Millersche Indizes

Auswahl millerscher Indizes in einemWürfel

Diemillerschen IndizesderKristallographie(auchMiller’sche Indizesoder seltenerMiller-Indizes) wurden im Jahr 1839 vonWilliam Hallowes Miller(1801–1880) vorgeschlagen.

In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen ein:

• (hkl) dient der eindeutigen Bezeichnung vonKristallflächenbzw.EbenenimKristallgitter,
• {hkl} steht fürKristallformen,d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen,
• [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes),
• ⟨uvw⟩ für die Menge aller symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Die millerschen Indizes werden wie folgt gebildet: Man bestimmt die Schnittpunkte der Kristallebene mit den dreiKoordinatenachsen,kürztgemeinsame Faktoren, bildet dieKehrwerteund multipliziert mit demkleinsten gemeinsamen VielfachenderNenner,so dass sich dreiganze,teilerfremdeZahlen ergeben.

Anwendungen

In derMineralogiewerden die millerschen Indizes verwendet, umKristallflächeneindeutig zu beschreiben. Auch zur Angabe derSpaltbarkeitoder vonVerzwillingungenwerden sie benötigt.

BeiBeugungsmethoden wie derRöntgenbeugungoder derElektronenbeugungbezeichnen sie eineNetzebenen-Schar.

Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden alsLaue-IndizesoderLaue-Symbolbezeichnet und zur Unterscheidung von den – nach Definition teilerfremden – millerschen Indizes üblicherweiseohneKlammern geschrieben. Die Laue-Indizes sind die mit der OrdnungnderInterferenz(sieheBragg-Gleichung) multiplizierten Miller-Indizes. So wird z. B. dieReflexion2. Ordnung an der Gitterebene mit den Miller-Indizes (100) mit den Laue-Indizes 200 bezeichnet.Laue-Indizes werden z. B. bei der Angabe vonsystematischen Auslöschungenverwendet und gehen in die Formel desStrukturfaktorsein.

In derMaterialwissenschaftwerden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, umGitterfehlerwieVersetzungenzu charakterisieren. AuchGleitsysteme,Texturenoder dieKristallorientierungvonEinkristallenkönnen mit millerschen Indizes beschrieben werden.

Notation

Abhängig von seinemKristallsystemwird jedemKristalleinKoordinatensystemzugeordnet. Die drei Vektoren${\vec {a_{1}}}$,${\vec {a_{2}}}$und${\vec {a_{3}}}$mögen dieBasisdieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters).

Die Basis des zugehörigenreziproken Gitterssei durch die Vektoren${\vec {g_{1}}}$,${\vec {g_{2}}}$und${\vec {g_{3}}}$gegeben (sie werden über die Basisvektoren${\vec {a_{i}}}$des Gitters definiert).

Gitterebene (millersche Indizes)

Es gibt zwei äquivalente Möglichkeiten, eineGitterebenezu beschreiben:

Gitterebene im Ortsraum

Betrachtet man eine Gitterebene mit denSpurpunkten$s_{1}{\vec {e_{1}}}$,$s_{2}{\vec {e_{2}}}$und$s_{3}{\vec {e_{3}}}$(${\vec {e_{i}}}$sind dieEinheitsvektoreneines rechtwinkligen Koordinatensystems des Raums), so ist dieAchsenabschnittsformgegeben durch:

${\frac {1}{s_{1}}}x_{1}+{\frac {1}{s_{2}}}x_{2}+{\frac {1}{s_{3}}}x_{3}=1$

und einNormalenvektorder Gitterebene durch

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{s_{1}}}\\{\frac {1}{s_{2}}}\\{\frac {1}{s_{3}}}\end{pmatrix}}$

Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors, sodass alle Einträge dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind. Sei dies z. B. im Folgenden durch die ganze Zahl$j$gewährleistet (möglich, da die$s_{i}\in \mathbb {Z}$,da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen), dann gilt

${\vec {n_{2}}}={\begin{pmatrix}{\frac {j}{s_{1}}}\\{\frac {j}{s_{2}}}\\{\frac {j}{s_{3}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h\\k\\l\end{pmatrix}}$

Die Komponenten desTripletts$(hkl)$heißen die millerschen Indizes.Jedes Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene. Negative Zahlen werden anstelle des Minuszeichens durch einen Strich über dem zugehörigen Index gekennzeichnet, also z. B.$({\bar {1}}0{\bar {2}})$.Ein Index von Null bezeichnet einen Schnittpunkt im Unendlichen (wie man aus der Achsenabschnittsform sieht), d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation$\{hkl\}$verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit$\{100\}$imkubischen Kristallsystemdie aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen$(100)$,$({\bar {1}}00)$,$(010)$,$(0{\bar {1}}0)$,$(001)$und$(00{\bar {1}})$,was den sechs Oberflächen einesWürfelsentspricht.

Gitterebene im reziproken Gitter

Jeder Netzebenen-Schar$(hkl)$im direkten Gitter entspricht imreziproken Gitterdes Kristalls ein Punkt bzw. Ortsvektor

$h{\vec {g_{1}}}+k{\vec {g_{2}}}+l{\vec {g_{3}}}$.

Dieser hat im reziproken Raum die Koordinaten$h,k,l$;er steht senkrecht auf den gleichnamigen Netzebenen und hat als Länge den Kehrwert desNetzebenenabstandes.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen$h$,$k$und$l$verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektoren (Richtungsindizes)

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation$[uvw]$verwendet, um einen spezifischen Vektor im realen Gitter (Gittervektor) zu bezeichnen:

$u{\vec {a_{1}}}+v{\vec {a_{2}}}+w{\vec {a_{3}}}.$

Dieser Vektor steht im Allgemeinennichtsenkrecht auf der Ebene$(uvw)$.Dies ist nur imkubischen Gitterder Fall.

Die Notation$\langle uvw\rangle$bezeichnet alle zum Vektor$[uvw]$symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Beispiel:
Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist$\langle 100\rangle$eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten,$\langle 110\rangle$die Richtung einer derFlächendiagonalenund$\langle 111\rangle$die Richtung einer Raumdiagonalen.

Vierer-Schreibweise

Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Gitterebenen

Imtrigonalen Kristallsystemund imhexagonalen Kristallsystemwird häufig die Schreibweise$(HKIL)$mit vier Indizes verwendet. Diese abgewandelten millerschen Indizes werden alsbravaissche Indizes(auchBravais-Miller-IndizesoderMiller-Bravais-Indizes) bezeichnet. Die Indizes$H$,$K$und$L$stimmen mit den üblichen millerschen Indizes überein, der zusätzliche (und eigentlichredundante) Index$I$ergibt sich immer als$-(H+K)$.

Ein Vorteil dieser Indizes im hexagonalen Kristallsystem ist, dass symmetrieäquivalente Flächen leicht zu identifizieren sind, da sie durchPermutationder ersten drei Indizes erhalten werden. So sind die Flächen$(10{\bar {1}}0)$,$(01{\bar {1}}0)$und$(1{\bar {1}}00)$beispielsweise Flächen des hexagonalen Prismas.

Richtungsindizes

Kristallographie und Mineralogie

In derKristallographieundMineralogiewerden meist die normalen Richtungsindizes$[uv.w]$oder$[uv^{*}w]$verwendet, wobei durch einen Platzhalter. oder * für$t$angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist.$t$ist immer null.

Allerdings wird diese Schreibweise teilweise auch für die im Folgenden beschriebenenWeber-Indizesverwendet, weswegen es zu Verwechslungen kommen kann.

Werkstoffwissenschaft

In derWerkstoffwissenschaftwird eine die abweichende Schreibweise$[UVTW]$bevorzugt, dieWeber-Indizes(engl.Weber symbols).Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise$[uvw]\!\,$ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:

$U=(2u-v)/3$

$V=(2v-u)/3$

$T=-(u+v)/3$

$W=w.$

Da die Umrechnung von Richtungen in die Vierer-Schreibweise verglichen mit Ebenen komplizierter ist, werden in der Literatur Richtungen mit Weber-Indizes häufig falsch angegeben.

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass die Richtung$[UVTW]$,ähnlich wie inkubischen Kristallsystemen,senkrecht zur Ebene$(UVTW)$ist; in der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinennichtder Fall. Zudem können – wie bei denMiller-Bravais-Indizes– in kubischen Kristallsystemen aus Symmetriegründen äquivalente Richtungen durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden, und eine$0$bedeutet, dass die Richtung senkrecht zum entsprechendenBasisvektorist.

Herleitung

Die Richtung$[uvw]$soll äquivalent zu$[UVTW]\!\,$sein, d. h. beide Indizes sollen in die gleiche Richtung zeigen. Also ist

$u\cdot {\vec {a}}+v\cdot {\vec {b}}+w\cdot {\vec {c}}\propto U\cdot {\vec {a}}+V\cdot {\vec {b}}+T\cdot {\vec {d}}+W\cdot {\vec {c}}.$

Nun ist

${\vec {d}}=-({\vec {a}}+{\vec {b}}),$

weshalb sich dies als

$u\cdot {\vec {a}}+v\cdot {\vec {b}}+w\cdot {\vec {c}}\propto (U-T)\cdot {\vec {a}}+(V-T)\cdot {\vec {b}}+W\cdot {\vec {c}}$

schreiben lässt. Da

$T=-(U+V)$

gilt, folgt

$u\cdot {\vec {a}}+v\cdot {\vec {b}}+w\cdot {\vec {c}}\propto (2U+V)\cdot {\vec {a}}+(2V+U)\cdot {\vec {b}}+W\cdot {\vec {c}}$.

Daher ist die Umrechnung von Webersymbolen in Richtungsindizes der Dreier-Schreibweise

$u=2U+V$

$v=U+2V$

$w=W,$

wobei am Ende noch gekürzt werden muss. Aus letzteren Gleichungen lassen sich durch Auflösen nach$U$,$V$und$W$die Gleichungen zur Bestimmung der Weberindizes aus der Dreier-Schreibweise erhalten.

Literatur

• Charles Kittel:Introduction to solid state physics.7. Aufl. Wiley, New York 1996.ISBN 0-471-11181-3.
• Werner Schatt, H. Worch:Werkstoffwissenschaft.8. Aufl. Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996.ISBN 3-342-00675-7.
• Hans-Joachim Bautsch,Will Kleber,Joachim Bohm:Einführung in die Kristallographie.Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 1998 (eingeschränkte Vorschauin der Google-Buchsuche).
• Christopher Hammond:The basics of crystallography and diffraction.Oxford University Press, Oxford 2001,ISBN 978-0-19-850552-5(eingeschränkte Vorschauin der Google-Buchsuche).

Weblinks

Commons:Miller Index– Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• IUCr Online Dictionary of Crystallography:Miller indices
• IUCr Online Dictionary of Crystallography:Bravais-Miller indices
• Richtungen und Ebenen im Gitterbei der Universität Kiel
• Videovorlesung der Universität Tübingen