Leere Menge

{ }

∅

Dieleere Mengeist ein grundlegender Begriff aus derMengenlehre.Man bezeichnet damit dieMenge,die keine Elemente enthält. Da Mengen über ihre Elemente charakterisiert werden und zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben (sieheExtensionalitätsaxiomder Mengenlehre), gibt es nur eine einzige leere Menge.

Die leere Menge ist nicht mit einerNullmengezu verwechseln, welche eine Menge mit demMaßnull ist. Eine solche Menge kann sogar unendlich viele Elemente enthalten.

Notation und Codierung

Als Zeichen für die leere Menge hat sich das vonAndré Weileingeführteund vonNicolas Bourbakiverwendete Zeichen$\varnothing$(ein durchgestrichener Kreis) weitgehend gegenüber anderen Notationen (wie$\Lambda$oder${\mathit {\Phi }}$)durchgesetzt. Eine typographische Variante davon ist$\emptyset$(ein durchgestrichenes schmales Oval). Vor allem in der Schulmathematik wird die leere Menge auch gern durch eine leere Mengenklammer dargestellt:$\left\{\right\}$.Dieses Zeichen wirkt einem Missverständnis entgegen: Die leere Menge ist nichtnichts,sondern eine Menge, die nichts enthält.

Das ∅ ist inHTMLals∅bzw. als∅kodiert; inUnicodealsU+2205und inLaTeXals\varnothing.Alternativ gibt es in LaTeX das Symbol$\emptyset$,das durch\emptyseterzeugt wird. Nicht verwechselt werden sollte es mit dem ähnlich aussehendenDurchmesserzeichen⌀, das alsU+2300kodiert ist, oder dem skandinavischen BuchstabenØ(U+00D8bzw.U+00F8).

Leermengenaxiom

Ein Axiom, das die Existenz einer leeren Menge fordert, wurde erstmals 1907 vonErnst Zermeloin derZermelo-Mengenlehreformuliert. Es wurde später in dieZermelo-Fraenkel-MengenlehreZF und andere axiomatische Mengenlehren übernommen. DiesesLeermengenaxiomlautet verbal:Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält.Die präzise logische Formel lautet:

$\exists M\colon \forall X\colon \lnot (X\in M)$

Die Eindeutigkeit der leeren Menge folgt aus demExtensionalitätsaxiom.Die Existenz der leeren Menge folgt mit demAussonderungsaxiomaus der Existenz irgendeiner anderen Menge. In ZF, das imUnendlichkeitsaxiomdie Existenz einer Menge fordert, ist das Leermengenaxiom damit entbehrlich.

Eigenschaften

• Die leere Menge istTeilmengejeder Menge:

  $\emptyset \subseteq A$

• Jede Menge bleibt beiVereinigungmit der leeren Menge unverändert:

  $\emptyset \cup A=A$

• Für jede Menge ist derDurchschnittmit der leeren Menge die leere Menge:

  $\emptyset \cap A=\emptyset$

• Für jede Menge ist daskartesische Produktmit der leeren Menge die leere Menge:

  $\emptyset \times A=\emptyset$

• Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge:

  $A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset$

• Daraus folgt, dass diePotenzmengeder leeren Menge genau ein Element enthält, nämlich die leere Menge selbst:

  ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\left\{\emptyset \right\}$

• Für jede widersprüchliche Aussage oder nicht erfüllbare Eigenschaft$E(x)$gilt:

  $\emptyset =\left\{x\mid E(x)\right\}$,z. B.$\emptyset =\left\{x\mid x\neq x\right\}$oder$\emptyset =\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x+1=x+2\right\}$

Damit ist die leere Menge insbesondere dieLösungsmengeeinerGleichungoderUngleichung,die keine Lösung besitzt.

• Jede Existenzaussage über Elemente der leeren Menge, etwa

  „Es existiert ein x aus$\emptyset$,sodass gilt… “

ist falsch, denn es gibt kein Element, das die Bedingung erfüllen könnte.

• Jede Allaussage über Elemente der leeren Menge, etwa

  „Für alle Elemente der Menge$\emptyset$gilt… “

ist wahr, denn es gibt kein Element, für das die fragliche Forderung falsch sein könnte.

• Sei$A$eine Menge und$f\colon A\to \emptyset$eine Abbildung. Dann ist$A$die leere Menge.
• Die leere Menge ist die einzigeBasisdesNullvektorraums.
• Die leere Menge ist definitionsgemäß in jedemtopologischen Raumzugleichabgeschlossenundoffen.
• Jede endliche Teilüberdeckung enthält die leere Menge, also ist die leere Mengekompakt.
• Ebenfalls per definitionem ist die leere Menge in jedemMaßraumeinemessbare Mengeund besitzt das Maß 0.

Die leere Funktion

Die leere Menge ist insbesondere eine leere Menge geordneter Paare und damit eineAbbildung.Daher gibt es für jede Menge$A$genau eine Abbildung

$f\colon \emptyset \to A$,

nämlich$f=\emptyset$,die sogenannteleere Abbildungoderleere Funktion.Das kann man auch so formulieren:

Die leere Menge ist dasAnfangsobjektin der Kategorie der Mengen.

Im Gegensatz dazu gibt es nur für$A=\emptyset$eine Funktion$A\to \emptyset$.

Kardinalität der leeren Menge

Die leere Menge ist die einzige Menge mit derKardinalität(Mächtigkeit)Null:

$\left\vert \emptyset \right\vert =0.$

Sie ist daher auch der einzige Repräsentant derKardinalzahl0 und derOrdinalzahl0. Insbesondere ist sie eineendliche Menge.

Die leere Menge ist auch die einzige Menge, die durch ihre Kardinalität bereits eindeutig bestimmt ist. (Für jede andere Kardinalzahl ist die Klasse der Mengen dieser Kardinalität sogarecht.)

Literatur

• Oliver Deiser:Einführung in die Mengenlehre.Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2010,ISBN 978-3-642-01444-4,doi:10.1007/978-3-642-01445-1.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge und Allklasse– Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

Axiome und Axiomenschemata derZermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Axiome: Extensionalitätsaxiom| Fundierungsaxiom| Leermengenaxiom| Paarmengenaxiom| Vereinigungsaxiom| Potenzmengenaxiom| Unendlichkeitsaxiom| Auswahlaxiom

Axiomenschemata: Aussonderungsaxiom| Ersetzungsaxiom