Haarsches Maß

DasHaarsche Maßwurde vonAlfréd Haarin dieMathematikeingeführt, um Ergebnisse derMaßtheoriein derGruppentheorieanwendbar zu machen.

Es ist eine Verallgemeinerung desLebesgue-Maßes.Das Lebesgue-Maß ist einMaßauf dem euklidischen Raum, das unter Translationen invariant ist. Der euklidische Raum ist einelokalkompakte topologische Gruppebezüglich der Addition. Das Haarsche Maß ist für jede lokalkompakte (im Folgenden immer alshausdorffschvorauszusetzende) topologische Gruppe definierbar, insbesondere also für jedeLie-Gruppe.Lokalkompakte Gruppen mit ihren Haarschen Maßen werden in derharmonischen Analyseuntersucht.

Definition

Ein (linkes)Haarsches Maßeiner lokalkompakten Gruppe$G$ist ein linksinvariantesreguläresBorelmaß,das auf nichtleeren offenen Teilmengen positiv ist.

Ein Maß$\mu$heißt dabei linksinvariant, wenn für jede Borelmenge$A$und jedes Gruppenelement$g$

$\mu (gA)=\mu (A)$,

oder in Integralschreibweise

$\int _{G}f(gx)\,\mathrm {d} \mu =\int _{G}f(x)\,\mathrm {d} \mu$

für integrierbare Funktionen$f$und Gruppenelemente$g$gilt.

Ersetzt man „linksinvariant “durch den analogen Begriff „rechtsinvariant “, erhält man den Begriff des rechten Haar-Maßes. Das linke und das rechte Haarmaß existieren in jeder lokalkompakten topologischen Gruppe und sind jeweils bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt. Stimmen sie beide überein, so heißt die Gruppe unimodular. Abelsche (lokalkompakte) Gruppen sowiekompakte Gruppensind unimodular.

Beweis der Existenz

Nach einer Variante desDarstellungssatzes von Riesz-Markowreicht es aus, die Existenz eines stetigen, positiven, linksinvarianten, linearen Funktionals auf den nicht-negativen, reellwertigen,stetigen Funktionen mit kompaktem Trägerauf einer lokalkompakten Gruppe$G$zu zeigen. Im reellen Fall wäre ein Beispiel für ein solches das Riemann-Integral, das sich zumLebesgue-Integralfortsetzen lässt und damit dasLebesgue-Maßinduziert. Der Beweis der Existenz istnicht-konstruktivüber denSatz von Tychonoffmöglich.

Hierzu definiert man zunächst für je zwei nicht-negative,stetige Funktionen mit kompaktem Träger$(f,\varphi )$mit$\varphi \neq 0$dieÜberdeckungszahl$(f:\varphi )$als

$(f:\varphi ):=\inf \left\{\sum _{i}c_{i}\mid c\in {\mathbb {R} ^{+}}^{n},\ n\in \mathbb {N},\ \exists g\in G^{n}\ \forall h\in G\ f(h)\leq \left(\sum _{i}c_{i}L_{g_{i}}\varphi \right)(h)\right\}$,

wobei$L_{g}f$die Linksverschiebung bezeichne, das heißt$L_{g}f(h)=f(g^{-1}h)$.Für immer „feineres “$\varphi$wird die Überdeckung dann immer „genauer “, wobei jedoch die Überdeckungszahl üblicherweise immer größer wird. Dies lässt sich durch eine Normierung in den Griff bekommen, man definiert

$I_{\varphi }(f):={\frac {(f:\varphi )}{(f_{0}:\varphi )}}$

für ein beliebiges$f_{0}$ungleich null. Dieses Funktional ist jedoch im Allgemeinen immer noch nicht linear – es ist zwarhomogen,aber im Allgemeinen nursubadditivund nicht additiv. Entscheidend für den weiteren Beweis ist dann folgende Ungleichung:

$0<(f_{0}:f)^{-1}\leq I_{\varphi }(f)\leq (f:f_{0})$.

Man betrachte nun denUmgebungsfilterdes neutralen Elements in$G$und bilde den Bildfilter unter der Abbildung, die jedem$V$die Menge aller$I_{\varphi }$zuordnet, für die der Träger von$\varphi$in$V$enthalten ist. Dadurch erhält man dank der Abschätzung einen Filter im Raum$\textstyle \prod _{f}[(f_{0}:f)^{-1},(f:f_{0})]$und dieser Raum ist nach dem Satz von Tychonoff kompakt. Der Filter besitzt somit einen Berührpunkt, man rechnet nach, dass ein solcher Berührpunkt alle gewünschten Eigenschaften hat, insbesondere linear ist, also ein linkes Haar-Integral ist.

Eigenschaften

Das Haarsche Maß einer lokalkompakten topologischen Gruppe ist genau dann endlich, wenn die Gruppekompaktist. Diese Tatsache ermöglicht es, eine Mittelung über unendliche kompakte Gruppen durchIntegrationbezüglich dieses Maßes durchzuführen. Eine Folge ist beispielsweise, dass jede endlichdimensionale komplexeDarstellungeiner kompakten Gruppe unitär bezüglich eines geeignetenSkalarproduktesist. Eine einelementige Menge hat genau dann ein Haarmaß ungleich null, wenn die Gruppe diskret ist.

Beispiele

• Das Lebesguemaß auf$\mathbb {R} ^{n}$und$\mathbb {C} ^{n}$ist das Haarsche Maß auf den additiven Gruppen$(\mathbb {R} ^{n},+)$bzw.$(\mathbb {C} ^{n},+)$.
• Sei$T$dieKreisgruppe,also die kompakte Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 mit der üblichen Multiplikation komplexer Zahlen als Verknüpfung. Bezeichnet$\lambda$das Lebesguemaß auf dem Intervall$[0,1]$und$f$die Funktion$[0,1]\rightarrow T,x\mapsto e^{2\pi ix}$,so ist das Haarsche Maß$\mu$gegeben durch dasBildmaß$\lambda \circ f^{-1}$,das heißt$\mu (A)\,=\,\lambda (f^{-1}(A))$für jede Borelmenge$A\subset T$.
• Ist$GL(n,\mathbb {R} )$dieallgemeine lineare Gruppe,so ist das Haarsche Maß durch$\mu (A)=\int _{A}{\frac {1}{|\det(u)|^{n}}}\,\mathrm {d} \lambda (u)$gegeben, wobei$\lambda$das Lebesguemaß auf$\mathbb {R} ^{n^{2}}$ist.
• Für einediskreteGruppe ist dasZählmaßHaarsches Maß.
• Das Haarsche Maß auf der multiplikativen Gruppe$\mathbb {R} ^{\times }=(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$ist durch die Formel$\mu (A)=\int _{A}{\frac {1}{|x|}}\,\mathrm {d} \lambda (x)$gegeben, wobei$\lambda$das Lebesguemaß ist.

Die modulare Funktion

→Hauptartikel:Modulare Funktion (harmonische Analyse)

Ist$\mu$ein (linksinvariantes) Haarsches Maß, dann ebenfalls die Zuordnung$A\mapsto \mu (Ag)$,wobei$g$ein festes Gruppenelement ist. Wegen der Eindeutigkeit des Haarschen Maßes existiert eine positive reelle Zahl$\Delta (g)$,so dass

$\mu (Ag)=\Delta (g)\mu (A)$.

$\Delta$ist ein stetigerGruppenhomomorphismusvon der Gruppe in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, dermodulare Funktiongenannt wird.$\Delta$misst, wie sehr ein (linkes) Haarmaß auch rechtsinvariant ist; und eine Gruppe ist genau dann unimodular, wenn ihre modulare Funktion konstant ist.

Literatur

• Lynn H. Loomis:An Introduction to Abstract Harmonic Analysis.D. van Nostrand Co., Toronto u. a. 1953.
• Donald L. Cohn:Measure Theory.Birkhäuser, Boston MA 1980,ISBN 3-7643-3003-1.