Fermi-Dirac-Statistik

DieFermi-Dirac-Statistik(nach dem italienischen PhysikerEnrico Fermi(1901–1954) und dem britischen PhysikerPaul Dirac(1902–1984)) ist ein Begriff der physikalischenQuantenstatistik.Sie beschreibt das makroskopische Verhalten eines Systems, das aus vielen gleichen Teilchen vom TypFermionbesteht, und gilt z. B. für die Elektronen, die in Metallen und Halbleitern für die elektrische Leitfähigkeit sorgen.

Die Ausgangspunkte der Fermi-Dirac-Statistik sind:

• Keiner der Zustände der einzelnen Teilchen kann mit mehr als einem Teilchen besetzt sein (Pauli-Prinzip).
• Vertauscht man zwei Teilchen miteinander, erhält man keinen neuen Zustand (der in der statistischen Betrachtung extra zu zählen wäre), sondern denselben wie vorher (Prinzip derUnunterscheidbarkeit gleicher Teilchen).

DieFermi-Verteilunggibt an, mit welcherWahrscheinlichkeit$W$in einemidealen Fermigasbei gegebenerabsoluter Temperatur$T$ein Zustand derEnergie$E$von einem der Teilchen besetzt ist. In der statistischen Physik wird die Fermi-Verteilung aus der Fermi-Dirac-Statistik für gleichartigeFermionenfür den wichtigen Spezialfall derWechselwirkungsfreiheithergeleitet.

Zur vollständigen Beschreibung der Fermi-Dirac-Statistik sieheQuantenstatistik.Für eine vereinfachte Herleitung sieheideales Fermigas.

Beschreibung

Fermi-Verteilung für verschiedene Temperaturen,
zunehmende Abrundung mit steigender Temperatur
(rote Linie:T= 0 K)

Allgemeine Formel

In einem System der Temperatur$T\!\,$lautet die Fermi-Verteilung$W(E)$,die die Besetzungswahrscheinlichkeit beschreibt:

$W(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}+1}}$

mit

• der Energie$E$für den Zustand eines Teilchens,
• demchemischen Potential$\mu$(Bei$T=0\,\mathrm {K}$gilt$\mu =E_{F}$,wobei$E_{\rm {F}}$alsFermi-Niveaubezeichnet wird),
• derthermischen Energie$k_{\mathrm {B} }T$,wobei$k_{\mathrm {B} }=8{,}617\ldots \cdot 10^{-5}\,\mathrm {eV} /\mathrm {K}$dieBoltzmann-Konstanteist.

Wird die Energie$E\,$vom tiefstmöglichen Einteilchenzustand aus gerechnet, heißt$E_{\rm {F}}\,$auchFermi-Energie.Die Besetzungswahrscheinlichkeit$W$für einen Zustand mit der Energie des Fermi-Niveaus$E=E_{\rm {F}}\!\,$ist bei allen Temperaturen:

$W(E=E_{\rm {F}})={\frac {1}{\mathrm {e} ^{0}+1}}={\frac {1}{2}}\.$

Um die bei der Energie$E\,$herrschendeTeilchendichte$\langle n(E)\rangle$zu berechnen, z. B. fürElektronenin einemMetall,muss die Fermi-Verteilung noch mit derZustandsdichte$D(E)\!\,$multipliziert werden:

$\langle n(E)\rangle =W(E)\cdot D(E)\.$

Am absoluten Temperaturnullpunkt

Am absolutenTemperaturnullpunkt$T=0\,\mathrm {K}$befindet sich das Fermi-Gas als Ganzes in seinem energetisch tiefstmöglichen Zustand, also imGrundzustanddesVielteilchensystems.Da (bei genügend großer Teilchenzahl) nach demPauli-Prinzipnicht alle Teilchen den Einteilchengrundzustand besetzen können, müssen sich auch am absoluten Temperaturnullpunkt$T=0\,\mathrm {K}$Teilchen inangeregten Einteilchenzuständenbefinden. Anschaulich lässt sich das mit der Vorstellung einesFermi-Seesbeschreiben: jedes hinzugefügte Fermion besetzt den tiefstmöglichenEnergiezustand,welcher noch nicht von einem anderen Fermion besetzt ist. Die „Füllhöhe “bestimmt sich aus der Dichte der besetzbaren Zustände und der Anzahl der unterzubringenden Teilchen.

Entsprechend hat die Fermi-Verteilung für die Temperatur$T=0\,\mathrm {K}$einen scharfen Sprung bei derFermi-Energie$E_{\mathrm {F} }=\mu \!\,$,die daher auchFermi-KanteoderFermi-Grenzegenannt wird (siehe Abbildung).

• AlleZuständemit$E<E_{\rm {F}}$sind besetzt, da hier gilt:$W(E)=1$,d. h. die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand eines der Fermionen anzutreffen, ist Eins.
• Keiner der Zustände mit$E>E_{\rm {F}}$ist besetzt, da hier gilt:$W(E)=0$,d. h. die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand eines der Fermionen anzutreffen, ist Null.

Das Fermi-Niveau bei$T=0\,\mathrm {K}$ist daher durch die Anzahl und energetische Verteilung der Zustände und die Anzahl der Fermionen, die in diesen Zuständen unterzubringen sind, festgelegt. In der Formel erscheint nur eine Energiedifferenz. Gibt man die Größe der Fermi-Energie allein an, ist es die Energiedifferenz des höchsten besetzten zum tiefstmöglichen Einteilchenzustand. Zur Veranschaulichung oder zur schnellen Abschätzung von temperaturabhängigen Effekten wird diese Größe oft als Temperaturwert – dieFermi-Temperatur– ausgedrückt:

$T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\mathrm {B} }}}\!\,$.

Bei der Fermi-Temperatur wäre die thermische Energie$k_{\mathrm {B} }T\!\,$gleich der Fermi-Energie. Dieser Begriff hat nichts mit der realen Temperatur der Fermionen zu tun, er dient nur der Charakterisierung von Energieverhältnissen.

Bei endlichen Temperaturen

Die Fermi-Verteilung gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit im Gleichgewichtszustand zur Temperatur$T>0\,\mathrm {K}$an. Ausgehend von$T=0\,\mathrm {K}$werden bei Erwärmung Zustände oberhalb derFermi-Energie$E_{\mathrm {F} }(T=0\,\mathrm {K} )$mit Fermionen besetzt. Dafür bleiben gleich viele Zustände unterhalb der Fermi-Energie leer und werden alsLöcherbezeichnet.

Die scharfe Fermi-Kante ist in einem symmetrisch um$E_{\mathrm {F} }$gelegenen Intervall der Gesamtbreite$\approx 4k_{\mathrm {B} }T$abgerundet („aufgeweicht “, s. Abb.). Zustände mit kleineren Energien sind nach wie vor nahezu voll besetzt ($W\lessapprox 1$), die Zustände bei höheren Energien nur sehr schwach ($0<W\ll 1$).

Da nach wie vor die gleiche Teilchenzahl auf die möglichen Zustände mit derZustandsdichte$D(E)\!\,$zu verteilen ist, kann sich die Fermi-Energie mit der Temperatur verschieben: Ist die Zustandsdichte im Bereich der angeregten Teilchen kleiner als bei den Löchern, steigt die Fermi-Energie, im entgegengesetzten Fall sinkt sie.

Im Temperaturbereich$T\ll T_{\mathrm {F} }\,$bezeichnet man das System alsentartetes Fermi-Gas,denn die Besetzung der Zustände wird maßgeblich durch dasPauli-Prinzip(Ausschließungsprinzip) bestimmt. Dies führt dazu, dass alle Zustände mit$E<E_{\mathrm {F} }$die gleiche Wahrscheinlichkeit (von nahezu eins) haben, besetzt zu sein; dies betrifft einen im Vergleich zum Aufweichungsintervall großen Energiebereich.

Bei Energien$E$von mindestens einigen$k_{\mathrm {B} }T$oberhalb von$E_{\mathrm {F} }$,d. h. für$E-E_{\mathrm {F} }\gg k_{\mathrm {B} }T$,lässt sich die Fermi-Verteilung durch die klassischeBoltzmann-Verteilungnähern:

$W(E)\propto \exp {\left(-{\frac {E-E_{\mathrm {F} }}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}$.

Bei sehr hohen Temperaturen

„Sehr hohe Temperaturen “sind solche weit oberhalb der Fermi-Temperatur, d. h.$T\gg T_{\mathrm {F} }\Leftrightarrow k_{\mathrm {B} }T\gg E_{\mathrm {F} }$.Weil damit das Aufweichungsintervall sehr groß wird, so dass auch für Energien weit oberhalb der Fermi-Energie die Besetzungswahrscheinlichkeit merklich von null verschieden ist, führt die Teilchenzahlerhaltung dazu, dass die Fermi-Energie unter dem niedrigsten besetzbaren Niveau liegt. Das Fermi-Gas verhält sich dann wie ein klassisches Gas, es ist nichtentartet.

Fermi-Verteilung bei Metallen

Für die Leitungselektronen in einem Metall liegt die Fermi-Energie$E_{\rm {F}}\!\,$bei einigenElektronenvolt,entsprechend einer Fermi-Temperatur$T_{\mathrm {F} }\!\,$von einigen 10.000 K. Dies hat zur Folge, dass die thermische Energie$k_{\mathrm {B} }T$viel kleiner ist als die typische Breite des Leitungsbands. Es handelt sich um einentartetes Elektronengas.Der Beitrag der Elektronen zurWärmekapazitätist daher schon beiRaumtemperaturvernachlässigbar und kannstörungstheoretischberücksichtigt werden. Die Temperaturabhängigkeit der Fermi-Energie ist sehr gering (meV-Bereich) und wird oft vernachlässigt.

Fermi-Verteilung bei Halbleitern und Isolatoren

FürHalbleiterundIsolatorenliegt das Fermi-Niveau in derverbotenen Zone.Im Bereich der Fermi-Kante existieren daherkeineZustände, deren Besetzung deutlich von der Temperatur abhängen kann. Dies führt dazu, dass bei einer Temperatur$T=0\,\mathrm {K}$dasValenzbandvollständig mit Elektronen besetzt und dasLeitungsbandunbesetzt ist, und dass es bei$T>0\,\mathrm {K}$nur sehr wenige Löcher bzw. angeregte Elektronen gibt. Durch Einbringen vonFremdatomenmit zusätzlichenLadungsträgern(Donator- oder Akzeptordotierung) kann das Fermi-Niveau nach unten bzw. nach oben verschoben werden, was die Leitfähigkeit stark erhöht. In diesem Fall verschiebt sich auch mit der Temperatur das Fermi-Niveau deutlich. Daher arbeiten z. B. elektronische Schaltungen auf Basis von Halbleitern (wie im Computer) nur in einem engen Temperaturbereich richtig.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie

Schematisches Zustands-, Energie- und Besetzungsdiagramm für ein System von 7 Energie-Niveaus$E_{1}\dots E_{7}$,jeweils$D_{i}$-fach entartet und$N_{i}$-fach fermionisch besetzt.

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei festem$T>0,N$und Volumen$V$) diefreie Energie$F=E-TS$ein Minimum annimmt, kann die Fermi-Dirac-Statistik auf schöne Art hergeleitet werden. Dazu betrachten wir$N$Fermionen – beispielsweise Elektronen –, die über Niveaus$i=1,2,3\dots I$verteilt sind. Die Niveaus haben Energien$E_{1},E_{2},E_{3}\dots E_{I}$und sind jeweils$D_{1},D_{2},D_{3}\dots D_{i}$- fach entartet (s. Abb.), können demnach maximal$D_{i}$Elektronen aufnehmen (Pauli-Prinzip). Die Anzahl Elektronen im$i$-ten Niveau wird mit$N_{i}$bezeichnet. Für den Makrozustand des Systems ist unerheblich, welche der$N$Elektronen im$i$-ten Niveau sind und welche der$D_{i}$Zustände darin sie besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch die Folge der Zahlen$N_{1},N_{2},\dots$bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Elektronen auf die Niveaus gilt:

${\begin{aligned}N&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}&\qquad (1)\\E&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}E_{i}&\qquad (2)\\S&=k_{\rm {B}}\ln W&\qquad (3)&.\end{aligned}}$

Gleichung (1) gibt die Gesamtzahl der Teilchen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen$N_{i}$variiert werden, um das Minimum von$F$zu finden. Gleichung (2) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie$E$des Systems an, wie sie in die Formel für$F$einzusetzen ist. Gleichung (3) ist (nachLudwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei${\textstyle W=\prod _{i=1}^{I}W_{i}}$die thermodynamische Wahrscheinlichkeit für die betreffende Folge der Besetzungszahlen$N_{1},N_{2},\dots$,angibt, also die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils$N_{i}$Elektronen auf$D_{i}$Plätze, für alle Niveaus$i=1,2,3\dots I$zusammen.

Um die Verteilung zu finden, bei der durch Variation der$N_{i}$unter der Nebenbedingung$N=\mathrm {const}$die freie Energie$F$minimal wird, benutzen wir die Methode derLagrange-Multiplikatoren.Es ergibt sich

${\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}-\lambda {\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=0$für alle$i$.

Darin ist$\lambda$der (von$i$unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Die Ableitung

${\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=1$,

da jedes$N_{i}$genau einmal linear in der Summe vorkommt. Für die Berechnung der Ableitung${\tfrac {\partial F}{\partial N_{i}}}$wird die explizite Formel für$S$benötigt:

$S=k_{\rm {B}}\ln W=k_{\rm {B}}\ln \prod _{i=1}^{I}W_{i}=k_{\rm {B}}\sum _{i=1}^{I}\ln W_{i}$

Dabei ist

${\begin{aligned}W_{i}&={\binom {D_{i}}{N_{i}}}\\&={\frac {D_{i}!}{N_{i}![D_{i}-N_{i}]!}}.\end{aligned}}$

der Binomialkoeffizient, d. h. die Anzahl der Möglichkeiten, unter$D_{i}$Objekten$N_{i}$verschiedene auszuwählen.

Mit Hilfe der vereinfachtenStirlingformel$\ln k!\approx k\ln k-k$ergibt sich weiter

${\begin{aligned}\ln W_{i}&\approx D_{i}\ln D_{i}-D_{i}-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}-[D_{i}-N_{i}]\ln[D_{i}-N_{i}]+[D_{i}-N_{i}]\\&=D_{i}\ln D_{i}-N_{i}\ln N_{i}-[D_{i}-N_{i}]\ln[D_{i}-N_{i}]\end{aligned}}$

und damit

${\begin{aligned}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}&\approx -\ln N_{i}-1+\ln[D_{i}-N_{i}]+1\\&=-\ln N_{i}+\ln[D_{i}-N_{i}]\\&=\ln([D_{i}/N_{i}-1]).\end{aligned}}$

Insgesamt wird Gleichung (2) zu

$\lambda ={\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}={\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}-T{\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T\ln([D_{i}/N_{i}-1])$.

Einsetzen der durch$f_{i}:={\frac {N_{i}}{D_{i}}}$gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit$f_{i}$und Umstellung ergibt:

$f_{i}={\frac {1}{\exp {\frac {E_{i}-\lambda }{k_{\rm {B}}T}}+1}}$.

Dies ist die Fermi-Dirac-Statistik. Der Lagrangemultiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential$\mu =\lambda$.Da$\textstyle \exp {\frac {E_{i}-\lambda }{k_{\rm {B}}T}}>0$ist die (implizite) Nebenbedingung$f_{i}<1$für alle$i$erfüllt. Der Grenzfall$T\to 0$ergibt sich ausstetiger Fortsetzung.

Beobachtungen

InFestkörpernkann die Fermi-Verteilung sehr gut beobachtet werden, wenn die elektronische Besetzungsdichte des Leitungsbandes in Abhängigkeit von der Energie gemessen wird. Ein besonders gutes Beispiel für das ideale Fermigas liegt bei Aluminium vor. Mit solchen Studien lässt sich auch dasAuflösungsvermögeneinerMessapparaturbestimmen, indem man den Verlauf der Verteilung bei einer bestimmten Temperatur misst und mit der Formel für die Fermi-Verteilung vergleicht.

Weitere Beispiele zur Bedeutung siehe unterFermi-Energie.

Literatur

• Ellen Ivers-Tiffée, Waldemar von Münch:Werkstoffe der Elektrotechnik.10. Auflage. Vieweg+Teubner, 2007,ISBN 978-3-8351-0052-7.
• Michael Reisch:Halbleiter-Bauelemente.2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2004,ISBN 3-540-21384-8.
• U. Krey, A. Owen:Basic Theoretical Physics – a Concise Overview.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007,ISBN 978-3-540-36804-5(englisch).

Einzelnachweise

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta| Cantor| Kumaraswamy| raised Cosine| Dreieck| Trapez| U-quadratisch| stetig uniform| Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime| Bose-Einstein| Burr| Chi| Chi-Quadrat| Coxian| Erlang| Exponential| Extremwert| F| Fermi-Dirac| Folded normal| Fréchet| Gamma| Gamma-Gamma| verallgemeinert invers Gauß| halblogistisch| halbnormal| Hartman-Watson| Hotellings T-Quadrat| hyper-exponentiale| hypoexponential| invers Chi-Quadrat| scale-invers Chi-Quadrat| Invers Normal| Invers Gamma| Kolmogorow-Verteilung| Lévy| log-normal| log-logistisch| Maxwell-Boltzmann| Maxwell-Speed| Nakagami| nichtzentriert Chi-Quadrat| Pareto| Phase-Type| Rayleigh| relativistisch Breit-Wigner| Rice| Rosin-Rammler| shifted Gompertz| truncated normal| Type-2-Gumbel| Weibull| Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy| Extremwert| exponential Power| Fishersz| Fisher-Tippett (Gumbel)| generalized hyperbolic| Hyperbolic-secant| Landau| Laplace| Alpha -stabil| logistisch| normal (Gauß)| normal-invers Gauß’sch| Skew-normal| Studentsche t| Type-1-Gumbel| Variance-Gamma| Voigt