Gitterparameter

EinGitterparameteroder eineGitterkonstante,manchmal auchZellparametergenannt, ist entweder eineLängenangabeoder einWinkel,der zur Beschreibung einesGitters,insbesondere der kleinsten Einheit des Gitters, derElementarzelle,benötigt wird. Der Gitterparameter ist entweder eineSeitenlänge der Elementarzelleoder einWinkel zwischen den Kantender Zelle. Gitterparameter sind bedeutend in derKristallographieund derOptik.

Definition

Das Gitter wird durch periodisches Verschieben einer Elementarzelle um jeweils denselben Abstand in eine bestimmte Raumrichtung erzeugt (Gittervektor):

• Für ein eindimensionalesoptisches Gittergenügt ein einziger Gitterparameter, nämlich die Angabe des Abstandes benachbarter (paralleler) Gitterelemente.
• In zwei Dimensionen gibt es zwei verschiedene Gittervektoren und drei notwendige Gitterparameter – die Längen der beiden Gittervektoren und den Winkel zwischen ihnen.

Die Gitterkonstanten eines dreidimensionalen Gitters

• Für die Beschreibung einesdreidimensionalenGitters werden maximal sechs Parameter benötigt, drei Längen und drei Winkel. Diese sechs Parameter, die die Elementarzelle definieren, werden oft mita,b,cundα,β,γbezeichnet. Drei davon,a,bundc,sind die Längen der Gittervektoren, die die Elementarzelle aufspannen; die anderen drei,α,βundγ,sind die Winkel zwischen diesen Vektoren:
  • αder Winkel zwischenbundc,
  • βder Winkel zwischenaundc,
  • γder Winkel zwischenaundb.

Die Beschreibung eines Gitters durch Gitterparameter istnicht eindeutig,verschiedene Sätze von Gitterparametern können dasselbe Gitter beschreiben. Daher wird in der Regel als Elementarzelle diekonventionelle Zelleverwendet. Bei dieser Wahl der Einheitszelle können in den einzelnenKristallsystemenbereits einzelne Gitterparameter festliegen, so dass die Anzahl der unabhängigen Gitterparameter verringert ist:

Gittersystem		Gitterparameter
		unabhängige GP	Basisvektoren	Winkel
kubisch		a	a=b=c	α=β=γ= 90°
tetragonal		a,c	a=b≠c	α=β=γ= 90°
hexagonal		a,c	a=b≠c	α=β= 90°,γ= 120°
rhomboedrisch/ trigonal		a;α	a=b=c	α=β=γ≠ 90°
orthorhombisch		a,b,c	a≠b≠c	α=β=γ= 90°
monoklin	1st setting	a,b,c;γ	a≠b≠c	γ≠ 90°,α=β= 90°
	2nd setting	a,b,c;β	a≠b≠c	β≠ 90°,α=γ= 90°
triklin/ anorthisch		a,b,c;α,β,γ	a≠b≠c	α≠β≠γ≠ 90°

Bestimmung

Zum direkten Vermessen der Parameter von kristallinen Stoffen können dasTransmissionselektronenmikroskopoder dasRastertunnelmikroskopverwendet werden. Zumeist erfolgt die Ermittlung der Gitterparameter aber mittelsBeugungsmethoden,beispielsweise mit derRöntgenbeugung.Bei derRöntgenstrukturanalyseist die Bestimmung der Gitterparameter der erste Schritt zur Bestimmung der vollständigenKristallstruktur.

Die Zellparameter von Oberflächenstrukturen können mit Hilfe der Beugung langsamerElektronen(Low Energy Electron Diffraction,LEED) bestimmt werden.

Beispiele

Die Gitterparameter betragen:

• vonSilicium,das eineDiamantstrukturausbildet: 543,102 0511(89)pm(Die genaue Vermessung wurde im Vorfeld derNeudefinitiondesKilogrammsund desMolsdurchgeführt.)
• vonEisenmit einemkubisch raumzentriertenGitter: 286,65 pm
• fürkubisch flächenzentrierteStrukturen
  • Nickel:352,4 pm
  • Kupfer:361,48 pm
  • Silber:408,53 pm
  • Gold:407,82 pm.

Der Gitterparameter beträgt in Einheiten derBindungslänge$l$:

• im kubisch-primitiven Gitter:

$a=l$

• im kubisch-flächenzentrierten Gitter:

$a={\sqrt {2}}\cdot l\approx 1{,}414\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {2}}\cdot a}{2}}$

• im kubisch-raumzentrierten Gitter:

$a={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}\cdot l\approx 1{,}155\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {3}}\cdot a}{2}}$

• in der Diamantstruktur:

$a={\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\cdot l\approx 2{,}309\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {3}}\cdot a}{4}}$.

DieMassendichteeineskristallinenStoffs lässt sich aus den Gitterparametern bestimmen. Im einfachen Fall kubischer Gitter ist die Dichte:

$\rho =n\cdot {\frac {A_{r}\cdot u}{a^{3}}}$

mit

• der Zahlnder ganzenAtomeje Elementarzelle:
  • 8 für die Diamantstruktur
  • 4 für daskubisch flächenzentrische Gitter
  • 2 für daskubisch raumzentrische Gitter
  • 1 für das kubische primitive Gitter
• derrelativen AtommasseA_r
• deratomaren Masseneinheitu
• dem Gitterparametera.

Siehe auch

• Millersche Indizes
• Vegardsche Regel