Kreuzkorrelation

In derSignalanalysewird dieKreuzkorrelationsfunktion$R_{xy}(\tau )$zur Beschreibung derKorrelationzweierSignale$x(t)$und$y(t)$bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen$\tau$zwischen den beiden Signalen eingesetzt.Kreuzsteht hierbei für den Fall$x\neq y$der Funktion:

$R_{xy}(t_{1},t_{2})=E[{\textbf {X}}(t_{1})\cdot {\textbf {Y}}(t_{2})],$

wobei E derErwartungswertist.

Handelt es sich um einen schwachstationären Prozess,so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte$t_{1}$und$t_{2}$,sondern nur von deren Differenz$\tau =t_{2}-t_{1}$abhängig.

Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugiertenFaltung${\overline {f(-t)}}$.Insbesondere im FachgebietMaschinelles Lernen,wo man mitConvolutional Neural Networksarbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.

Definition

Es gilt fürEnergiesignale:

$R_{xy}(\tau )=(x\star y)(\tau )=(x^{*}(-t)*y(t))(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(t)\,y(t+\tau )\,\mathrm {d} t$

und fürLeistungssignale:

$R_{xy}(\tau )=(x\star y)(\tau )=(x^{*}(-t)*y(t))(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{*}(t)\,y(t+\tau )\,\mathrm {d} t$

mit$x^{*}$als derkonjugiert komplexenFunktion von$x$,dem Operatorsymbol$\star$als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und$*$als dem derFaltungsoperation.

Analog wird diediskreteKreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit derFolge$[m]$und einer Verschiebung$n$festgelegt als:

$R_{xy}[n]$=$(x\star y)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{*}[m]\ y[m+n]$(Energiesignale)

$R_{xy}[n]$=$(x\star y)[n]=\lim _{M\to \infty }{\frac {1}{2M+1}}\sum _{m=-M}^{M}x^{*}[m]\ y[m+n]$(Leistungssignale)

In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:

$R_{xy}[m]:={\begin{cases}\ \;\,{\frac {1}{N-|m|}}\sum _{n=0}^{N-m-1}x[n]y[n+m]&{\text{für }}m\geq 0\\\ \;\,{\frac {1}{N-|m|}}\sum _{n=-m}^{N-1}x[n]y[n+m]&{\text{für }}m<0\end{cases}}$(Vorspannversion)

$R_{xy}[m]:={\begin{cases}\ \;\,{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-m-1}x[n]y[n+m]&{\text{für }}m\geq 0\\\ \;\,{\frac {1}{N}}\sum _{n=-m}^{N-1}x[n]y[n+m]&{\text{für }}m<0\end{cases}}$(unvorgespannte Version)

Die Kreuzkorrelation ist mit derKreuzkovarianzeng verwandt.

Eigenschaften

Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle$\tau$gilt

$R_{xy}(\tau )=R_{yx}(-\tau )$

sowie

$\left|R_{xy}(\tau )\right|\leq {\sqrt {R_{xx}(0)R_{yy}(0)}}\leq {\frac {1}{2}}(R_{xx}(0)+R_{yy}(0))$

und

$\lim \limits _{\tau \to \pm \infty }R_{xy}(\tau )=0$

mit denAutokorrelationsfunktionen$R_{xx}(\tau )$und$R_{yy}(\tau )$.

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals$x(t)$zum Messort des Signals$y(t)$entsprechen. AuchLaufzeitunterschiedevon einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverseFourier-TransformationdesKreuzleistungsspektrums$S_{XY}(f)$ermittelt:

$R_{xy}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XY}(f)\,e^{\mathrm {i} 2\pi f\tau }\,\mathrm {d} f$

Verbindung mit der Kreuzkovarianz

Ist eines der Signale$x(t)$oder$y(t)$nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null$({\bar {x}}(t)=0$oder${\bar {y}}(t)=0)$,ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Literatur

• Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger:Einführung in die Systemtheorie.4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007,ISBN 978-3-8351-0176-0.
• Rüdiger Hoffmann:Signalanalyse und -erkennung.Springer, 1997,ISBN 3-540-63443-6.

Weblinks

• Kreuzkorrelation und Kombinatorik.(Mementovom 11. Juli 2012 imInternet Archive;PDF; 201 kB) mpi-magdeburg.mpg.de
• Die Kreuzkorrelation.tu-freiberg.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
• Korrelationstechnik.uni-muenster.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
• Merkmalslistenbasierte Kreuzkorrelationsmethoden für die medizinische Bildverarbeitung.(PDF; 24 MB) db-thueringen.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
• Ansätze zur datengetriebenen Formulierung von Strukturhypothesen für dynamische Systeme.kit.edu; abgerufen am 15. Februar 2022.