Median

In derStatistikist derMedian– auchZentralwertgenannt – einMittelwertundLageparameter.Der Median der Messwerte einerUrlisteist derjenige Messwert, der genau „in der Mitte “steht, wenn man die Messwerte der Größe nach sortiert. Beispielsweise ist für die ungeordnete Urliste 4, 1, 37, 2, 1 der Messwert 2 der Median, der zentrale Wert in der geordneten Urliste 1, 1,2,4, 37.

Im Allgemeinen teilt ein Median einen Datensatz, eine Stichprobe oder eine Verteilung so in zwei gleich große Teile, dass die Werte in der einen Hälfte nicht größer als der Medianwert sind und in der anderen nicht kleiner.

Beschreibung

Der Median teilt eine Liste von Werten in zwei Teile. Er kann auf folgende Weise bestimmt werden:

• Alle Werte werden (aufsteigend) geordnet.
• Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median.
• Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist alsarithmetisches Mittelder beiden mittleren Zahlen definiert, die dannUnter-undObermedianheißen.

Eine wichtige Eigenschaft des Medians istRobustheitgegenüberAusreißern.

• Beispiel: Sieben unsortierte Messwerte 4, 1, 15, 2, 4, 5, 4 werden nach Größe sortiert: 1, 2, 4,4,4, 5, 15; Der Median (auch der Ober- und der Untermedian) ist der Wert an der mittleren Stelle, also 4. Wenn im Beispiel durch einen Fehler eine 4 durch 46 ersetzt wurde, ändert sich der Median nicht: 1, 2, 4,4,5, 15, 46. Das arithmetische Mittel hingegen springt von 5 auf 11.

Vergleich mit anderen Maßen der zentralen Tendenz

Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel “(eigentlich:Erwartungswert) zweierLog-Normalverteilungenmit Median 1

Der Median ist ein speziellesQuantil,nämlich das¹⁄₂-Quantil. Andere wichtigeLagemaßesind dasarithmetische Mittelund derModus.

Im Vergleich zum arithmetischen Mittel, oft Durchschnitt genannt, ist der MedianrobustergegenüberAusreißern(extrem abweichenden Werten) und lässt sich auch aufordinal skalierteVariablen anwenden. Der Begriff Median (vonlateinischmedianus‚in der Mitte befindlich‘, ‚der Mittlere‘) entstammt derGeometrie,wo er ebenfalls eine Grenze zwischen zwei Hälften gleicher Größe bezeichnet.

Median und arithmetisches Mittel: sehr einfaches Beispiel

In einer Gruppe von zehn Personen haben alle Personen Monatseinkommen in unterschiedlicher Höhe. Eine Person erhält 1.000.000 €, die übrigen neun bekommen 1.000 €, 2.000 €, 3.000 € usw. bis 9.000 €.

Das arithmetische Mittel, der „Durchschnitt “– das Monatseinkommen jeder der zehn Personen bei gleichmäßiger Aufteilung der Summe aller Einkommen auf sie –, beträgt in diesem Falle 104.500 €. Allerdings verdient nur eine der zehn Personen mehr als diesen Betrag, die neun anderen deutlich weniger.

Der Median dagegen ist 5.500 €. Fünf Personen verdienen mehr als das, fünf Personen weniger.

Anwendungsbereiche

Der Median diesesNotenspiegelsist 3−. Etwas weniger als die Hälfte der Ergebnisse ist schlechter; durch Hinzunahme der Notenstufe 3− selbst wird die Hälfte gerade überschritten.

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel kann der Median auch fürordinal skalierteVariablen wie beispielsweise Notenstufen, bei denen es keinen quantitativen Abstand gibt, verwendet werden. Aber auch beiintervall-undverhältnisskaliertenDaten kann der Median herangezogen werden und hat dann Nachteile und Vorteile gegenüber dem arithmetischen Mittel als Lagemaß. Für lediglichnominal skalierteVariablen, deren Ausprägungen keine natürliche Rangfolge aufweisen, wie zum Beispiel eine VariableGeburtsland,kann der Median nicht angewendet werden. Hier ist derModalwertdas einzige Lagemaß, das festgestellt werden kann.

Der Median wird in der Statistik und derWahrscheinlichkeitstheoriein drei unterschiedlichen Bedeutungen angewendet:

1. alsLagemaßderdeskriptiven Statistikzur Beschreibung einer konkreten Liste vonStichprobenwerten.
2. in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Median einerWahrscheinlichkeitsverteilungoder einerZufallsvariablen.Hier stellt der Median eine Alternative zumErwartungswertfür die Angabe eines „mittleren Werts “dar.
3. in dermathematischen Statistikals Median einerZufallsstichprobezurrobusten Schätzungunbekannter Verteilungen.

Median einer Stichprobe

Ein Wert$m$ist Median einerStichprobe,wenn mindestens die Hälfte der Stichprobenelemente nicht größer als$m$und mindestens die Hälfte nicht kleiner als$m$ist.

Sortiert man die Beobachtungswerte der Größe nach, das heißt, geht man zur nach demRanggeordneten Stichprobe über, so ist der Median bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen der Wert der in der Mitte dieserFolgeliegenden Beobachtung. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es kein einzelnes mittleres Element, sondern zwei. Hier sind die Werte der beiden mittleren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese möglicherweise bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) Mediane der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft.

Beikardinal skaliertenMessgrößen (wenn es also sinnvoll möglich ist, die Differenz von Messwerten zu berechnen) verwendet man im Falle einer geraden Anzahl Beobachtungen meist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Beobachtungswerte. Der Median${\tilde {x}}$einer geordneten Stichprobe$(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$von$n$Messwerten ist dann also

${\tilde {x}}={\begin{cases}x_{m+1}&{\text{ für ungerades n = 2m+1}}\\{\frac {1}{2}}(x_{m}+x_{m+1})&{\text{ für gerades n = 2m}}\end{cases}}$

Diese Definition hat den Vorteil, dass bei Stichproben aussymmetrischen Verteilungendasarithmetische Mittelund der Median im Erwartungswert identisch sind.

Ober- und Untermedian

Oft möchte man sicherstellen, dass der Median ein Element der Stichprobe ist. In diesem Fall wird alternativ zu obiger Definition bei einer geraden Anzahl$n=2m$von Elementen entweder der Untermedian${\tilde {x}}_{u}=x_{m}$oder der Obermedian${\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}$alsMediangewählt. Im Falle einer ungeraden Anzahl$n=2m+1$der Beobachtungen gilt natürlich wie oben${\tilde {x}}={\tilde {x}}_{u}={\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}$.

Mithilfe vonGauß-Klammernlassen sich die Indizes auch relativ kompakt durch$n$selbst ausdrücken:

${\tilde {x}}_{u}=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }$

${\tilde {x}}_{o}=x_{\left\lceil {\frac {n+1}{2}}\right\rceil }$

Diese Medianbestimmung spielt beispielsweise beiDatenbanksystemeneine große Rolle, wie z. B. beiSELECT-Abfragenmittels des Medians der Mediane.

Eigenschaften

Der Median${\tilde {x}}$,und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte${\tilde {x}}$mit${\tilde {x}}_{u}\leq {\tilde {x}}\leq {\tilde {x}}_{o}$,minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt, für ein beliebiges$x$gilt

$\sum _{i=1}^{n}|{\tilde {x}}-x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|.$

Der Median ist Grundlage derMethode der kleinsten absoluten Abweichungenund Verfahren derrobusten Regression.Das arithmetische Mittel dagegen minimiert dieSumme der Abweichungsquadrate,ist Grundlage derMethode der kleinsten Quadrateund derRegressionsanalyseund ist mathematisch leichter zu handhaben, jedoch nicht robust gegen Ausreißer.

Der Median kann, wie oben beschrieben, algorithmisch bestimmt werden, indem die Messwerte sortiert werden. Das ist im Allgemeinen mit Aufwand$\Omega (n\log n)$verbunden, nur auf speziellen Klassen von Eingabedaten ist${\mathcal {O}}(n)$möglich (sieheSortieralgorithmus). Es gibt aber auch Algorithmen zur Quantilsbestimmung mit linearemWorst-Case-Aufwand${\mathcal {O}}(n)$sowie Algorithmen zur Abschätzung, beispielsweise dieCornish-Fisher-Methode.

Median von gruppierten Daten

Bevölkerungspyramide Tansania 2016, der Median liegt bei geschätzt 18 Jahren

Vor allem in denSozialwissenschaftenwird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern nur inIntervallengruppiert vorliegen. So wird beispielsweise beiUmfragenselten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in dem das Gehalt liegt. Wenn nur die Häufigkeiten jeder Klasse bekannt sind, dann lässt sich der Median einer solchen Stichprobe im Allgemeinen nur näherungsweise bestimmen. Es seien$n$die AnzahlallerDaten,$n_{i}$die jeweilige Anzahl der Daten der$i$-ten Gruppe und$u_{i}$bzw.$o_{i}$die entsprechenden unteren bzw. oberen Intervallgrenzen. Zunächst wird nun diemediane Klasse(odermediane Gruppe) bestimmt, d. h., diejenige Gruppe, in die der Median (nach obiger, konventioneller Definition) hineinfällt, z. B. die$m$-te Gruppe. Die Zahl$m$ist dadurch bestimmt, dass$\textstyle \sum _{k=1}^{m-1}n_{k}<{\frac {n}{2}}$,aber$\textstyle \sum _{k=1}^{m}n_{k}\geq {\frac {n}{2}}$gilt. Wenn keine weiteren Angaben über dieVerteilungder Daten gegeben sind, wird z. B.Gleichverteilungpostuliert, sodass man sich derlinearen Interpolationals Hilfsmittel bedienen kann, um eine Schätzung des Medians der gruppierten Daten zu erhalten:

$x_{\mathrm {med} }=u_{m}+{\frac {{\frac {n}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}n_{k}}{n_{m}}}\cdot (o_{m}-u_{m})$

Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, kann auch jede andere Verteilung außer der Gleichverteilung vorliegen und somit kann auch jeder andere Wert im$m$-ten Intervall der Median sein.

Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss diesernichtzwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, die in aller Regel auch gar nicht bekannt ist.

Beispiel

Einkommen:

Klasse ($i$)	Bereich ($u_{i}$bis$o_{i}$)	Gruppengröße ($n_{i}$)
1	mind. 0, weniger als 1500	160
2	mind. 1500, weniger als 2500	320
3	mind. 2500, weniger als 3500	212

Man berechne

${\tfrac {n}{2}}={\tfrac {212+320+160}{2}}={\tfrac {692}{2}}=346.$

Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h.$m=2$), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median

$x_{\mathrm {med} }=1500+{\tfrac {346-160}{320}}\cdot (2500-1500)=2081{,}25.$

Da die konkrete Verteilung der Daten in den Intervallen unbekannt ist, kann auch jeder andere Wert im 2. Intervall der Median sein. Der beispielhaft errechnete Wert 2081,25 kann daher bis zu 581,25 zu groß und bis zu 418,75 zu klein sein, der Fehler der Schätzung also bis zu 28 % betragen.

Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe derSummenkurve.Hier wird derAbszissenwert$x_{\mathrm {med} }$gesucht, der zumOrdinatenwert${\tfrac {n}{2}}$gehört. Bei kleinerem und geradem$n$kann stattdessen auch der Ordinatenwert${\tfrac {n}{2}}+1$gewählt werden.

Andere Varianten

• DieWohlfahrtsfunktionist eine Alternative zum Median bei der Ermittlung des Masseneinkommens aus einer gegebenen Einkommensverteilung.
• Eine andere Möglichkeit als der Median, mit extremen Werten umzugehen, ist die Benutzung einesgetrimmten Mittelwerts,den man ermittelt, indem man die kleinsten und größten Werte vor der Berechnung entfernt (typischerweise werden 5 % der Werte weggelassen).
• Nach Butlergibt es auch eine strengere Definition von Median (die weniger gebräuchlich ist), die sagt, der Median ist der Wert, für den gilt,die Zahl der kleineren Werte in der Reihe ist gleich der Zahl der größeren Werte in der Reihe.Für Spezialfälle wie 3, 3, 3, 3, 4 oder 1, 2, 3, 3, 3 gibt es ein Verfahren, mit dem man einen eindeutigen Median unter Beibehaltung der strengeren Definition berechnen kann.

Weblinks

Wiktionary: Median– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks:${\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \ Alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}$:Mathematik für die Schule– Lageparameter

Wikibooks: Ausführliche Erläuterungen zur Berechnung des Medians– Lern- und Lehrmaterialien

• Ausnutzung der robusten Eigenschaften des Medians am Beispiel derKreisausgleichung.(Mementovom 2. April 2010 imInternet Archive).
• Eric W. Weisstein:Statistical Median.In:MathWorld(englisch).
• A.V. Prokhorov:Median (in statistics).In:Michiel Hazewinkel(Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics.Springer-Verlag undEMSPress, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7(englisch,encyclope điểu fmath.org).