Googol

Googol[ˈguːgɔl] ist eine englischsprachige Bezeichnung für die Zahl$10^{100}$.DieseZahlentspricht einer 1 mit 100 Nullen, ausgeschrieben:

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Der systematischedeutsche Namedieser Zahl istzehn Sexdezilliarden(oderzehn Sedezilliarden). Der entsprechende Zahlenname gemäß der in denUSAverwendetenkurzen Skalaist englischten duotrigintillion(auchdotrigintillion). Der praktische Nutzen dieser theoretischen Bezeichnungen ist gering, sodass sich nur wenige Anwendungen nachweisen lassen.

Wortschöpfung bzw. -herkunft

Der Begriff Googol wurde ab 1938 durch den amerikanischen MathematikerEdward Kasneretabliert. Er hatte zuvor seinen neunjährigen Neffen, Milton Sirotta,aufgefordert, für die Zahl$10^{100}$ein Wort zu erfinden. Kasner veröffentlichte seine Arbeiten zu dieser Zahl in seinem Buch „Mathematik und Vorstellung “.

Eigenschaften

Ein Googol ist kleiner als$70!$(sprichsiebzigFakultät):

70! = 1 · 2 · 3 · 4 ·... · 67 · 68 · 69 · 70 =

11.978.571.669.969.891.796.072.783.721.689.098.736.458.938.142.546.425.857.555.362.864.628.009.582.789.845.319.680.000.000.000.000.000

(1,19785717 × 10¹⁰⁰)

Das bedeutet, dass es mehr als ein Googol Möglichkeiten gibt, 70 Objekte unterschiedlich zu ordnen.

Die Anzahl derProtonenimsichtbaren Universumwird auf etwa$10^{80}$geschätzt, also deutlich weniger als ein Googol. Nach derInflationstheoriestellt das beobachtbare Universum jedoch nur einen winzigen Teil des gesamten Universums dar, das sich um viele Größenordnungen jenseits derBeobachtungsgrenzeerstreckt. Somit ist die Gesamtzahl der Protonen möglicherweise weitaus größer als ein Googol.

Die einzigenPrimfaktoreneines Googol, kanonisch dargestellt, sind 2 und 5:$\mathrm {Googol} =2^{100}\cdot 5^{100}$.Sein Vorgänger undNachfolgersind ebenfalls keine Primzahlen.

Rechenlimit von Taschenrechnern

WissenschaftlicheTaschenrechner,die um 1975 aufkamen, konnten erstmals 10 ZiffernstellenMantisseundeinen (Zehner-)Exponenten im Bereich −99...+99 anzeigen. Mit maximal 9,999999999 (E)99 war damit 1 Googol knapp nicht anzeigbar, jedoch eine Zahl, die dem Googol bis auf den 100-Billionsten Teil nahekam. Intern wurde typisch um 3 Stellen genauer gerechnet und damit dem Googol bis auf sein 100-Billiardstel nahe. Entsprechend konnten diese Rechner dieFakultät69! noch innerhalb weniger Sekunden berechnen, gaben jedoch beim Rechenbefehl „70 Fakultät “eine Fehlermeldung aus.

Googolplex

Als Googolplex wird die Zahl$10^{\mathrm {Googol} }=10^{(10^{100})}$bezeichnet.Ein Googolplex ist also eine 1 mit$10^{100}$Nullen. Wie oben erwähnt, ist bereits ein Googol deutlich größer als die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum. Im Vergleich zu einem Googolplex jedoch erscheint ein Googol extrem klein, wie folgendes Beispiel illustriert:

Ein Computer benötigt zur Speicherung von Zahlen bis zu einem Googol$10^{(10^{2})}$in Ganzzahlarithmetik42 Byte.Heimcomputer der 1980er Jahre kommen bei$10^{(10^{5})}$an ihre Grenzen, Hauptspeicher typischer PCs der 2010er Jahre bei$10^{(10^{10})}$,Festplatten bei$10^{(10^{13})}$.Die gesamte Menschheit hatte 2019 Speicher von etwa40 Zettabyte,das ist ausreichend für Zahlen bis zu$10^{(10^{23})}$.

Weitere Zahlen sind:

• Googolplexplex$\left(10^{\mathrm {Googolplex} }\right)$(auch als Googolplexian bezeichnet)
• Googolplexplexplex$\left(10^{\mathrm {Googolplexplex} }\right)$
• Googolplexplexplexplex$\left(10^{\mathrm {Googolplexplexplex} }\right)$
• ...

Bekannt ist, dass dieNachfolger­zahl (Googolplex + 1) keinePrimzahlist. Einer der Primfaktoren dieser Zahl ist$316.912.650.057.057.350.374.175.801.344.000.001$.

Andere Zahlensysteme

Allgemein, für alleZahlensysteme,ist ein Googol eine Eins mit der Anzahl Nullen, die demQuadratderBasisentspricht.

$\mathrm {Googol} (n)=n^{n^{2}}$

$\mathrm {Googol} (2)=2^{2^{2}}=2^{4}=1.00.00_{2}=16_{10}$

$\mathrm {Googol} (3)=3^{3^{2}}=3^{9}=1.000.000.000_{3}=19.683_{10}$

$\mathrm {Googol} (4)=4^{4^{2}}=4^{16}=1.0000.0000.0000.0000_{4}=4.294.967.296_{10}$

$\mathrm {Googol} (10)=10^{10^{2}}=10^{100}$

So entspricht ein Googol imZweiersystemnur$2^{4}=16$,ein Googolplex nur$2^{16}=65.536$,erst das Googolplexplex$2^{65.536}\approx 2{,}003530\cdot 10^{19.728}$ist deutlich größer als das Googol im Zehnersystem.

Mit der Basis desStellenwertsystemswachsen jedoch Googol und Googolplex rasant an. Ein Googolplex zur Basis$3$ist mit$3^{19.683}\approx 1{,}505416\cdot 10^{9.391}$bereits größer als ein Googol imZehnersystem.

Bekanntheit

Einige Objekte wurden nach dieser Zahl benannt:

• Google– die Suchmaschine leitet ihren Namen von Googol ab, angelehnt an das Bestreben, möglichst viele Internetseiten zuindizieren.Der Name des Firmenhauptsitzes lautetGoogleplexin Anlehnung an den Googolplex. Google verwendet eine an Googol angelehnte Domain1e100.netfür eigene Server.
• Googolgon,einPolygonmit googol (10¹⁰⁰) Ecken
• Googolgramm,ein einemPolygonmit googol (10¹⁰⁰) Ecken eingeschriebener Stern

Zitierungen des Begriffs in der Literatur:

• Googol– einRomanvonH. D. Klein;die Fortsetzung des Romans heißtGoogolplex
• Dr.Francis Googol– fiktiver Lehrmeister, der durch das SachbuchDr. Googols wundersame Welt der ZahlenvonClifford A. Pickover(englischer Originaltitel:Wonders of Numbers) führt
• Gugelplex Sterndenker– Name eines Superrechners inDouglas AdamsRomanPer Anhalter durch die Galaxis
• Der amerikanische AutorJonathan Safran Foerbenutzt den BegriffGoogolin seinem im Jahr 2005 auf Deutsch erschienenen RomanExtrem laut und unglaublich nah
• In einemPeanuts-Comic erklärtSchroederseiner VerehrerinLucy,dass die Chancen für ihre Heirat 1 zu Googol stehen

Zitierungen des Begriffs im Film:

• Googolplexheißt ein Kino von Springfield in der FernsehzeichentrickserieDie Simpsons
• Googolplexheißt ein Einkaufszentrum inDisneysZeichentrickseriePhineas und Ferb
• Im FilmZurück in die Zukunft IIInennt Dr. Emmett L. Brown („Doc Brown “) die Chance, seine Frau zu treffen, 1 zu Googolplex

Siehe auch

• Grahams Zahl– die größte jemals in einem sinnvollen mathematischen Beweis verwendete Zahl
• Skewes-Zahl– Rekordhalter vor Grahams Zahl, größer als ein Googolplex
• Potenzturm– erläutert die Schreibweise von mehreren Potenzen übereinander
• Liste besonderer Zahlen

Literatur

• Edward Kasner:New Names in Mathematics.In: Scripta Mathematica 5 (1938), Nr. 1, S. 5–14, hier v. a. S. 11–14.

Weblinks

Wiktionary: Googol– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Über Edward Kasner(englisch)
• http:// fpx.de/fp/Fun/Googolplex/
• http://whatis.techtarget /definition/0,,sid9_gci213798,00.html
• Eric W. Weisstein:Googol.In:MathWorld(englisch).
• Thomas Foregger, Pedro Sanchez, John Smith u. a.:Googol.In:PlanetMath.(englisch)