Kegel (Geometrie)

Gerader Kreiskegel(Drehkegel)und schiefer Kreiskegel

EinKegeloderKonusist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eineKreisscheibe,wird der KörperKreiskegelgenannt. Das Flächenstück nennt manGrundfläche,deren Begrenzungslinie dieLeitkurve,den Punkt nennt manSpitze,ApexoderScheiteldes Kegels und die Fläche an der Seite wird alsMantelflächebezeichnet. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Die Spitze eines Kegels ist keinEckpunkt,da es sich bei der Spitze nicht um einen Endpunkt von Kanten handelt (vgl. Definition vonEcke).

Unter derHöhedes Kegels versteht man sowohl dasLotvon der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immersenkrechtzur Grundfläche) wie auch dieLängedieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).

Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißenMantellinien,ihre Vereinigung bildet denKegelmanteloder dieMantelfläche. Ellipse,ParabelundHyperbelsindKegelschnitte.Im Zusammenhang mit Kegelschnitten wird als „Kegel “oft auch ein„Doppelkegel “verstanden.

Vor allem in derTechnikwird ein Kegel oder einKegelstumpfoft alsKonus(von lat.conus) bzw. alskonischbezeichnet.

Gerader, schiefer und gleichseitiger Kegel

Wenn in derGeometrievon einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einemKreiskegelversteht man einenKörper,der durch einenKreis(GrundkreisoderBasiskreis) und einenPunktaußerhalb derEbenedes Kreises (Spitzedes Kegels) festgelegt ist.

Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius$r$des Kegels versteht man normalerweise denRadiusdes Basiskreises. DieGeradedurch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man dieAchsedes Kegels. DieHöhe$h$des Kegels ist derAbstandder Spitze von der Basisebene; dieser Abstand musssenkrechtzur Basisebene gemessen werden.

Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt eingerader KreiskegeloderDrehkegelvor. Andernfalls spricht man von einemschiefen KreiskegeloderelliptischenKegel.Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich diestereografische ProjektionalsKreistreuezunutze.

Die Bezeichnung „Drehkegel “deutet darauf hin, dass es sich um einenRotationskörperhandelt. Er entsteht durchRotationeinesrechtwinkligen Dreiecksum eine seiner beidenKatheten.In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-)Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt ($s$), da sie denMantel„erzeugen “. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte desWinkelszwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel$\varphi$zwischen den Mantellinien und der Achse heißthalber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißtgleichseitiger Kegel,denn schneidet man ihn mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck.

Größen und Formeln

Gerader Kreiskegel

Größen und Formeln
Radius eines geraden Kreiskegels	$r={\sqrt {s^{2}-h^{2}}}$
Höhe eines geraden Kreiskegels	$h={\sqrt {s^{2}-r^{2}}}$
Mantellinie eines geraden Kreiskegels	$s={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$
Halber Öffnungswinkel eines geraden Kreiskegels	$\varphi =\arcsin {\frac {r}{s}}=\arctan {\frac {r}{h}}$
Durchmesserder Grundfläche eines geraden Kreiskegels	$d=2\cdot r=2\cdot h\cdot \tan \varphi$
Grundfläche eines Kreiskegels	$A_{G}=r^{2}\cdot \pi$
Flächeninhaltder Mantelfläche eines geraden Kreiskegels	$A_{M}=r\cdot s\cdot \pi$
Oberfläche eines geraden Kreiskegels	$A_{O}=A_{G}+A_{M}=r\cdot \pi \cdot (r+s)$
Volumen eines beliebigen Kreiskegels	$V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h$
Trägheitsmoment eines geraden Kreiskegels (Drehung um die Symmetrieachse)	massiver Kegel:$J={\frac {3}{10}}\cdot m\cdot r^{2}$ Kegelmantel: $J={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot r^{2},$ wobei$m$dieMasseist.

Beweise

Volumen

Bereits im Jahr 1781 beschreibtJohann Friedrich Lorenzin seiner ÜbersetzungEuklids ElementeEuklidsFeststellung:Jeder Kegel ist der dritte Theil eines Cylinders, welcher mit ihm einerley Grundfläche, ABCD, und gleiche Höhe hat.In derElementargeometriewird die Volumenformel oft mit demPrinzip von Cavalieribegründet. Man vergleicht den gegebenen Kreiskegel mit einerPyramidevon gleicher Grundfläche und Höhe. FürParallelebenenzur Grundfläche in beliebigemAbstandfolgt aus den Gesetzen derÄhnlichkeitbzw. derzentrischen Streckung,dass die entsprechenden Schnittflächen gleichen Flächeninhalt besitzen. Daher müssen die beiden Körper im Volumen übereinstimmen. Die für Pyramiden der Grundfläche$A_{G}$und Höhe$h$gültige Volumenformel

$V={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h$

kann daher auf den Kegel übertragen werden. Zusammen mit der Formel für dieKreisflächeerhält man

$V={\frac {1}{3}}\cdot r^{2}\cdot \pi \cdot h$.

Es ist auch möglich, den Kegel durch einePyramidemit regelmäßigem$n$-Eck als Grundfläche (für$n\to \infty$) anzunähern.

Ein anderer Beweis (hier speziell für den geraden Kreiskegel dargestellt) setzt dieIntegralrechnungals Hilfsmittel ein. Es wird einkartesisches Koordinatensystemverwendet, wobei die Kegelspitze im Ursprung (0|0) und der Mittelpunkt des Grundkreises im Punkt ($h$|0) liegen. Man kann sich nun den Kegel zusammengesetzt denken aus unendlich vielenzylindrischenScheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Höhe (Dicke)$\mathrm {d} x$.Da der Abstand einer solchen Zylinderscheibe von der Kegelspitze durch die Koordinate$x$gegeben ist, gilt nach demStrahlensatz:

Radius eines infinitesimalen Zylinders:$r_{Z}(x)={\frac {r}{h}}x$

Volumen eines infinitesimalen Zylinders:$\left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}\pi \mathrm {d} x={\frac {r^{2}}{h^{2}}}\pi x^{2}\,\mathrm {d} x$

Das gesamte Volumen des Drehkegels entspricht der Gesamtheit all dieser unendlich kleinen Zylinder. Zur Berechnung bildet man dasbestimmte Integralmit den Integrationsgrenzen 0 und$h$:

$V=\int _{0}^{h}{\frac {r^{2}}{h^{2}}}\pi x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,\mathrm {d} x$

$V={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}$

$V={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}\right)$

$V={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}{\frac {h^{3}}{3}}$

Damit kommt man zur bekannten Formel

$V={\frac {r^{2}\pi h}{3}}={\frac {1}{3}}r^{2}\pi h$.

Mantelfläche

Gerader Kreiskegel mit abgewickelter Mantelfläche

Die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels ist gekrümmt, aber zu einemKreissektorabwickelbar.Der Radius dieses Sektors stimmt mit der Länge einer Mantellinie des Kegels ($s$) überein. Den Mittelpunktswinkel$\ Alpha$des Kreissektors kann man durch eine Verhältnisgleichung ermitteln. Er verhält sich zum 360°-Winkel wie die Kreisbogenlänge$2\pi r$(Umfang des Basiskreises) zum gesamten Umfang eines Kreises mit Radius$s$:

${\frac {\ Alpha }{360^{\circ }}}={\frac {2\pi r}{2\pi s}}={\frac {r}{s}}$

Der gesuchte Flächeninhalt der Mantelfläche ergibt sich nun aus der Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors:

$A_{M}={\frac {\ Alpha }{360^{\circ }}}s^{2}\pi ={\frac {r}{s}}s^{2}\pi =rs\pi$

Siehe auch:Abschnitt Mantelfläche im Artikel KegelstumpfundAbschnitt Mantelfläche des Kegelstumpfs im Artikel Mantelfläche

Die Abwicklung der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels wird in der Darstellenden Geometrie näherungsweise mit Zirkel und Lineal durchgeführt: s.Abwicklung (Darstellende Geometrie).

Mittelpunktswinkel

DerMittelpunktswinkel$\ Alpha$der Mantelfläche kann ausgehend von der Formel

${\frac {\ Alpha }{360^{\circ }}}={\frac {2\pi r}{2\pi s}}={\frac {r}{s}}$

berechnet werden:

$\ Alpha ={\frac {r}{s}}\cdot {360^{\circ }},$

Da für den halben Öffnungswinkel$\varphi$des Kegels$\sin(\varphi )={\tfrac {r}{s}}$ist, gilt:

$\ Alpha =\sin(\varphi )\cdot 360^{\circ }$.

Doppelkegel mit gegeneinander gerichteten Spitzen, einerSanduhrähnlich

Doppelkegel mit auseinander­wei­sen­den Spitzen

Doppelkegel

Ein Doppelkegel bzw. Doppelkonus mit gegeneinander gerichteten Spitzen entsteht alsRotationsflächeeiner Geraden um eine sie nichtrechtwinkeligschneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchenunendlichen Doppelkegelmit einer Ebene, die die Spitze nicht enthält, so entstehen die (nicht ausgearteten)Kegelschnitte:Kreis,Ellipse,Parabel,Hyperbel.

Ein Doppelkegel mit auseinanderweisenden Spitzen entsteht, indem zwei gleiche Kegel mit ihrer Basis aneinandergefügt werden. Wird ein solcher Doppelkegel auf zwei in einem Winkel verlaufenden und leicht zum Schnittpunkt hin geneigten Geraden abgesetzt, so rollt dieser scheinbar aufwärts.Siehe:Aufwärtsrollender Doppelkegel
Wird ein gerader Kreiskegel, dessen Radius der Höhe entspricht, an der Grundfläche zu einem Doppelkegel gespiegelt und anschließend in einer Ebene geschnitten, die beide Spitzen enthält, so hat die Querschnittsfläche die Form eines Quadrats. Wird eines dieser Quadrate um 90° rotiert und werden dann beide Hälften wieder zusammengefügt, erhält man einSphericon.

Analytische Beschreibung

Ein senkrechter Kreiskegel (Doppelkegel) mit der Spitze im Ursprung und der z-Achse als Symmetrieachse lässt sich durch eine Gleichung

• $x^{2}+y^{2}=R^{2}z^{2}$

beschreiben. Die Zahl$R$ist der Radius der Höhenkreise der Höhen$z=\pm 1$.Ist$R=1$,so vereinfacht sich die Gleichung zu

• $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

und man nennt in diesem Fall den KegelEinheitskegel(analog zum Einheitskreis).

So, wie eine beliebige Ellipse dasaffine Bild des Einheitskreisesist, ist ein beliebiger Kegel (alsQuadrik) das affine Bild des Einheitskegels. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinaten. Skaliert man die x- und y-Achse, so ergeben sich Kegel mit Gleichungen

• $K_{ab}\colon \,{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2};\;\;a,b>0.$

Vektoren für die Parameterdarstellung eines elliptischen Kegels

Die Höhenschnitte solcher Kegel sind Ellipsen. Der Schnitt mit der Höhenebene$z=1$ist die Ellipse$E\colon {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$.Der Kegel ist gleich der Vereinigung aller Geraden (Erzeugenden) durch die Spitze und die Ellipsenpunkte. Beschreibt man die Ellipse$E$durch die Parameterdarstellung${\vec {x}}(t)=(a\cos t,b\sin t,1)$und stellt die Erzeugenden in Parameterform dar, erhält man die folgende Parameterdarstellung des Kegels$K_{ab}$:

• $K_{ab}\colon \,{\vec {x}}(s,t)=s\cdot (a\cos t,b\sin t,1)^{T};\;\;s\in \mathbb {R},\,0\leq t<2\pi$

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Kegels ist schwierig anzugeben. Die Parameterdarstellung einesbeliebigen Kegelsdagegen relativ einfach:

• ${\vec {x}}(s,t)={\vec {q}}_{0}+s{\vec {f}}_{1}\cos t+s{\vec {f}}_{2}\sin t+s{\vec {f}}_{3};\;\;\ s\in \mathbb {R},\,0\leq \ t<2\pi$

Dabei ist${\vec {q}}_{0}$die Spitze des Kegels und${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$sind dreilinear unabhängigeVektoren.${\vec {f}}_{3}$zeigt in Richtung der Kegelachse (s. Bild).Für jeden konstanten Parameter$s$ergibt sich eine Ellipse, mit der man sich (zusammen mit der Spitze) den Kegel erzeugt denken kann.

Sind die drei Vektoren${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$paarweise orthogonal und ist$|{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|$,so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiskegel beschrieben.

Dass ein beliebiger elliptischer Kegel auch immer Kreise enthält, wird inKreisschnittebenegezeigt.

Verallgemeinerungen

Konvexe Mengen

→Hauptartikel:Kegel (Lineare Algebra)

Man verallgemeinert die Eigenschaft des (unendlichen) Kegels, aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt zu bestehen, zukegelförmigen Mengen,zu denen dann z. B. auch eine unendlich hohePyramidegehört. Besonderes Interesse gilt dabei denkonvexenKegeln, die in derlinearen Optimierungeine Rolle spielen.

Dabei ist der Begriff desOrdnungskegelswichtig: Definiert man eineHalbordnungmittels$x\geq y:\Leftrightarrow x-y\in K$,wobei$K$ein konvexer und abgeschlossener Kegel ist, so ist diese reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und multiplikativ sowie additiv verträglich. Damit ist eine solche Halbordnung eine Verallgemeinerung der (komponentenweisen) arithmetischen Halbordnung, der derpositive Orthant$\mathbb {R} _{+}^{n}$zugrunde liegt. Eine mögliche Definition eines solchen Kegels lautet:

Sei$(E,\|\cdot \|)$ein reeller Banachraum und$K$eine nichtleere Teilmenge von$E$.$K$heißt Kegel, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $K$ist abgeschlossen,
2. $x,y\in K\Rightarrow x+y\in K$,
3. $x\in K,\lambda \geq 0\Rightarrow \lambda x\in K$,
4. $K\cap -K=\{0\}$.

Wird die vierte Bedingung weggelassen, so erhält man eine mögliche Definition einesKeils.

Allgemeinere Grundflächen

• Als weitere Verallgemeinerung des Kegels kann man beliebige Grundflächen zulassen. Der Kegel entsteht dann alskonvexe Hülleder Grundfläche und eines weiteren Punktes außerhalb der Fläche (der Kegelspitze). In diesem Sinne ist eine Pyramide ein Kegel über einem Vieleck.
• In dersynthetischen Geometriewird der BegriffKegelfür bestimmtequadratische Mengeninprojektiven Geometrienbeliebiger Dimension definiert. Siehe dazuQuadratische Menge#Kegel.

Topologie

→Hauptartikel:Kegel (Topologie)undEinhängung

In derTopologieversteht man unter dem Kegel über einemtopologischen Raum$X$den Raum, den man aus dem Produkt$X\times [0,1]$durchIdentifikationaller Punkte in$X\times \{1\}$(der „Kegelspitze “) erhält.

Den entsprechenden „Doppelkegel “(durch zusätzliche Identifikation von$X\times \{0\}$) bezeichnet man auch alsEinhängungoderSuspension.

Anwendungsbeispiele

EinMartiniglashat annähernd die Form eines Kegels.

Trinkglas

EinigeTrinkgläser,zum Beispiel einMartiniglas,haben annähernd die Form eines Kegels.

EinMartiniglasmit dem Durchmesser 103Millimeterund der Füllhöhe 59 Millimeter wird bis zum Rand mitOrangensaftgefüllt. Daraus ergeben sich dasVolumenund dieMantelfläche:

• Volumen:$V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h\approx 164\cdot 10^{3}\ \mathrm {mm^{3}} =164\ \mathrm {ml}$

• Mantelfläche:$A_{M}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\approx 127\cdot 10^{2}\ \mathrm {mm^{2}} =127\ \mathrm {cm^{2}}$

DasMartiniglaskann also mit etwa 164MilliliternOrangensaftgefüllt werden. Die äußere Oberfläche beträgt etwa 127Quadratzentimeter.

Weitere Beispiele

• 
  Leitkegel
• 
  Glastrichter mit eingelegtem Rundfilter
• 
  Apollo-Dockingsystem

Siehe auch

• Kegelstumpf
• Schiefer Ellipsenkegel
• Konoid
• Pyramide (Geometrie)
• Leitkegel
• Kathedrale von Maringá(Architektur)
• Konische Spirale
• Sehkegel

Literatur

• Rolf Baumann:Geometrie für die 9./10. Klasse.Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003,ISBN 3-580-63635-9.

Weblinks

Commons:Kegel (Geometrie)– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Das Namensgeheimnis der Kegelschnitte.In: Johanneum-Lueneburg.de