Pettis-Integral

DasPettis-Integralist ein nachBilly James Pettisbenannter Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet derFunktionalanalysis.Es handelt sich um ein Integral für Funktionen auf einemMaßraummit Werten in einemBanachraum.Ist der Banachraum gleich dem eindimensionalen Raum$\mathbb {R}$,so erhält man das übliche Integral reellwertiger Funktionen auf dem Maßraum. Das Pettis-Integral verallgemeinert aber nicht nur das Integral reellwertiger Funktionen, sondern auch dasBochner-Integralund dasBirkhoff-Integral,welche ebenfalls Integrale Banachraum-wertiger Funktionen sind.

Konstruktion

Wir gehen von einemvollständigen Maßraum$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$mit einem endlichen, positivenMaß$\mu$aus und wollen für Funktionen$f:\Omega \rightarrow X$mit Werten in einem Banachraum$X$ein Integral definieren. Für die im Folgenden beschriebene Konstruktion nutzen wir aus, dass$\varphi \circ f$für jedes$\varphi$aus demDualraum$X'$eine reellwertige Funktion$\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ist und dassmaßtheoretischeBegriffe für solche Funktionen bereits definiert sind. Wir nennen$f:\Omega \rightarrow X$schwach-messbar,wenn$\varphi \circ f$für jedes$\varphi \in X'$einemessbare Funktionist. Dagegen nennt man$f$wie üblichmessbar,wenn das Urbild jeder offenen Menge aus${\mathcal {A}}$ist. Für die Beziehung dieser beiden Messbarkeitsbegriffe siehe denMessbarkeitssatz von Pettis.Schließlich nennen wir$f$schwach-integrierbar,wenn$\varphi \circ f$für jedes$\varphi \in X'$eineintegrierbare Funktionist.

Wir betrachten nun eine schwach-integrierbare Funktion$f:\Omega \rightarrow X$.Für jedes$\varphi \in X'$ist dann$\varphi \circ f\in L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$,wobei letzteres denL¹-Raumüber dem vorgegebenen Maßraum bezeichne, der nach demSatz von Fischer-Rieszbzgl. der1-Normein Banachraum ist. Wir erhalten damit einenlinearen Operator

$S_{f}:X'\rightarrow L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ),\,\varphi \mapsto \varphi \circ f$,

von dem man mittels desSatzes vom abgeschlossenen Graphenzeigen kann, dass er sogarstetigist. Man kann daher denadjungierten Operator $T_{f}=S_{f}':L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )'\rightarrow X''$bilden. Identifiziert man den Dualraum von L¹mittelsL^p-Dualitätwie üblich mit$L^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$,so erhält man einen Operator

$T_{f}:L^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow X'',\quad (T_{f}(g))(\varphi )=\int _{\Omega }g(t)\varphi (f(t))\,\mathrm {d} \mu (t),\quad \quad g\in L^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ),\varphi \in X'$.

Insbesondere kann man$T_{f}$aufcharakteristische Funktionen$\chi _{E}:\Omega \rightarrow \{0,1\}$für messbare Mengen$E\in {\mathcal {A}}$anwenden.$T_{f}(\chi _{E})\in X''$nennt man dasDunford-Integral,nachNelson Dunford,oder dasGelfand-Integral,nachIsrael Gelfand,und schreibt

$\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{E}f(t)\,\mathrm {d} \mu (t):=T_{f}(\chi _{E})$.

Stellt man sich ein Integral$\textstyle \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$einer Funktion mit Werten in$X$als$\mu$-Mittelung der$f$-Werte vor, so wird man erwarten, dass das Integral wieder in$X$liegt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Nun ist aber$X\subset X''$durch die sogenanntekanonische Einbettung,daher definiert man:

Eine schwach-integrierbare Funktion$f:\Omega \rightarrow X$heißtPettis-integrierbar,falls$\textstyle \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \in X$für alle$E\in {\mathcal {A}}$,und man nennt$\textstyle \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$dasPettis-Integralvon$f$über$E$.

Beispiele

Reflexive Räume

Ist$X$reflexiv,so ist$X=X''$und es ist$\textstyle \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \in X$für alle$E\in {\mathcal {A}}$und jede schwach-integrierbare Funktion$f$.Das heißt, dass jede schwach-integrierbare Funktion mit Werten in einem reflexiven Raum Pettis-integrierbar ist.

Birkhoff-Integral

JedeBirkhoff-integrierbareFunktion$f:\Omega \rightarrow X$ist Pettis-integrierbar und das Birkhoff-Integral stimmt mit dem Pettis-Integral überein. Daher ist das Pettis-Integral eine Verallgemeinerung des Birkhoff-Integrals.

Bochner-Integral

JedeBochner-integrierbareFunktion$f:\Omega \rightarrow X$ist Pettis-integrierbar und das Bochner-Integral stimmt mit dem Pettis-Integral überein. Deshalb ist das Pettis-Integral auch eine Verallgemeinerung des Bochner-Integrals. Es gilt

Bochner-integrierbar$\Rightarrow$Birkhoff-integrierbar$\Rightarrow$Pettis-integrierbar$\Rightarrow$schwach-integrierbar.

Pettis-integrierbar aber nicht Bochner-integrierbar

Als Maßraum betrachten wir das Einheitsintervall [0,1] mit demLebesgue-Maß$\mathrm {d} t$auf derσ-Algebrader Lebesgue-messbaren Mengen und als Banachraum denFolgenraum$X=c_{0}$der reellenNullfolgen.Es sei$I_{n}$dashalboffene Intervall$\textstyle ({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}]\subset [0,1]$und

$f:[0,1]\rightarrow c_{0},\,f(t):=(n\chi _{I_{n}}(t))_{n\in \mathbb {N} }$.

Jedes$f(t)$ist tatsächlich eine Nullfolge. Das ist klar für$t=0$,denn es ist$f(0)=(0,0,0,\ldots )$und für$t>0$gibt es genau ein$n$mit$t\in I_{n}$und daher ist$f(t)=(0,0,\ldots,n,0,0,\ldots )$.Diese Funktion ist Pettis-integrierbar aber nicht Bochner-integrierbar. Zur Verdeutlichung obiger Konstruktionen führen wir die erforderlichen Rechnungen aus und beginnen mit der schwachen Integrierbarkeit.

Für jedes$\varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'$ist nach Definition derDualität$c_{0}'=\ell ^{1}$

$(\varphi \circ f)(t)=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\chi _{I_{n}}(t)$

und daher

$\int _{[0,1]}|(\varphi \circ f)(t)|\,\mathrm {d} t\leq \sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n\int _{[0,1]}\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot {\frac {1}{n+1}}<\infty$,

denn das Intervall$I_{n}$hat die Länge$\textstyle {\frac {1}{n(n+1)}}$.Also ist$f$schwach-integrierbar.

Zur Bestimmung der Gelfand-Integrale betrachte$g\in L^{\infty }([0,1])$.Bezeichnen wir die L¹-L^∞-Dualität mit spitzen Klammern, so ist für$\varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'$

$\langle T_{f}(g),\varphi \rangle =\langle g,S_{f}(\varphi )\rangle =\langle g,\varphi \circ f\rangle =\int _{[0,1]}g(t)(\varphi \circ f)(t)\,\mathrm {d} t=\int _{[0,1]}g(t)\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t$

$=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\int _{[0,1]}g(t)\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t=\langle \left(n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right)_{n\in \mathbb {N} },(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rangle =\langle \left(n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right)_{n\in \mathbb {N} },\varphi \rangle$

und man liest ab

$T_{f}(g)=\left(n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right)_{n\in N}\in \ell ^{\infty }=c_{0}''$.

Tatsächlich liegt diese Folge aber bereits in$c_{0}$,denn

$\left|n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \|g\|_{\infty }n\cdot \int _{I_{n}}\mathrm {d} t=\|g\|_{\infty }\cdot {\frac {1}{n+1}}\rightarrow 0$.

Daher ist$f$Pettis-integrierbar.$f$ist aber nicht Bochner-integrierbar, denn

$t\mapsto \|f(t)\|=\|(n\chi _{I_{n}}(t)\|=\sum _{n=1}^{\infty }n\chi _{I_{n}}(t)$

ist nicht integrierbar.

Schwach-integrierbar aber nicht Pettis-integrierbar

Zur Konstruktion einer schwach-integrierbaren Funktion, die nicht Pettis-integrierbar ist, wandeln wir obiges Beispiel leicht ab. Wieder betrachten wir den Maßraum [0,1] mit demLebesgue-Maßund den Banachraum$c_{0}$.Die gesuchte Funktion ist

$f:[0,1]\rightarrow c_{0},\,f(t):=(n(n+1)\chi _{I_{n}}(t))_{n\in \mathbb {N} }$.

Für jedes$\varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'$ist

$(\varphi \circ f)(t)=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n(n+1)\chi _{I_{n}}(t)$

und daher

$\int _{[0,1]}|(\varphi \circ f)(t)|\,\mathrm {d} t\leq \sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n(n+1)\int _{[0,1]}\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n(n+1){\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|<\infty$.

Also ist$f$schwach-integrierbar.

Ist$e\in L^{\infty }([0,1])$die konstante Funktion mit Wert 1, so ist für jedes$\varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'$

$\langle T_{f}(e),\varphi \rangle =\langle e,S_{f}(\varphi )\rangle =\langle e,\varphi \circ f\rangle =\int _{[0,1]}e(t)(\varphi \circ f)(t)\,\mathrm {d} t=\int _{[0,1]}(\varphi \circ f)(t)\,\mathrm {d} t$

$=\int _{[0,1]}\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n(n+1)\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n(n+1)\int _{I_{n}}\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=\langle (1,1,1,\ldots ),\varphi \rangle$.

Also ist$\int _{[0,1]}f(t)\,\mathrm {d} t=T_{f}(e)=(1,1,1,\ldots )\in \ell ^{\infty }=c_{0}''$ und das ist nicht aus$c_{0}$.Daher ist$f$nicht Pettis-integrierbar.

Eigenschaften

Schwache Kompaktheit

Ist mit obigen Bezeichnungen$f:\Omega \rightarrow X$Pettis-integrierbar, so ist der zugehörige Operator$T_{f}:L^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow X$schwach-kompakt.

Operatoren

Es seien$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$ein endlicher, vollständiger Maßraum,$X$eine Banachraum und$f:\Omega \rightarrow X$Pettis-integrierbar. Ist$A:X\rightarrow Y$ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen, so ist auch$A\circ f:\Omega \rightarrow Y$Pettis-integrierbar und es gilt

$\int _{E}A\circ f\,\mathrm {d} \mu =A\left(\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right)$für jede messbare Menge$E\subset \Omega$.

Vektorraum der Pettis-integrierbaren Funktionen

Leicht zeigt man, dass Summen undskalareVielfache Pettis-integrierbarer Funktionen wieder Pettis-integrierbar sind und dass sich das Integral linear verhält, das heißt

$\int _{\Omega }(\ Alpha f+g)\,\mathrm {d} \mu =\ Alpha \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu$

für Pettis-integrierbare Funktionen$f,g:\Omega \rightarrow X$und$\ Alpha \in \mathbb {R}$.

Die messbaren, Pettis-integrierbaren Funktionen$\Omega \rightarrow X$bilden daher einen Vektorraum$P_{(1)}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$.Die Menge der Funktionen, dieμ-fast-überallden Wert$0\in X$annehmen, bilden einen Untervektorraum, und denQuotientenraumnach diesem Unterraum bezeichnet man mit$P_{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$.In der maßtheoretisch üblichen Sichtweise ist das der Raum der messbaren, Pettis-integrierbaren Funktionen, wobei μ-fast-überall gleiche Funktionen identifiziert werden.

Die 1-Norm für Pettis-integrierbare Funktionen

Ist mit obigen Bezeichnungen$f:\Omega \rightarrow X$messbar und Pettis-integrierbar, so ist

$|f|_{1}:=\sup \left\{\int _{\Omega }|\varphi \circ f|\,\mathrm {d} \mu;\,\varphi \in X',\|\varphi \|\leq 1\right\}=\sup\{T_{f}(g);\,g\in L^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ),\|g\|_{\infty }\leq 1\}$

endlich.$|\cdot |_{1}$ist eineHalbnormauf$P_{(1)}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$und eine Norm auf$P_{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$.Diesernormierte Raumist in der Regel nichtvollständig,die Vervollständigung sei${\overline {P_{1}}}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$.

Injektives Tensorprodukt

Es seien wieder$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$ein endlicher, vollständiger Maßraum und$X$ein Banachraum. Dann ist

$L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )\times X\rightarrow {\overline {P_{1}}}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X),\,(f,x)\mapsto f(\cdot )x$

einebilineare Abbildung,und es gilt

$\int _{\Omega }f(\cdot )x\,\mathrm {d} \mu =\left(\int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \right)x\in X$.

Diese bilineare Abbildung definiert eine lineare Abbildung auf demTensorprodukt

$L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )\otimes X\rightarrow {\overline {P_{1}}}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$.

Vervollständigt man dieses Tensorprodukt zuminjektiven Tensorprodukt,so erhält man einenisometrischen Isomorphismus

$L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ){\hat {\otimes }}_{\varepsilon }X\rightarrow {\overline {P_{1}}}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu,X)$.