Erwartungswert

DerErwartungswert(selten und doppeldeutigMittelwert) ist ein Grundbegriff derStochastik.Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einerZufallsvariablen.Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte$\pm \infty$zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist.

Hat eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert, so wird dieser häufig mit$\mu$abgekürzt; er beschreibt dann die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegendenExperimentsals Durchschnitt der Ergebnisse. DasGesetz der großen Zahlenbeschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie dieStichprobenmittelwertebei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswertkonvergieren.

Ein endlicher Erwartungswert bestimmt dieLokalisation(Lage) derVerteilungder Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischenarithmetischen MitteleinerHäufigkeitsverteilungin derdeskriptiven Statistik,jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der„wahre “MittelwerteinerZufallsvariablen(Mittelwert derGrundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eineStichprobevon Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert$\mu$immer gleich.

Siehe auch:Lageparameter (deskriptive Statistik)

Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.

Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von derenWahrscheinlichkeitsverteilungabhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihrerstes Momentbezeichnet.

Motivation

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen$X$betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß demGesetz der großen Zahlenmit wachsendem Stichprobenumfang$n$den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von$X$streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

${\begin{array}{lcl}\operatorname {E} (X)&=&1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)+5\cdot P(X=5)+6\cdot P(X=6)\\&=&(1+2+3+4+5+6)\cdot {\tfrac {1}{6}}=3{,}5.\end{array}}$

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vomZufallabhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen$X$.

Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Hat zum Beispiel eine Serie von zehnWürfelversuchendie Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, kann der zugehörige Mittelwert

${\bar {x}}=(4+2+1+3+6+3+3+1+4+5)\cdot {\tfrac {1}{10}}=3{,}2$

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrerrelativen Häufigkeitgewichtet werden:

${\bar {x}}={\tfrac {2}{10}}\cdot 1+{\tfrac {1}{10}}\cdot 2+{\tfrac {3}{10}}\cdot 3+{\tfrac {2}{10}}\cdot 4+{\tfrac {1}{10}}\cdot 5+{\tfrac {1}{10}}\cdot 6=3{,}2$.

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in$n$Würfen sich wie

$1\cdot h_{n}(1)+2\cdot h_{n}(2)+3\cdot h_{n}(3)+4\cdot h_{n}(4)+5\cdot h_{n}(5)+6\cdot h_{n}(6),$

schreiben, worin$h_{n}(k)$die relativeHäufigkeitder Augenzahl$k$bezeichnet.

Begriff und Notation

Begriff

Das Konzept des Erwartungswertes geht aufChristiaan Huygenszurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656 (Van rekeningh in spelen van geluck) beschreibt Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt “(„es ist mir so viel wert “).Frans van Schootenverwendete in seiner Übersetzung von Huygens’ Text ins Lateinische den Begriffexpectatio(„Erwartung “).Bernoulliübernahm in seinerArs conjectandiden von van Schooten eingeführten Begriff in der Formvalor expectationis(„Erwartungswert “).

Notation

Das Symbol E fürErwartungswertoderExpectationwurde in der englischsprachigen Literatur erst ab dem 20. Jahrhundert eingeführt. Heute wird in der englischsprachigen und deutschsprachigen mathematischen Literatur häufig die Schreibweise$\operatorname {E} \left(X\right)$oder$\mathbb {E} \left(X\right)$oder auch mit eckigen Klammern$\operatorname {E} \left[X\right]$bzw.$\mathbb {E} \left[X\right]$für den Erwartungswert der Zufallsvariable$X$verwendet. Gelegentlich werden auch geschweifte Klammern verwendet.

In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung$M(X)$.

Gelegentlich werden auch die Klammern um die Zufallsvariable weggelassen, was der Schreibweise fürOperatorenentspricht:$\operatorname {\it {E}} X$oder$\operatorname {\it {M}} X$.Mit der auch vorkommenden Notation$\mathbb {E} X$besteht hierbei nicht die Gefahr, dass der Operator$\mathbb {E}$mit einer Zufallsvariable verwechselt wird. Die Notation$\operatorname {E} \left[X\right]$mit den eckigen Klammern hebt speziell die Tatsache hervor, dass es sich hier um einFunktionalhandelt.

Die Bezeichnung$\mu _{X}$des Erwartungswerts der Zufallsvariable$X$betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet dieBra-Ket-NotationVerwendung. Insbesondere wird$\langle X\rangle$statt$\operatorname {E} (X)$für den Erwartungswert einer Größe$X$geschrieben.

Definitionen

Ist eine Zufallsvariablediskretoder besitzt sie eineDichte,so existieren die folgenden Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariable

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als dieSummederProdukteaus denWahrscheinlichkeitenjedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten “dieser Ergebnisse.

Ist$X$eine reellediskrete Zufallsvariable,die die Werte$(x_{i})_{i\in I}$mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten$(p_{i})_{i\in I}$annimmt (mit$I$als abzählbarerIndexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert$\operatorname {E} (X)$im Falle der Existenz mit:

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i\in I}x_{i}p_{i}=\sum _{i\in I}x_{i}P(X=x_{i})$

Es ist zu beachten, dass dabei nichts über die Reihenfolge der Summation ausgesagt wird (siehesummierbare Familie).

Ist$I=\mathbb {N}$,so besitzt$X$genau dann einen endlichen Erwartungswert$\operatorname {E} (X)$,wenn dieKonvergenzbedingung

$\lim _{a\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{a}|x_{i}|p_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|p_{i}<\infty$erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswertabsolut konvergentist.

Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen ist oft die folgende Eigenschaft hilfreich

$\operatorname {E} (X)=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(X\geq i).$

Diese Eigenschaft wird im Abschnitt über den Erwartungswert einer nicht-negativen Zufallsvariablen bewiesen.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable mit Dichtefunktion

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β). Dies entspricht der Interpretation des Erwartungswertes alsMassenmittelpunkt.

Hat eine reelle Zufallsvariable$X$eineWahrscheinlichkeitsdichtefunktion$f$,das heißt hat dasBildmaß$P^{X}$dieDichte$f$bezüglich desLebesgue-Maßes$\lambda$,so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

(1)$\displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,\mathrm {d} \lambda (x).$

In vielen Anwendungsfällen liegt (im Allgemeinenuneigentliche)Riemann-Integrierbarkeitvor und es gilt:

(2)$\displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x.$

Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn$F$Verteilungsfunktionvon$X$ist:

(3)$\displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,\mathrm {d} x.$

(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung ($f$ist Dichtefunktion und$F$ist Verteilungsfunktion von$X$) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.

Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zurZuverlässigkeitsfunktion$R(t)=1-F(t)$

$\operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }(1-F(t))\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }R(t)\,\mathrm {d} t.$

Allgemeine Definition

Der Erwartungswert wird entsprechend als dasLebesgue-Integralbezüglich desWahrscheinlichkeitsmaßesdefiniert: Ist$X$eine bezüglich dem Maß$P$integrierbare oderquasiintegrierbareZufallsvariable auf einemWahrscheinlichkeitsraum$(\Omega,\Sigma,P)$mit Werten in$({\overline {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}})$,wobei${\mathcal {B}}$dieBorelsche σ-Algebraüber${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty,\infty \}$ist, so wird definiert

$\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P=\int _{\Omega }X(\ Omega )\,\mathrm {d} P(\ Omega )=\int _{\mathbb {R} }x\,P_{X}(\mathrm {d} x)$

mit derWahrscheinlichkeitsverteilung$P_{X}=P\circ X^{-1}$.Die Zufallsvariable$X$besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn siequasiintegrierbarist, also die Integrale

$\int _{\Omega }X^{+}(\ Omega )\,\mathrm {d} P(\ Omega )$und$\int _{\Omega }X^{-}(\ Omega )\,\mathrm {d} P(\ Omega )$

nicht beide unendlich sind, wobei$X^{+}$und$X^{-}$denPositiv- sowie den Negativteilvon$X$bezeichnen. In diesem Fall kann$\operatorname {E} (X)=\infty$oder$\operatorname {E} (X)=-\infty$gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn$X$integrierbar ist, also die obigen Integrale über$X^{+}$und$X^{-}$beideendlich sind. Dies ist äquivalent mit

$\int _{\Omega }|X(\ Omega )|\,\mathrm {d} P(\ Omega )<\infty.$

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswertexistiereoder$X$sei eine Zufallsvariablemit existierendem Erwartungswert,und schließen damit den Fall$\infty$bzw.$-\infty$aus.

Erwartungswert µ und Median 𝑚

Der (endliche) Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen$X$kann aber auch am Graphen ihrerVerteilungsfunktion$F$durch eine naheliegende Flächengleichheit festgelegt werden. Es ist nämlich$\operatorname {E} (X)=\mu$mit einer reellen Zahl$\mu$genau dann, wenn in der$x$-$y$-Ebene die beiden Flächen, beschrieben durch

$x\leq \mu,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad$bzw.$\quad x\geq \mu,\;\,F(x)\leq y\leq 1,$

denselben endlichen Flächeninhalt haben, d. h. wenn

$\int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,\mathrm {d} x$

gilt und beideuneigentlichen Riemann-Integralekonvergieren. Dazu äquivalent ist die allgemeingültige Darstellung(3),ebenfalls mit konvergenten Integralen.

Elementare Eigenschaften

Linearität

Der Erwartungswert istlinearfür Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert. Es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise stochastisch unabhängige, Zufallsvariablen$X_{1},X_{2}$mit endlichen Erwartungswerten, dass

$\operatorname {E} (aX_{1}+bX_{2})=a\operatorname {E} (X_{1})+b\operatorname {E} (X_{2})$

ist. Als Spezialfälle ergeben sich

$\operatorname {E} (cX+d)=c\operatorname {E} (X)+d$,

$\operatorname {E} (cX)=c\operatorname {E} (X)$

und

$\operatorname {E} (d)=d$.

Die Linearität lässt sich auch auf endliche Summen erweitern:

$\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i})$

Die Linearität des Erwartungswertes für Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert folgt aus derLinearität des Integralsfür integrierbare Funktionen. Die Voraussetzung endlicher Erwartungswerte ist wesentlich für die Anwendung der Linearitätseigenschaft als Rechenregel. Beispielsweise ist es möglich, dass$\operatorname {E} (X_{1})=-\infty$und$\operatorname {E} (X_{2})=+\infty$und der Erwartungswert von$X_{1}+X_{2}$nicht definiert ist oder in anderen Fällen endlich ist.

Monotonie

Existieren die Erwartungswerte$\operatorname {E} (X)$und$\operatorname {E} (Y)$,so gilt

$X\leq Y\implies \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)$.

Die Voraussetzung$X\leq Y$,d. h.$X(\ Omega )\leq Y(\ Omega )$für alle$\ Omega \in \Omega$,lässt sich abschwächen zu$P(X\leq Y)=1$,d. h.$X\leq Y$fast sicher.

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten vonEreignissenlassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis$A$gilt

$\operatorname {P} (A)=\operatorname {E} (\chi _{A})\,$,

wobei$\chi _{A}$dieIndikatorfunktionvon$A$ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis derTschebyschow-Ungleichung.

Dreiecksungleichung

Es gilt

$\left|\operatorname {E} (X)\right|\leq \operatorname {E} (|X|)$

und

$\operatorname {E} (|X+Y|)\leq \operatorname {E} (|X|)+\operatorname {E} (|Y|)$.

Beispiele

Würfeln

Eine Illustration der Konvergenz von Durchschnitten des Würfelns eines Würfels zum Erwartungswert von 3,5, wenn die Anzahl an Versuchen steigt.

Das Experiment sei einWürfelwurf.Als Zufallsvariable$X$betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{6}i\cdot {\frac {1}{6}}=3{,}5$

Wenn beispielsweise 1000-mal gewürfelt wird, man also das Zufallsexperiment 1000-mal wiederholt und die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

Sankt-Petersburg-Paradoxon

DasSankt-Petersburg-Paradoxonbeschreibt ein Glücksspiel, dessen zufälliger Gewinn$X$einen unendlichen Erwartungswert hat. Gemäß der klassischen Entscheidungstheorie, die auf derErwartungswertregel$X\succcurlyeq Y\Leftrightarrow \operatorname {E} (X)\geq \operatorname {E} (Y)$basiert, sollte man daher einen beliebig hohen Einsatz riskieren. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust des Einsatzes aber$50\%$beträgt, erscheint diese Empfehlung nicht rational. Eine Lösung des Paradoxons stellt die Verwendung einer logarithmischenNutzenfunktiondar.

Zufallsvariable mit Dichte

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable$X$mit der Dichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&3\leq x\leq 3\mathrm {e},\\&\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}$

wobei$\mathrm {e}$die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von$X$berechnet sich als

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{3}x\cdot 0\,\mathrm {d} x+\int _{3}^{3\mathrm {e} }x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{3\mathrm {e} }^{\infty }x\cdot 0\,\mathrm {d} x\\&=0+\int _{3}^{3\mathrm {e} }1\,\mathrm {d} x+0=[x]_{3}^{3\mathrm {e} }=3\mathrm {e} -3=3(\mathrm {e} -1).\end{aligned}}$

Allgemeine Definition

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum$(\Omega,\Sigma,P)$mit$\Omega =\{\ Omega _{1},\ Omega _{2},\ Omega _{3}\}$,$\Sigma$diePotenzmengevon$\Omega$und$P(\{\ Omega _{i}\})={\tfrac {1}{3}}$für$i=1,2,3$.Der Erwartungswert der Zufallsvariablen$X\colon \Omega \to \mathbb {R}$mit$X(\ Omega _{1})=X(\ Omega _{2})=1$und$X(\ Omega _{3})=2$ist

$\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P=X(\ Omega _{1})P(\{\ Omega _{1}\})+X(\ Omega _{2})P(\{\ Omega _{2}\})+X(\ Omega _{3})P(\{\ Omega _{3}\})=1\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {1}{3}}+2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$

Da$X$eine diskrete Zufallsvariable ist mit$P(X=1)=P(\{\ Omega _{1},\ Omega _{2}\})={\tfrac {2}{3}}$und$P(X=2)=P(\{\ Omega _{3}\})={\tfrac {1}{3}}$,kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

$\operatorname {E} (X)=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)=1\cdot {\frac {2}{3}}+2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$

Weitere Eigenschaften

Erwartungswert einer nicht-negativen Zufallsvariable

Falls$p>0$ist und$X\in L^{p}$fast sicher nicht-negativ ist, so gilt gemäß demSatz von Fubini-Tonelli(hierbei bezeichnen die eckigen Klammern diePrädikatabbildung)

$\operatorname {E} (X^{p})=\int _{\Omega }X(\ Omega )^{p}\,\mathrm {d} P(\ Omega )=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }px^{p-1}[x\leq X(\ Omega )]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} P(\ Omega )=\int _{0}^{\infty }\int _{\Omega }px^{p-1}[x\leq X(\ Omega )]\,\mathrm {d} P(\ Omega )\,\mathrm {d} x=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P{\big (}\{\ Omega \in \Omega \mid x\leq X(\ Omega )\}{\big )}\,\mathrm {d} x$

Also ist

$\operatorname {E} (X^{p})=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P(X\geq x)\,\mathrm {d} x=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P(X>x)\,\mathrm {d} x.$

(Die letzte Gleichheit ist richtig, da$P(X=x)=0$für fast alle$x\in \mathbb {R}$.)

Für$p=1$ergibt sich der folgende bekannte Spezialfall:

$\operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }P(X\geq x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }P(X>x)\,\mathrm {d} x.$

Für ganzzahlige, nichtnegative Zufallsvariablen gilt also wegen

$\int _{n}^{n+1}P(X>x)\,\mathrm {d} x=P(X\geq n+1)$

die oben genannte Formel:

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }\int _{i}^{i+1}P(X>x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{\infty }P(X\geq i+1)=\sum _{i=1}^{\infty }P(X\geq i).$

Sigma-Additivität

Sind alle Zufallsvariablen$(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$fast sicher nichtnegativ, so lässt sich die endliche Additivität sogar zur$\sigma$-Additivität erweitern:

$\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} (X_{i})$

Erwartungswert des Produkts vonnstochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen$X_{1},\dots,X_{n}$stochastisch unabhängigsind und endliche Erwartungswerte besitzen (integrierbar sind), dann hat auch das Produkt$\prod _{i=1}^{n}X_{i}$einen endlichen Erwartungswert und es gilt

$\operatorname {E} \!\left(\prod _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i})$.

Insbesondere gilt auch

$\operatorname {E} \!\left(X_{i}X_{j}\right)=\operatorname {E} \!\left(X_{i}\right)\cdot \operatorname {E} \!\left(X_{j}\right)$für$i\neq j$.

Wenn die Zufallsvariablen$X_{1},\dots,X_{n}$stochastisch unabhängig sind und die Zufallsvariablen$g_{1}(X_{1}),\dots,g_{n}(X_{n})$endliche Erwartungswerte besitzen, dann hat auch das Produkt$\prod _{i=1}^{n}g_{i}(X_{i})$einen endlichen Erwartungswert und es gilt

$\operatorname {E} \!\left(\prod _{i=1}^{n}g_{i}(X_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}\operatorname {E} (g_{i}(X_{i}))$.

Die Voraussetzung endlicher Erwartungswerte ist wesentlich. Wenn beispielsweise zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen$X_{1}$und$X_{2}$die Erwartungswerte$\operatorname {E} (X_{1})\in \mathbb {R}$und$\operatorname {E} (X_{2})=+\infty$haben, dann ist es möglich, dass$\operatorname {E} (X_{1}X_{2})$nicht definiert ist. Die Zufallsvariable$Y$besitze eineStandard-Cauchy-Verteilung,dann ist$\operatorname {E} (Y)$nicht definiert. Andererseits gilt$Y=X_{1}X_{2}$mit$X_{1}:=\mathrm {sign} (Y)$,$X_{2}:=|Y|$,wobei$X_{1}$und$X_{2}$stochastisch unabhängig sind mit den Erwartungswerten$\operatorname {E} (X_{1})=0$und$\operatorname {E} (X_{2})=+\infty$.

Erwartungswert des Produkts von nicht stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Falls die Zufallsvariablen$X$und$Y$nicht stochastisch unabhängig sind, gilt für deren Produkt:

$\operatorname {E} \!\left(XY\right)=\operatorname {E} \!\left(X\right)\operatorname {E} \!\left(Y\right)+\operatorname {Cov} \!\left(X,Y\right)$

Dabei ist$\operatorname {Cov} \!\left(X,Y\right)$dieKovarianzzwischen$X$und$Y$.

Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable

Ist$Y$eine zusammengesetzte Zufallsvariable, sprich sind$N,X_{1},X_{2},\dots$unabhängige Zufallsvariablen und sind die$X_{i}$identisch verteilt und ist$N$auf$\mathbb {N} _{0}$definiert, so lässt sich$Y$darstellen als

$Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$.

Existieren die ersten Momente von$N,X_{1},X_{2},\dots$,so gilt

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X_{1})$.

Diese Aussage ist auch alsFormel von Waldbekannt. Sie wird z. B. in derSchadensversicherungsmathematikbenutzt.

Monotone Konvergenz

Sind die nichtnegativen Zufallsvariablen$(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$fast sicher punktweise monoton wachsend undkonvergieren fast sichergegen eine weitere Zufallsvariable$X$,so gilt

$\lim _{i\to \infty }\operatorname {E} (X_{i})=\operatorname {E} (X)$.

Dies ist derSatz von der monotonen Konvergenzin der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung.

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden Funktion

Diekumulantenerzeugende Funktioneiner Zufallsvariable ist definiert als

$g_{X}(t)=\ln \operatorname {E} (e^{tX})$.

Wird sie abgeleitet und an der Stelle 0 ausgewertet, so ist der Erwartungswert:

$\operatorname {E} (X)=g'_{X}(0)$.

Die ersteKumulanteist also der Erwartungswert.

Berechnung mittels der charakteristischen Funktion

Diecharakteristische Funktioneiner Zufallsvariable$X$ist definiert als$\varphi _{X}(t):=\operatorname {E} (e^{itX})$. Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Ableiten der Erwartungswert der Zufallsvariable bestimmen:

$\operatorname {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}$.

Berechnung mittels der momenterzeugenden Funktion

Ähnlich wie die charakteristische Funktion ist diemomenterzeugende Funktiondefiniert als

$M_{X}(t):=\operatorname {E} \left(e^{tX}\right)$.

Auch hier lässt sich der Erwartungswert einfach bestimmen als

$\operatorname {E} (X)=M_{X}'(0)$.

Dies folgt daraus, dass der Erwartungswert das erste Moment ist und die k-ten Ableitungen der momenterzeugenden Funktion an der 0 genau die k-ten Momente sind.

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Wenn$X$nur natürliche Zahlen als Werte annimmt, lässt sich der Erwartungswert für$X$auch mithilfe derwahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

$m_{X}(t):=\operatorname {E} \left(t^{X}\right)$.

berechnen. Es gilt dann

$\operatorname {E} \left[X\right]=\lim _{t\uparrow 1}m_{X}'(t)$,

falls derlinksseitige Grenzwertexistiert.

Beste Approximation

Ist$X$eine Zufallsgröße auf einemWahrscheinlichkeitsraum$(\Omega,\Sigma,P)$,so beschreibt$\operatorname {E} \left(X\right)$die beste Approximation an$X$im Sinne der Minimierung von$\operatorname {E} \left(\left(X-a\right)^{2}\right)$,wobeiaeine reelle Konstante ist. Dies folgt aus dem Satz über die beste Approximation, da

$\langle X-\operatorname {E} (X),b\rangle =0$

für alle konstanten$b$ist, wobei$\langle.,.\rangle$das$L^{2}$-Standardnormalskalarproduktbezeichne. Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition derVarianzals minimalermittlerer quadratischer Abstandsinnvoll, siehe auchFréchet-Prinzip.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Funktion einer Zufallsvariablen

$X$sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion$f_{X}$. Wenn$Y=g(X)$wieder eine Zufallsvariable ist, so kann der Erwartungswert von$Y$auf zwei Arten bestimmt werden. Entweder kann über den Zusammenhang$Y=g(X)$die Wahrscheinlichkeitsverteilung von$Y$bestimmt und dann die Definition des Erwartungswertes verwendet werde, oder aber – und dies ist häufig einfacher – es wird die Formel

$\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$

verwendet. Dieser Erwartungswert ist endlich, falls

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|g(x)\right|f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$

endlich ist.

Bei einer diskreten Zufallsvariablen$X$mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion$p_{X}$wird die Summe

$\operatorname {E} (g(X))=\sum _{i}g(x_{i})p_{X}(x_{i})$

verwendet. Enthält die Summe unendlich viele Summanden, dann muss die Reiheabsolut konvergieren,damit der Erwartungswert endlich ist.

Im allgemeinen Fall einer Zufallsvariablen$X$mit der Verteilungsfunktion$F_{X}$kann der Erwartungswert mit Hilfe des Lebesgue-Stieltjes-Integral als

$\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\mathrm {d} F_{X}(x)$

bestimmt werden.$\operatorname {E} (g(X))$ist endlich, falls$\operatorname {E} (|g(X)|)$endlich ist. Falls mindestens einer der nichtnegativen Erwartungswerte$\operatorname {E} ((g(X))^{+})=\operatorname {E} (\max(0,g(X))$und$\operatorname {E} ((g(X))^{-})=\operatorname {E} (\max(0,-g(X))$endlich ist, ist$\operatorname {E} (g(X))$=$\operatorname {E} ((g(X))^{+})-\operatorname {E} ((g(X))^{-})\in {\bar {\mathbb {R} }}$,anderenfalls ist$\operatorname {E} (g(X))$nicht definiert. Falls nicht nur endliche Erwartungswerte interessieren, müssen analoge Fallunterscheidungen auch für die Fälle einer stetigen oder diskreten Zufallsvariable vorgenommen werden, d. h. die positiven und die negativen Werte von$g(x)$müssen getrennt ausgewertet werden.

Funktion von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen$X$und$Y$eine gemeinsameWahrscheinlichkeitsdichtefunktion$f(x,y)$,so kann der Erwartungswert einer Funktion$g(X,Y)$von$X$und$Y$nach demSatz von Fubini,wenn dessen Voraussetzungen erfüllt sind, wenn also$\operatorname {E} (g(X,Y))$endlich ist oder wenn$g(X,Y)$nichtnegativ ist, als

$\operatorname {E} (g(X,Y))=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

berechnet werden. Der Erwartungswert von$g(X,Y)$ist nur dann endlich, wenn das Integral

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left|g(x,y)\right|f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

endlich ist.

Insbesondere ist:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xf(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x$

Dabei ist die Randdichte$f_{X}(x)$gegeben durch

$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,\mathrm {d} y$

Verwandte Konzepte und Verallgemeinerungen

Lageparameter

→Hauptartikel:Lagemaß (Stochastik)

Wird der Erwartungswert als Schwerpunkt der Verteilung einer Zufallsvariable aufgefasst, so handelt es sich um einen Lageparameter. Dieser gibt an, wo sich der Hauptteil der Verteilung befindet. Weitere Lageparameter sind

1. derModus:Der Modus gibt an, an welcher Stelle die Verteilung ein Maximum hat, sprich bei diskreten Zufallsvariablen die Ausprägung mit der größten Wahrscheinlichkeit und bei stetigen Zufallsvariable die Maximastellen der Dichtefunktion. Der Modus existiert zwar im Gegensatz zum Erwartungswert immer, muss aber nicht eindeutig sein. Beispiele für nichteindeutige Modi sindbimodale Verteilungen.
2. derMedianist ein weiterer gebräuchlicher Lageparameter (in einerSkizze obenmit$m$gekennzeichnet). Er gibt an, welcher Wert auf der x-Achse die Wahrscheinlichkeitsdichte so trennt, dass links und rechts des Medians jeweils die Hälfte der Wahrscheinlichkeit anzutreffen ist. Auch der Median existiert immer, muss aber (je nach Definition) nicht eindeutig sein.

Momente

Wird der Erwartungswert alserstes Momentaufgefasst, so ist er eng verwandt mit den Momenten höherer Ordnung. Da diese wiederum durch den Erwartungswert in Verknüpfung mit einer Funktion$g(\cdot )$definiert werden, sind sie gleichsam ein Spezialfall. Einige der bekannten Momente sind:

• DieVarianz:Zentrierteszweites Moment,$g(X)=(X-\mu _{X})^{2}$.Hierbei ist$\mu _{X}$der Erwartungswert.
• DieSchiefe:Zentriertes drittes Moment, normiert auf die dritte Potenz derStandardabweichung$\sigma _{X}$.Es ist$g(X)={\frac {(X-\mu _{X})^{3}}{\sigma _{X}^{3}}}$.
• DieWölbung:Zentriertes viertes Moment, normiert auf$\sigma _{X}^{4}$.Es ist$g(X)={\frac {(X-\mu _{X})^{4}}{\sigma _{X}^{4}}}$.

Bedingter Erwartungswert

Derbedingte Erwartungswertist eine Verallgemeinerung des Erwartungswertes auf den Fall, dass gewisse Ausgänge des Zufallsexperiments bereits bekannt sind. Damit lassen sichbedingte Wahrscheinlichkeitenverallgemeinern und auch diebedingte Varianzdefinieren. Der bedingte Erwartungswert spielt eine wichtige Rolle in der Theorie derstochastischen Prozesse.

Quantenmechanischer Erwartungswert

Ist$\psi (r,t)=\langle r|\psi (t)\rangle$dieWellenfunktioneines Teilchens in einem bestimmtenZustand$|\psi (t)\rangle$und ist${\hat {O}}$ein Operator, so ist

$\langle {\hat {O}}\rangle _{|\psi (t)\rangle }:=\langle \psi (t)|{\hat {O}}|\psi (t)\rangle =\int _{M^{2}}\mathrm {d} ^{n}r\,\mathrm {d} ^{n}r^{\prime }\,\psi ^{\star }(r,t)\langle r|{\hat {O}}|r^{\prime }\rangle \psi (r^{\prime },t)$

der quantenmechanischeErwartungswertvon${\hat {O}}$im Zustand$|\psi (t)\rangle$. $M$ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt,$n$ist die Dimension von$M$,und ein hochgestellter Stern steht fürkomplexeKonjugation.

Lässt sich${\hat {O}}$als formalePotenzreihe$O({\hat {r}},{\hat {p}})$schreiben (und das ist oft so), so wird die Formel verwendet

$\langle {\hat {O}}\rangle _{\psi }=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,\psi ^{\star }(r,t)O\left(r,{\frac {\hbar }{i}}\nabla _{r}\right)\psi (r,t).$

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

$\langle {\hat {r}}\rangle =\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,\psi ^{\star }(r,t)r\psi (r,t)=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,r|\psi (r,t)|^{2}=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,rf(r,t).$

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

$\langle {\hat {r}}\rangle =\int _{M}\mathrm {d} ^{n}p\,\Psi ^{\star }(p,t)i\hbar {\vec {\nabla }}_{p}\Psi (p,t),$

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben.

Erwartungswert von Matrizen und Vektoren

→Hauptartikel:Kovarianzmatrix

Sei$\mathbf {X}$eine stochastische$m\times n$-Matrix,mit den stochastischen Variablen$(X_{i,j})$als Elementen, dann ist der Erwartungswert von$\mathbf {X}$definiert als:

$\operatorname {E} \left(\mathbf {X} \right)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1,1}&X_{1,2}&\cdots &X_{1,n}\\X_{2,1}&X_{2,2}&\cdots &X_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m,1}&X_{m,2}&\cdots &X_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1,1})&\operatorname {E} (X_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{1,n})\\\operatorname {E} (X_{2,1})&\operatorname {E} (X_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{2,n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {E} (X_{m,1})&\operatorname {E} (X_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{m,n})\end{pmatrix}}$.

Falls ein$n\times 1$-Zufallsvektor$\mathbf {X}$vorliegt, gilt:

$\operatorname {E} (\mathbf {X} )=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1})\\\operatorname {E} (X_{2})\\\vdots \\\operatorname {E} (X_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\vdots \\\mu _{n}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\mu }}$.

Siehe auch

• Erwartungsnutzenfunktion
• Erwartungswertregel
• Erwartungstreue Schätzfunktion

Literatur

• Krishna B. Athreya,Soumendra N. Lahiri:Measure Theory and Probability Theory(=Springer Texts in Statistics). Springer, New York NY u. a. 2006,ISBN 0-387-32903-X(MR2247694).
• Heinz Bauer:Wahrscheinlichkeitstheorie(=De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2002,ISBN 3-11-017236-4(MR1902050).
• Kai Lai Chung:A Course in Probability Theory.3. Auflage. Academic Press, San Diego CA u. a. 2001,ISBN 0-12-174151-6(R1796326).
• Walter Greiner:Quantenmechanik.6. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2005,ISBN 3-8171-1765-5.
• Erich Härtter:Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler(=Uni-Taschenbücher.Nr.409). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974,ISBN 3-525-03114-9.
• Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.10., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013,ISBN 978-3-658-03076-6.
• Achim Klenke:Wahrscheinlichkeitstheorie.3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013,ISBN 978-3-642-36017-6.
• Norbert Kusolitsch:Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung(=Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg u. a. 2014,ISBN 978-3-642-45386-1.
• Michel Loève:Probability Theory I(=Graduate Texts in Mathematics.Band45). 4. Auflage. Springer Verlag, New York NY u. a. 1977,ISBN 3-540-90210-4(MR0651017).
• Vladimir Spokoiny,Thorsten Dickhaus:Basics of Modern Mathematical Statistics(=Springer Texts in Statistics). Springer, Heidelberg u. a. 2015,ISBN 978-3-642-39908-4(MR3289985).