Geometrie

René Descartes,La Géometrie (Erstausgabe 1637)

Axel Helsted,„Geometrie “

DieGeometrie(altgriechischγεωμετρίαgeometria,ionischγεωμετρίηgeometriē,‚Erdmaße‘, ‚Erdmessung‘, ‚Landmessung‘) ist einTeilgebiet der Mathematik.

Einerseits versteht man unterGeometriedie zwei- und dreidimensionaleeuklidische Geometrie,dieElementargeometrie,die auch imMathematikunterricht– früher unter dem BegriffRaumlehre– gelehrt wird und die sich mitPunkten,Geraden,Ebenen,Abständen,Winkelnusw. beschäftigt, sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden.

Andererseits umfasst der BegriffGeometrieeine Reihe von großen Teilgebieten derMathematik,deren Bezug zur Elementargeometrie fürLaiennur mehr schwer erkennbar ist. Dies gilt insbesondere für den modernen Begriff der Geometrie, der im Allgemeinen die UntersuchunginvarianterGrößen bezeichnet.

Geschichte der deutschsprachigen Geometrieliteratur

Die älteste erhaltene Geometrieabhandlung in deutscher Sprache stammt vom Beginn des 15. Jahrhunderts. Es handelt sich dabei um die sogenannteGeometria Culmensis,welche im Auftrag des Deutschorden-HochmeistersKonrad von Jungingenim RaumCulmverfasst worden ist und neben dem, im Wesentlichen auf derPractica geometriaedes Dominicus de Calvasio beruhenden, lateinischen Text auch dessen deutsche Übersetzung enthält.Als erstes gedrucktes und eigenständiges Geometriebuch in deutscher Sprache giltAlbrecht DürersUnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporenaus dem Jahre 1525.

Themenbereiche

Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte, Geraden, Ebenen… heißen und deren Beziehungen untereinander durchAxiomegeregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück aufEuklid,der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:

• Projektive GeometrieundAffine Geometrie:Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffenVerbindungsgeradenvon Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren: Das Hinzufügen vonFernelementenmacht eine affine Geometrie zu einer projektiven, und das Entfernen einer Geraden bzw. einer Ebene mit ihren Punkten macht aus einer zwei- bzw. dreidimensionalen projektiven Geometrie eine affine. In wichtigen Fällen können die Punkte auf einer Geraden in der affinen Geometrie soangeordnetwerden, dass sichHalbgeradenundStreckendefinieren lassen. In diesen Fällen nennt man die affine Geometrie und ihren projektiven Abschluss 'angeordnet'.

• Euklidische Geometrie:Darunter versteht man üblicherweise die aus den Axiomen und Postulaten Euklids abgeleitete Geometrie. Weil der seit Euklid überlieferte Aufbau der Theorie noch Lücken enthielt, hatDavid Hilbertin seinenGrundlagen der Geometrie(1899 und viele weitere Auflagen) einAxiomensystemaufgestellt, aus dem er die euklidische Geometrie bis auf Isomorphie eindeutig aufbauen konnte. Danach kann diese eindeutig beschrieben werden als der dreidimensionale reelle Vektorraum, in dem die Punkte durch die Vektoren dargestellt werden und die Geraden durch die Nebenklassen der eindimensionalen Unterräume. Strecken, Senkrechtstehen, Winkel usw. werden wie in der seit Descartes üblichenanalytischen Geometrieerklärt.

• Nichteuklidische Geometrie:Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch dasParallelenpostulat(auch Parallelenaxiom genannt) nicht gilt. Man unterscheidetelliptischeundhyperbolischeGeometrien.

• Absolute Geometrie:ist der gemeinsame Unterbau der euklidischen und der nichteuklidischen Geometrien, d. h. die Menge aller Sätze, die ohne das Parallelenpostulat bewiesen werden.

In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören (also ihre Automorphismen): Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand zweier Punkte eine euklidische Invariante darstellt.Felix Kleinhat in seinemErlanger ProgrammGeometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl.Abbildungsgeometrie); jedoch ist das keineswegs die einzig mögliche Definition. Im Folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:

• Projektive Geometrie:Invarianten sind die Kollinearität von Punkten und das Doppelverhältnis (Verhältnis vonTeilverhältnissen) von vier Punkten einer Geraden (in der komplexen Zahlenebene von beliebigen vier Punkten; wenn diese auf einem Kreis liegen, ist es reell)

• Affine Geometrie:Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.

• Ähnlichkeitsgeometrie,zusätzlich zur affinen Geometrie sind Streckenverhältnisse und Winkel invariant.

• Euklidische Geometrie;zusätzliche Invarianten sind die Abstände von Punkten und die Winkel.

• Nichteuklidische Geometrie:Invariant sind die Kollinearität von Punkten, die Abstände von Punkten und die Winkel. Die beiden nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr große und weitreichende Gebiete mathematischer Forschung:

• Elementargeometrie
• DieDifferentialgeometrieist das Teilgebiet der Geometrie, in dem insbesondere Methoden derAnalysisund derTopologiezur Anwendung kommen. DieElementare Differentialgeometrie,dieDifferentialtopologie,dieRiemannsche Geometrieund die Theorie derLie-Gruppensind unter anderem Teilgebiete der Differentialgeometrie.
• Algebraische Geometrie.Man könnte sie auch als Gebiet der Algebra betrachten. Sie benutzt seit Bernhard Riemann auch Kenntnisse aus der Funktionentheorie. Als Teilgebiete der Algebraischen Geometrie sind zum Beispiel die TheorieAlgebraischer Gruppen,die TheorieAbelscher Varietätenoder auch dietorischeund dietropische Geometriezu nennen.
• Konvexgeometrie,die im Wesentlichen von Hermann Minkowski begründet wurde.
• Synthetische Geometrieführt den klassischen Ansatz der „reinen “Geometrie fort, indem anstelle algebraischer Objekte (Koordinaten, Morphismen…) abstrakte geometrische Objekte (Punkte, Geraden) und deren Beziehungen (Schnitt, Parallelität, Orthogonalität…) zugrunde gelegt werden. DieInzidenzstrukturgehört hier heute zu den allgemeinsten Ansätzen. Beispiele vonnicht linearenInzidenzstrukturen sind dieBenz-Ebenen.
• Algorithmische Geometrie(computational geometry).
• Diskrete Geometrie,die als weiteres, ältestes Untergebiet diekombinatorische Geometrieenthält und sich mit Polyedern,Pflasterungen,Packungen der Ebene und des Raumes,Matroiden,im Teilgebiet derendlichen GeometriemitInzidenzstrukturen,Blockplänenund Ähnlichem beschäftigt.

Geometrie in Schule und Unterricht

Üblicherweise werden im Geometrieunterricht Geräte wieZirkel,LinealundGeodreieck,aber auch derComputer(siehe auch:Dynamische Geometrie) verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wieLänge,Winkel,Fläche,Volumen,Verhältnisseusw. Auch komplexere Objekte wie spezielleKurvenoderKegelschnittekommen vor.Darstellende Geometrieist die zeichnerische Darstellung der dreidimensionalen euklidischen Geometrie in der (zweidimensionalen) Ebene.

Sätze

Die Aussagen werden inSätzenformuliert.

Grundlegende Sätze:

• Satz des Pythagorasund davon abgeleitet derKosinussatzsowie derTrigonometrische Pythagoras

Benennungen

Nach der Geometrie wurde der Asteroid(376) Geometriabenannt.

Siehe auch

• Sphärische Geometrie
• Formelsammlung GeometrieundFormelsammlung analytische Geometrie

Literatur

• H. S. M. Coxeter:Introduction to Geometry.
• H. S. M. Coxeter, L. Greitzer:Geometry Revisited.
• Euklid:Die Elemente.
• Georg Glaeser:Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik.2. Auflage. Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2007),ISBN 3-8274-1797-X
• David Hilbert:Grundlagen der Geometrie
• Max Koecher,Aloys Krieg:Ebene Geometrie.3. Auflage. Springer, Berlin (2007),ISBN 978-3-540-49327-3
• Hans Schupp:Elementargeometrie,UTB Schöningh, Paderborn (1977),ISBN 3-506-99189-2
• Georg Ulrich, Paul Hoffmann:Geometrie zum Selbstunterricht.5 Bände. 26. Auflage. C. Bange Verlag, Hollfeld (1977),ISBN 3-8044-0576-2(Band 1)
• M. Wagner:Das A-B-C der Geometrie.2. Auflage. C.C. Buchners Verlag, Bamberg (1920)

Weblinks

Commons:Geometry– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Geometrie– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiquote: Geometrie– Zitate

• Literatur über Geometrieim Katalog derDeutschen Nationalbibliothek
• Geometrische Beweise für die Sekundarstufe 1Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Interview(67 MB;AVI) zum ThemaGeometriemit Hans-Joachim Vollrath
• John B. Conway,Peter Doyle,Jane Gilman,Bill Thurston:Geometry and the Imagination