Keplersche Gesetze

Die dreiKeplerschen Gesetzesind die fundamentalen Gesetzmäßigkeiten des Umlaufs derPlanetenum dieSonne.Johannes Keplerfand die Gesetze Anfang des 17. Jahrhunderts, als er das(fast) heliozentrische System nach Kopernikusan die genauen astronomischen Beobachtungen vonTycho Braheanzupassen versuchte und dabei die Sonne als mathematischen Bezugspunkt wählte. Ende des 17. Jahrhunderts konnteIsaac Newtondie Keplerschen Gesetze in der von ihm begründetenklassischen Mechanikals exakte Lösung desZweikörperproblemsherleiten, wenn zwischen den beiden Körpern eine Anziehungskraft herrscht, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt.

Die Keplerschen Gesetze lauten:

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahn eines jeden Planeten ist eineEllipse,wobei die Sonne in einem der beidenBrennpunktesteht.

Zweites Keplersches Gesetz

Die Geschwindigkeit der Planeten auf ihrer Bahnellipse variiert so, dass ein von der Sonne zum Planeten gezogenerFahrstrahlin gleichen Zeiten gleich große Flächen überstreicht.

Drittes Keplersches Gesetz

DieQuadrateder Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die Kuben (die drittenPotenzen) der großen Halbachsen ihrerBahnellipsen.

Die Keplerschen Gesetze gelten für die Planeten im Sonnensystem in guter Näherung. Die wahren Positionen am Himmel weichen meist weniger als eineWinkelminute(ca. 1/30 Vollmonddurchmesser) von den berechneten ab. Die Abweichungen werden alsBahnstörungenbezeichnet und beruhen vor allem darauf, dass die Planeten nicht nur durch die Sonne angezogen werden, sondern sich auch untereinander anziehen. Weitere sehr viel kleinere Korrekturen können mit derallgemeinen Relativitätstheorieberechnet werden.

Die Aufstellung der Keplerschen Gesetze stellte bei der Überwindung der mittelalterlichen und Begründung der neuzeitlichen Wissenschaft einen wesentlichen Schritt dar. Sie sind bis heute von grundlegender Bedeutung in derAstronomie.

Geschichte

Keplers Ausgangspunkt

Kepler war überzeugt vom heliozentrischen System vonKopernikus(1543), weil es konzeptionell einfacher war und mit weniger angenommenen Kreisen und Parametern auskam als dasgeozentrische System von Ptolemäus,das seit ca. 150 n. Chr. vorherrschte. Das kopernikanische System ermöglichte zudem weitergehende Fragestellungen, denn erstmals wurde hier, ohne weitere Hypothesen zu bemühen, die Größe aller Planetenbahnen im Verhältnis zur Größe derErdbahneindeutig festgelegt. Für diese erstmals von Kopernikus gefundenen Größenverhältnisse suchte Kepler sein Leben lang nach einer tieferen Erklärung. Weiter war damals klar geworden, dass die Planeten nicht von festen rotierenden Kristallsphären entlang ihrerDeferentenundEpizykelbewegt werden konnten, denn nach den Beobachtungen vonTycho Brahehätte derKomet von 1577mehrere solcher Schalen durchschlagen müssen. Offenbar fanden also Kometen und Planeten selbstständig ihren Weg durch den Raum. Auch ihre Geschwindigkeiten, die sich aus der Größe ihrer Bahn und ihrer Umlaufzeit ermitteln ließen, standen zu den philosophisch begründeten Annahmen im ptolemäischen System im Gegensatz. Dass die Geschwindigkeiten längs der Bahn nicht konstant blieben, war zwar altbekannt, verlangte aber nun ebenso wie die Form der Bahnen nach einer neuen Erklärung. All dies bewog Kepler, in der Astronomie den entscheidenden Schritt zu machen, für die Planetenbewegung „physikalische “Ursachen anzunehmen, also solche, die sich wie z. B. derMagnetismusschon beim Studium irdischer Bewegungen zeigten. Damit widersprach er der bis dahin sakrosankten aristotelischen Lehre, nach der es zwischen Himmel und Erde einen prinzipiellen Gegensatz gebe, und leistete einen bedeutenden Beitrag zurkopernikanischen Wende.

Um dies genauer zu erforschen, war zuerst eine Bestimmung der tatsächlichen Planetenbahnen notwendig. Dafür standen Kepler die Daten aus Tychos jahrzehntelangen Himmelsbeobachtungen zur Verfügung, die nicht nur wesentlich genauer waren (Unsicherheit maximal ca. zwei Winkelminuten) als die auch von Kopernikus noch benutzten Daten aus der Antike, sondern sich zum ersten Mal auch über große Teile der Planetenbahnen erstreckten, statt nur auf besondere Punkte wie z. B. dieOppositionzur Sonne. Bei der Auswertung dieser Daten folgte Kepler konsequent seiner neuartigen Leitidee, dass die physikalische Ursache der Planetenbewegungen in der Sonne liegt und nicht in dem fiktiven Punkt namens „mittlere Sonne “, der von Ptolemäus eingeführt und von Kopernikus in den ansonsten leeren Mittelpunkt desjenigen Kreises gesetzt worden war, den er der Erde zugewiesen hatte. Dabei stellte Kepler sich vor, die wirkliche Sonne wirke auf die Planeten wie ein Magnet, und führte dieses Bild auch detailliert aus.

Bei seiner Arbeit betrat Kepler auch in einer zweiten Hinsicht Neuland. Zum Ausgangspunkt der Analyse der Bahnen nahm er, anders als alle früheren Astronomen, nicht die von den Philosophen seit Platon und Aristoteles vorgeschriebene gleichförmige Kreisbewegung als erste Näherung, der dann weitere gleichförmige Kreisbewegungen hinzugefügt wurden (Epizykeltheorie), um die Abweichungen von den am Himmel beobachteten Planetenpositionen möglichst gut zu erklären. Vielmehr versuchte er, aus den Himmelsbeobachtungen zunächst die tatsächlichen Bahnen und die veränderliche Geschwindigkeit, mit der die Planeten auf ihnen laufen, direkt zu rekonstruieren.

Zum Dritten betrat Kepler auch in der Art der Darstellung seiner Arbeit Neuland. Üblich war bei Astronomen bis dahin, dass sie ihr System erst im fertig ausgearbeiteten Zustand veröffentlichten. Sie erklärten, wie es Stück für Stück aufzubauen sei, indem sie für jede der nötigen Einzelannahmen philosophische oder theologische Begründungen anführten. Kepler hingegen beschrieb Schritt für Schritt den tatsächlichen Fortgang seiner jahrelangen Arbeit, einschließlich seiner zwischenzeitlichen Fehlschläge aufgrund von untauglichen Ansätzen (wie etwa eine ovale Form der Bahn). Im Jahr 1609 veröffentlichte er den ersten Teil seiner Ergebnisse mit dem bezeichnenden TitelAstronomia Novamit dem Zusatz „Neue Astronomie, ursächlich begründet, oder Physik des Himmels, […] nach Beobachtungen des Edelmanns Tycho Brahe “. Das Werk gipfelt in den beiden ersten Keplerschen Gesetzen, die für jede einzelne Planetenbahn gelten. Keplers tiefere Erklärung des gesamten Systems und der Größenverhältnisse der Planetenbahnen erschien 1619 unter dem TitelHarmonices mundi(„Harmonien der Welt “). Darin findet sich – eher beiläufig – ein Satz, der die Daten der verschiedenen Planetenbahnen aufeinander bezieht und später als das dritte Keplersche Gesetz bekannt wurde.

Keplers Vorgehensweise

Keplers erstes Ergebnis bei der Arbeit war, dass die Planetenpositionen im Zeitablauf weder in dem ptolemäischen noch in dem kopernikanischen System hinreichend genau wiedergegeben werden konnten, auch nicht nach Verbesserung einzelner Parameter, z. B. derExzentrizitäten.Er benutzte diese Modelle aber weiter als Näherung, um aus Tychos Beobachtungen diejenigen auszuwählen, die für genauere Charakterisierung der Bahnen am geeignetsten wären. So fand er als erstes bedeutendes neues Ergebnis, dass Mars und Erde gegenüber den Fixsternen (mit hinreichender Genauigkeit) auf festen, geschlossenen Bahnen umlaufen, dass beide Bahnen in leicht gegeneinander geneigten Ebenen verlaufen, und dass die Sonne auf deren Schnittlinie liegt, also zu beiden Ebenen gehört.

So konnte Kepler annehmen, dass der Mars, obwohl seine genaue Bahn noch unbekannt war, nach jedem seiner Umläufe um die Sonne wieder die gleiche Position im Weltraum einnimmt, auch wenn er von der Erde aus gesehen an verschiedenen Himmelspositionen erscheint, weil dann die Erde jedes Mal an einer anderen Stelle ihrer Bahn steht. Daraus bestimmte er zunächst die jeweilige Position der Erde mit ca. vierstelliger Genauigkeit. Auf dieser Basis wertete er die übrigen Beobachtungen des Mars aus, um dessen Bahn genauer zu bestimmen, die deutlicher von einer Kreisbahn abweicht als die Erdbahn. Als er nach vielen Fehlschlägen und langem Probieren den Maximalfehler bei der Position des Mars am Himmel nicht unter acht Winkelminuten (etwa 1/4 Vollmonddurchmesser) drücken konnte, nahm er einen weiteren Anlauf und fand – halbwegs zufällig –, dass die Marsbahn am besten durch eine Ellipse wiederzugeben ist, wobei die Sonne in einem ihrer Brennpunkte steht. Dieses Ergebnis bestätigte sich auch bei der Erdbahn, und es passte auch zu den anderen von Tycho beobachteten Planeten. Kepler war bekannt, dass auch eine ellipsenförmige Bahn exakt aus zwei Kreisbewegungen zusammengesetzt werden kann (sieheEpizykeltheorie), er beachtete diese Möglichkeit aber nicht weiter. Zur genauen Darstellung des Laufs der Planeten müssten diese Kreisbewegungen nämlich um ihre jeweiligen Mittelpunkte mit variabler Geschwindigkeit ablaufen, wofür kein physikalischer Grund ersichtlich sei:

„Kepler did not make use of the epicyclic generation of the ellipse becauseit does not agree with the natural causes which produce the ellipse […].“

Bei der anschließenden Suche nach dem Gesetz über den gesamten Aufbau des Sonnensystems, die wiederum etwa ein Jahrzehnt dauerte, verfolgte Kepler die Idee einer dem Schöpfungsplan zugrunde liegenden Harmonie. Diese sollte sich – wie im Fall der Harmonie in der Musik – in einfachen Zahlenbeziehungen auffinden lassen. Sein Ergebnis publizierte er 1619 alsHarmonice mundi(‚Harmonien der Welt‘). Für die spätere Astronomie ist darin von bleibendem Wert nur die kurze Mitteilung (im 5. Buch des Werks), nach der (in modernen Worten) die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten im selben Verhältnis zueinander stehen wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Kepler suchte auch nach einer physikalischen Erklärung, wie die Sonne auf die Planeten einwirken könne, um die beobachteten Bewegungen zu verursachen. Seine Überlegungen zu einer magnetischen Fernwirkung oder einer den Planeten innewohnendenAnima motrixblieben aber fruchtlos. 80 Jahre später konnteIsaac Newtonnachweisen, dass die drei Keplerschen Gesetze die exakte Lösung für die Bewegung eines Körpers unter der Einwirkung einerKraftnach demNewtonschen Gravitationsgesetzwiedergeben. Dies gilt als ein bedeutender Schritt bei der Entwicklung der klassischen Mechanik und der modernen Naturwissenschaft insgesamt.

Entwicklung des Geltungsbereichs

Kepler formulierte die Gesetze für diefünf Planeten,die ihm bekannt waren. Nach demkosmologischen Prinzipwird aber angenommen, dass sieüberallimUniversumgültig sind. DasheliozentrischeSonnensystemist der weitaus bedeutendste Anwendungsfall, daher werden die Keplerschen Gesetze in der Literatur häufig nur eingeschränkt für Planeten formuliert. Die Beobachtungen zeigen zwar kleine Abweichungen von meist weniger als 1' (Winkelminute), diese konnten aber im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie durch die Anziehung anderer Planeten weitestgehend erklärt werden. Die Keplerschen Gesetze gelten ebenso fürMonde,denAsteroidengürtelund dieOortsche Wolke,oder die Ringe desJupiterundSaturn,fürSternhaufenwie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einerGalaxie,und für alle anderenObjekte im Weltall.Außerdem bilden sie die Basis derRaumfahrtund erklären die Bahnen derSatelliten.

Bei weiter gesteigerter Messgenauigkeit und auch im kosmischen Maßstab beginnen sich aberrelativistischeEffekte auszuwirken, und die Differenzen zum Keplermodell dienen primär als Prüfkriterium für die entsprechenden moderneren Konzepte der Astrophysik. DiePeriheldrehungdes Merkur und die Bildungsmechanismen inSpiralgalaxienetwa lassen sich mit einem rein auf den Keplerschen Gesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

Herleitung und moderne Darstellung

Kepler suchte nach Gesetzen, mit denen die beobachteten Planetenbewegungen zu beschreiben sind. Die Gesetze, die er fand, sind daher empirisch. Newton fand 80 Jahre später das nach ihm benannteGravitationsgesetz,aus dem er diese Gesetze theoretisch herleiten konnte. Demnach gelten die Keplerschen Gesetze ebenso für alle zentralsymmetrischen Kraftfelder, bei denen die Kraft mit wachsendem Abstand der beiden Körper proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt, also insbesondere auch für die elektrostatischeCoulombkraft.

In stark abgekürzter Weise kann heute die Herleitung der Keplerschen Gesetze aus der Newtonschen Theorie der Bewegung so dargestellt werden:

• Das erste Gesetz folgt aus derClairautschen Gleichung,die eine vollständige Lösung einer Bewegung in rotationssymmetrischen Kraftfeldern beschreibt.
• Das zweite Gesetz ist eine geometrische Deutung derDrehimpulserhaltung.
• Das dritte Gesetz folgt aus derKeplergleichungmittels Integration aus dem zweiten,alternativ folgt es mittels desHodographendirekt aus den Newtonschen Gesetzen.Zudem folgt es nach dem Prinzip dermechanischen Ähnlichkeitdirekt aus dem invers-quadratischen Zusammenhang zwischen der Gravitationskraft und dem Abstand.

Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Erstes Keplersches Gesetz – Umlaufbahn des Massepunktesmum das SchwerezentrumM.Der zweitegeometrische Brennpunktder elliptischen Flugbahn ist als roter Punkt dargestellt.

DieUmlaufbahneines Trabanten um einen Stern ist eine raumfeste, ebeneEllipse,die einen ihrerBrennpunkteam Ort des Sterns hat.

Dieses Gesetz ergibt sich ausNewtonsGravitationsgesetz.

Die Energie eines Trabanten mit Masse$m$im Newtonschen Gravitationsfeld der Sonne mit Masse$M$ist inKugelkoordinatenmit der Sonne bei$r=0$

$E=E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})-{\frac {GMm}{r}}.$

Mit Hilfe desDrehimpulses$L=mr^{2}d\phi /dt$und

${\frac {dr}{dt}}={\frac {dr}{d\phi }}{\frac {d\phi }{dt}}\ \Rightarrow \ {\dot {r}}={\frac {dr}{d\phi }}{\dot {\phi }}$

lässt sich die Energiegleichung zu

$\left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}=2m{\frac {r^{4}}{L^{2}}}\left[E+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}\right]$

umformen. Diese Differentialgleichung wird mit dem Ansatz

$r(\phi )={\frac {p}{1+\varepsilon \cdot \cos \phi }}$

gelöst, der die allgemeine Formel einesKegelschnittsmit Parameter$p$undnumerischer Exzentrizität$\varepsilon$darstellt. Dazu wird die Ableitung

${\frac {dr}{d\phi }}={\frac {p\varepsilon \cdot \sin \phi }{(1+\varepsilon \cdot \cos \phi )^{2}}}={\frac {r^{2}\varepsilon \cdot \sin \phi }{p}}$

quadriert und daraus$\phi$eliminiert, was erneutes durch Einsetzen des umgestellten Ansatzes

$\varepsilon \cdot \cos \phi ={\frac {p}{r}}-1$

gelingt. Es folgt

$\left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}\varepsilon ^{2}(1-\cos ^{2}\phi )}{p^{2}}}={\frac {r^{4}}{p^{2}}}\left(\varepsilon ^{2}-\left({\frac {p}{r}}-1\right)^{2}\right)={\frac {r^{4}}{p^{2}}}\left(\varepsilon ^{2}-1+{\frac {2p}{r}}-{\frac {p^{2}}{r^{2}}}\right)$

Daher ist die Energiegleichung erfüllt, wenn die beiden Parameter wie folgt festgelegt werden:

$p={\frac {({\frac {L}{m}})^{2}}{GM}}{\text{ und }}\varepsilon ={\sqrt {1+{\frac {2{\frac {E}{m}}({\frac {L}{m}})^{2}}{G^{2}M^{2}}}}}$

Der Parameter$p$und die numerische Exzentrizität$\varepsilon$sind dieGestaltelemente der Bahn.Für den Fall$E<0$,also$0<\varepsilon <1$gilt: Der durch$r(\phi )$beschriebene Kegelschnitt ist eine Ellipse mit einem Brennpunkt bei$r=0$.Damit ist das erste Keplersche Gesetz hergeleitet. Die Ellipse besitzt folgende Eigenschaften:

Beschreibung der Ellipse

Große Halbachse	$a={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}$
Kleine Halbachse	$b={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}$
Brennpunkte (in (x,y)-Koordinaten)	$F_{1}=(0,0)$ $F_{2}=\left(-{\frac {2\varepsilon p}{1-\varepsilon ^{2}}},0\right)$
r minimal (Perizentrum)	$P=\left({\frac {p}{1+\varepsilon }},0\right)$
r maximal (Apozentrum)	$A=\left(-{\frac {p}{1-\varepsilon }},0\right)$

In dieser Herleitung wurde zur Vereinfachung das Kraftzentrum – die Sonne – als ruhend angenommen. Für die genaue Herleitung aus der Newtonschen Mechanik müssen Trabant und Sonne alsZweikörpersystembehandelt werden. Bei ruhendemMassenmittelpunktbewegen sich dann beide Körper. Aus dieser exakten Behandlung ergibt sich für die Bewegung der Körper relativ zueinander die gleiche Lösung wie oben, es muss nur die Masse$m$des Trabanten durch diereduzierte Masse$m/(1+m/M)$ersetzt werden. Es spielt auch keine Rolle, ob die Bahn vom Massenmittelpunkt, demBaryzentrum,aus beschrieben wird statt von der Sonne aus. Nur die Bahnellipse schrumpft um denselben Faktor$1/(1+m/M)$,der sich beim Erde-Sonne-System nur um 10⁻⁶von 1 unterscheidet.

Ferner ist die obige Rechnung für eine anziehende Kraft formuliert worden. Für eine abstoßende Kraft wie z. B. zwischen zwei gleichnamigen elektrischen Ladungen muss nur das Vorzeichen von$M$bzw.$p$umgedreht werden.

Zwei Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt –
hier auf Kreisbahnen als Spezialform der Ellipse

Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)

Zweites Keplersches Gesetz – ElliptischeFlugbahn(blau) eines Himmelskörpers um zweiBrennpunkte(schwarz) mitSchwerezentrumim linken Brennpunkt. Die beispielhaft ausgewählten blauen Flächen werden vomFahrstrahldes Himmelskörpers in der gleichen Zeitdauer überstrichen und sind gleich groß.

In gleichen Zeiten überstreicht derFahrstrahlgleiche Flächen.

Unter demFahrstrahlversteht man die Verbindungslinie zwischen demSchwerpunkteinesHimmelskörpers,z. B. eines Planeten oder Mondes, und demGravizentrum,z. B. in erster Näherung der Sonne respektive des Planeten, um das er sich bewegt.

Illustration zur Herleitung des Flächensatzes aus einem kleinen Zeitschritt. Die drei Hilfslinien sind Parallelen in jeweils gleichem Abstand.

Eine einfache Herleitung ergibt sich, wenn man die Flächen betrachtet, die der Fahrstrahl in kleinen Zeitabschnitten zurücklegt und die Kraft als momentanenKraftstoßnur jeweils am Ende eines Abschnitts einwirken lässt. Lässt man die Zeitschritteinfinitesimalkleiner werden, so erhält man die Bahnbewegung bei kontinuierlich einwirkender Kraft. In der Graphik rechts seiZdas Kraftzentrum. Der Trabant bewegt sich im Zeitabschnitt$\Delta t$zunächst vonAnachB.Würde sich seine Geschwindigkeit nicht ändern, so würde er sich im nächsten Zeitschritt$\Delta t$vonBnachCbewegen. Da die beiden DreieckeZABundZBCdie SeiteZBgemeinsam haben und zu dieser Seite auch eine gleich großeHöhe(Projektion vonABbzw.BCauf die Normale zuZB), beinhalten sie auch die gleiche Fläche. Wirkt nun im PunktBeine Kraft in RichtungZ,so wird die Geschwindigkeit$v$um ein$\Delta v$abgelenkt, das parallel zur StreckeZBist. Statt beiClandet der Trabant also beiC’.Da auch die beiden DreieckeZBCundZBC’dieselbe Basis und die gleiche Höhe haben, ist auch ihre Fläche gleich. Damit gilt der Flächensatz für die beiden kleinen Zeitabschnitte der Länge$\Delta t$,und nach dem Grenzübergang$\Delta t\rightarrow 0$auch für die gekrümmte Bahnkurve.

Eine formelmäßige Herleitung geht von der in einem infinitesimalen Zeitschritt überstrichenen Fläche$F$aus:

$F(t,t+\mathrm {d} t)={\frac {1}{2}}|\mathrm {r} (t)\times \mathbf {\dot {r}} (t)\mathrm {d} t|={\frac {L}{2m}}\mathrm {d} t$.

Da für eine Zentralkraft der Drehimpuls wegen

$\mathbf {\dot {L}} =m(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {\dot {r}} +\mathbf {r} \times \mathbf {\ddot {r}} )=m\mathbf {r} \times \mathbf {\ddot {r}} =m\mathbf {r} \times f(r)\mathbf {r} =\mathbf {0}$

konstant ist, ist das Flächenintegral somit gerade

$F(t_{0},t_{1})={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}|\mathbf {r} (t)\times \mathbf {\dot {r}} (t)|\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}{\frac {L}{m}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {d} t={\frac {L}{2m}}\,(t_{1}-t_{0})$.

Für gleiche Zeitdifferenzen$t_{1}-t_{0}$ist also die überstrichene Fläche gleich groß.

Das zweite Keplersche Gesetz definiert also sowohl die geometrische Grundlage einer astrometrischen Bahn (als Bahn in einer Ebene) als auch deren Bahndynamik (das zeitliche Verhalten). Kepler formulierte das Gesetz nur für den Umlauf der Planeten um die Sonne, es gilt aber auch aufnicht geschlossenen Bahnen.Das zweite Keplersche Gesetz ist im Gegensatz zu den anderen beiden Gesetzen nicht auf die$1/r^{2}$-Kraft der Gravitation beschränkt (tatsächlich ging Kepler mit seinerAnima motrixauch von einer$1/r$-Kraft aus), sondern gilt allgemein für alleZentralkräfteund Bewegungen mit konstantem Drehimpuls. Kepler war lediglich an einer Beschreibung der Planetenbahnen interessiert, doch ist das zweite Gesetz bereits die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute alsDrehimpulserhaltungkennen. Das zweite Keplersche Gesetz kann als spezielle Formulierung des Drehimpulssatzes gesehen werden (siehe auchDrallsatz #Flächensatz).

Das zweite Keplersche Gesetz hat zwei grundlegende Konsequenzen auch für die Bewegungsverhältnisse in Mehrkörpersystemen, sowohl für Sonnensysteme als auch für die Raumfahrt: DieKonstanz des Bahnnormalenvektorsbesagt, dass elementare Himmelsmechanik ein ebenes Problem ist. Tatsächlich ergeben sich auch hier Abweichungen durch die Volumina der Himmelskörper, sodass Masse außerhalb der Bahnebene liegt, und die Bahnebenenpräzedieren(ihre Lage im Raum verändern). Daher liegen die Bahnen der Planeten nicht alle in einer Ebene (der idealen Sonnensystemebene, derEkliptik), sie zeigen vielmehr eineInklinationund auchPeriheldrehung,zudem schwankt auch dieekliptikale Breite der Sonne.Umgekehrt ist es verhältnismäßig leicht, einen Raumflugkörper in der Sonnensystemebene zu bewegen, aber enorm aufwändig, etwa eine Sonde über dem Nordpol der Sonne zu platzieren.

DieKonstanz der Flächengeschwindigkeitbesagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen dem Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Körper bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an seinem Schwerezentrum befindet und umso langsamer, je weiter er davon entfernt ist. Dies gilt beispielsweise für den Lauf der Erde um die Sonne wie auch für den Lauf des Mondes oder eines Satelliten um die Erde. Eine Bahn stellt sich als dauerndesfreies Fallen,nahes Vorbeischwingen um den Schwerpunkt, und Wiederaufsteigen zum fernsten Kulminationspunkt der Bahn dar: Der Körper wird immer schneller, hat im Perizentrum (zentrumsnächsten Punkt) die höchste Geschwindigkeit und wird ab dann immer langsamer bis zum Apozentrum (zentrumsfernsten Punkt), von dem aus er wieder beschleunigt. So gesehen ist die Keplerellipse ein Spezialfall desschiefen Wurfs,der sich in seiner Bahn schließt. Diese Überlegung spielt in der Raumfahrtphysik eine zentrale Rolle, wo es darum geht, mit einem passend gewählten Anfangsimpuls (durch den Start) eine geeignete Umlaufbahn zu erzeugen: Je kreisähnlicher die Bahn, desto gleichmäßiger die Umlaufgeschwindigkeit.

Drittes Keplersches Gesetz

Darstellung der Beziehung zwischen Orbitalradius und Orbitalperiode

DieQuadratederUmlaufzeiten$T_{1}$und$T_{2}$je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den drittenPotenzendergroßen Halbachsen$a_{1}$und$a_{2}$ihrer Ellipsenbahnen.

oder

Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben (dritten Potenzen) der großen Halbachsen:

$\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}$…drittes Keplersches Gesetz

Kepler verwendete für die halbenBahnachsen$a_{1,2}$diemittleren Entfernungen von der Sonne(im Sinne des Mittels vonPeriheldistanzundApheldistanz).

$C={\frac {T^{2}}{a^{3}}}$…drittes Keplersches Gesetz,massenunabhängige Formulierung mitKepler-Konstanteder Zentralmasse (Gaußsche Gravitationskonstantedes Sonnensystems)

In Kombination mit demGravitationsgesetzerhält das dritte Keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen$M$und$m$die Form

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}\approx {\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}$…drittes Keplersches Gesetz,Formulierung mit zwei Massen

Dabei gilt die Näherung, wenn die Masse$m$vernachlässigbar klein im Vergleich zu$M$ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse vonDoppelsternsystemenaus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper und obige Formel, so lautet eine exaktere Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

$\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}{\frac {M+m_{2}}{M+m_{1}}}$…drittes Keplersches Gesetz,Formulierung mit drei Massen

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse$M$hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Das dritte Keplersche Gesetz gilt dabei für alle Kräfte, die quadratisch mit dem Abstand abnehmen, wie man auch leicht aus derSkalenbetrachtungherleiten kann. In der Gleichung

$m{\frac {d^{2}r}{(dt)^{2}}}={\frac {GMm}{r^{2}}}$

taucht$r$in der dritten Potenz und$t$quadratisch auf. Unter einer Skalentransformation$r'=\ Alpha r,t'=\beta t$erhält man somit dieselbe Gleichung, wenn$\ Alpha ^{3}=\beta ^{2}$ist. Andererseits ist dadurch schnell erkennbar, dass das Analogon des dritten Keplerschen Gesetzes für geschlossene Bahnen in einem$1/r^{k}$-Kraftfeld für beliebiges$k$gerade$(a_{1}/a_{2})^{k+1}=(T_{1}/T_{2})^{2}$lautet.

Siehe auch

• Hohmann-Transfer,die Verbindungsbahn zweier Keplerbahnen der Raumfahrt
• Spezifischer Drehimpuls,relativ einfache Herleitung der Keplerschen Gesetze ausgehend von der Drehimpulserhaltung

Literatur

• Johannes Kepler:Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis.In: Max Caspar (Hrsg.):Gesammelte Werke.Band3.C. H. Beck, München 1938.
• Johannes Kepler:Harmonices Mundi libri V.In: Max Caspar (Hrsg.):Gesammelte Werke.Band6.C. H. Beck, München 1990,ISBN 3-406-01648-0.
• Andreas Guthmann:Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung.BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994,ISBN 3-411-17051-4.

Weblinks

Commons:Keplersche Gesetze– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Walter Fendt:1. Keplersches Gesetz,2. Keplersches Gesetz(HTML5-Apps).
• Keplersche Gesetze(LEIFI).
• Joachim Hoffmüller:2. Keplersches Gesetz (Flächensatz): Beweis mit dynamischen Arbeitsblättern selbst nachvollziehen.Geometrisch-anschaulicher Beweis nach Newton, ohne höhere Mathematik (Java-Applet).
• Video:Keplersche Gesetze der Planetenbewegungen.Institut für den Wissenschaftlichen Film(IWF) 1978, zur Verfügung gestellt von derTechnischen Informationsbibliothek(TIB),doi:10.3203/IWF/C-1286.
• Video:Das Heliozentrische Weltbild und die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegungen– Entwicklung des Heliozentrischen Weltbilds von Nikolaus Kopernikus bis Johannes Kepler, mit Visualisierung und Erläuterung der Keplerschen Gesetze der Planetenbewegungen