zum anderen, z. B. der Übergang von einem Matrixsystem zum anderen oder der Übergang von einer Matrixdarstellung zur Orts- oder Impulsdarstellung.

• Matrixelemente einer invariant definierten„Messgröße “,mit zugeordnetem, von der benutzten Basis abhängigen Operator${\hat {A}}\,,$sind in allen Basen gleich, obwohl die Operatoren selbst im Allgemeinen unterschiedliche Darstellungen besitzen. So berechnet man etwa in der Ortsdarstellung

$\langle \psi _{1}|{\hat {A}}|\psi _{2}\rangle \ =\iint _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})\,\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}}')}\langle \psi _{1}|{\vec {x}}\rangle \langle {\vec {x}}|{\hat {A}}|{\vec {x}}'\rangle \langle {\vec {x}}'|\psi _{2}\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\!x\,\mathrm {d} ^{3}\!x'\$$=\iint _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})\,\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}}')}\psi _{1}({\vec {x}})^{*}{\hat {A}}({\vec {x}},\,{\vec {x}}')\psi _{2}({\vec {x}}')\,\mathrm {d} ^{3}\!x\,\mathrm {d} ^{3}\!x'$

Die Diagonalelemente, also die mit$|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle$,sind zugleich dieErwartungswertedes Operators in den jeweiligen Zuständen.

Symbole in Unicode

Die öffnenden und schließenden Winkel sollen inUnicodedurch die ZeichenU+27E8MATHEMATICAL LEFT ANGLE BRACKETundU+27E9MATHEMATICAL RIGHT ANGLE BRACKETaus demUnicodeblock Verschiedene mathematische Symbole-Adargestellt werden. Es gibt zwar zusätzlich die ZeichenU+2329LEFT-POINTING ANGLE BRACKETundU+232ARIGHT-POINTING ANGLE BRACKETimUnicodeblock Verschiedene technische Zeichen,aber das Unicode-Konsortium rät von deren Verwendung ab.

Literatur

Weiterführende und moderne Literatur

• Daniel M. Greenberger, Klaus Hentschel, Friedel Weinert (Hrsg.):Compendium of quantum physics: concepts, experiments, history, and philosophy.Springer, Heidelberg ; New York 2009,ISBN 978-3-540-70622-9.
• Brian C. Hall:Quantum Theory for Mathematicians(=Graduate Texts in Mathematics.Band267). Springer New York, New York, NY 2013,ISBN 978-1-4614-7115-8,doi:10.1007/978-1-4614-7116-5.
• Fred Kronz, Tracy Lupher:The Stanford Encyclopedia of Philosophy.Hrsg.: Edward N. Zalta. Winter 2021 Auflage. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2021, Quantum Theory and Mathematical Rigor (stanford.edu[abgerufen am 7. März 2022]).
• Klaas Landsman:Foundations of Quantum Theory: from classical concepts to operator algebras.Springer, 2019,ISBN 978-3-319-84738-2.
• Valter Moretti:Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory.Springer Nature, 2020,ISBN 978-3-03018348-6.
• Julian Schwinger:Quantum mechanics: symbolism of atomic measurements.Hrsg.:Berthold-Georg Englert.Springer, Berlin; London 2011,ISBN 978-3-642-07467-7.

Vgl. auchMathematische Struktur der Quantenmechanik.

Standard und klassische Werke

• P. A. M. Dirac:A new notation for quantum mechanics.In:Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.Band35,Nr.3,1939,S.416–418,doi:10.1017/S0305004100021162,bibcode:1939PCPS...35..416D(englisch).
• P. A. M. Dirac:The Principles of Quantum Mechanics.4. Auflage. Clarendon Press, Oxford 1958,ISBN 978-0-19-852011-5(englisch, Nachdruck als Paperback 1989).
• Eugen Fick:Einführung in die Grundlagen der Quantentheorie.4. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt/Main 1979.
• Ernst Schmutzer:Grundlagen der Theoretischen Physik.Band2.VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989,S.1137ff.
• Attila Szabo, Neil S. Ostlund:Modern quantum chemistry: introduction to advanced electronic structure theory.Dover Publications, Mineola, NY 1996,ISBN 978-0-486-69186-2.

Hinweis: Das Buch von Szabo-Ostlund bietet im 1. Kapitel eine kompakte, zusammenfassende Einführung in die Dirac-Notation.

Siehe auch

• Dichteoperator