Potenzfunktion

Graphen einiger Potenzfunktionen

AlsPotenzfunktionenbezeichnet manelementaremathematische Funktionender Form

$f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R}.$

Wenn man nur natürliche oder ganzzahligeExponentenbetrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens$n$:

$f\colon x\mapsto ax^{n}\qquad n\in \mathbb {Z}.$

Ist der Exponent$n$eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm$ax^{n}$einMonom.

Spezialfälle

• konstante Funktion:$f\colon x\mapsto a$(für$r=0$)
• (homogene)lineare Funktion/Proportionalität:$f\colon x\mapsto ax$(für$r=1$)
• Quadratfunktion und Vielfache davon:$f\colon x\mapsto ax^{2}$(für$r=2$)
• Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten$r$werden dieganzrationalen Funktionenzusammengesetzt, aus denen mit ganzzahligem Exponenten dierationalen Funktionen.
• Für$r=1/n$mit$n\in \mathbb {N}$ergeben sichWurzelfunktionen.

Definitions- und Wertemenge

Die maximal möglicheDefinitionsmengehängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden:

	r> 0	r< 0
$r\in \mathbb {Z}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$
$r\notin \mathbb {Z}$	$\mathbb {R} _{0}^{+}$	$\mathbb {R} ^{+}$

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch dasVorzeichenvon$a$beachten; wenn$r\in \mathbb {Z}$ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob$r$eine gerade oder ungerade Zahl ist:

	r> 0		r< 0
	rgerade oder$\notin \mathbb {Z}$	rungerade	rgerade oder$\notin \mathbb {Z}$	rungerade
a> 0	$\mathbb {R} _{0}^{+}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{+}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$
a< 0	$\mathbb {R} _{0}^{-}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{-}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$

Graphen

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen$n$heißenParabeln$n$-ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen$n$Hyperbeln$n$-ter Ordnung. Der Parameter$a$drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der$y$-Achse um den Faktor$|a|$und außerdem Spiegelung an der$x$-Achse aus, falls$a<0$ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge$\mathbb {R} \setminus \{0\}$,dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

Symmetrie

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit$r\in \mathbb {Z}$sind symmetrisch; genauer: sie sindgeradefür gerade$r$undungeradefür ungerade$r$.Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur$y$-Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten fürx→ ±∞ undx→ 0

Alle Potenzfunktionen$x^{r}$mit positiven Exponenten haben eineNullstellebei$x=0$,steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion$e^{x}$) und gehen gegen$+\infty$für$x\to +\infty$.Für$r\in \mathbb {Z}$ergibt sich das Verhalten für$x\to -\infty$aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen$x^{r}$mit negativen Exponenten gehen gegen$+\infty$für$x\to 0\;(x>0)$.Sie fallen und gehen gegen$0$für$x\to +\infty$.

Stetigkeit, Ableitung und Integration

Jede Potenzfunktion$f\colon x\mapsto ax^{r}$ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörigeAbleitungsfunktionist (siehePotenzregel)

$f'\colon x\mapsto arx^{r-1}.$

Diese Formel gilt für alle$x\neq 0$und alle$r$,wenn$x^{r}$nur an der Stelle$x$definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle$x=0$,wenn$r\geq 1$ist. Für$0<r<1$ist die Funktion$x\mapsto a\,x^{r}$stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle$x=0$.

Zum Beispiel ist$(x{\sqrt[{3}]{x^{2}}})'={\tfrac {5}{3}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}$gültig in ganz$\mathbb {R} _{0}^{+}$(bzw. sogar in ganz$\mathbb {R}$,wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt – siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl$r\neq -1$ist die Formel

$\int x^{r}\;dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C$

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig. Für$r=-1$gilt

$\int x^{-1}\;dx=\int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln(|x|)+C$

Zum Beispiel gilt:

$\int x{\sqrt[{3}]{x^{2}}}\;dx=\int x^{5/3}\;dx=3/8~x^{8/3}+C=3/8~x^{2}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}+C$.

Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen

In diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet, bei denen der Nenner des gekürzten Exponenten ungerade ist, und es wird erklärt, wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden wird dann erläutert, welche der oben erwähnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geändert werden.

Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen

(→ Siehe auchPotenz)

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auchungeradeWurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades$n$und beliebiges$x\in \mathbb {R}$definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:

${\sqrt[{n}]{x}}$ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl$y$,für die$y^{n}=x$gilt.

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung$x^{3}=-8$gegeben durch$x={\sqrt[{3}]{-8}}=-2$(wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen$x=-{\sqrt[{3}]{8}}=-2$schreiben müsste).

Definitions- und Wertemenge

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun denDefinitionsbereichauf negative$x$erweitern: Sei$r=n/m$mit$n\in \mathbb {Z}$,$m\in \mathbb {N}$,$m$dabei ungerade, und seien$m$und$n$teilerfremd, dann gilt:

$x^{r}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}$${\qquad }$(oder, was äquivalent ist,${\quad }$$x^{r}=({\sqrt[{m}]{x}})^{n}$).

(Anmerkung: Ist$m=1$,dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für$n>0$ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich$\mathbb {R}$,für$n<0$ist sie gleich$\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von$a$beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen$m$oder$n$gerade ist (d. h. das Produkt$mn$gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d. h. das Produkt$mn$ungerade ist):

	n> 0		n< 0
	$mn$gerade	$mn$ungerade	$mn$gerade	$mn$ungerade
a> 0	$\mathbb {R} _{0}^{+}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{+}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$
a< 0	$\mathbb {R} _{0}^{-}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{-}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$

Symmetrie und Verhalten fürx→ ±∞ undx→ 0

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade$n$und ungerade für ungerade$n$.Ihr Verhalten für$x\to 0\;(x<0)$und für$x\to -\infty$ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

Anwendungen

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:

• Proportionalitäten$(r=1)$tauchen in vielen Zusammenhängen auf:
  • Kosten und Warenmenge (ohne Mengenrabatt)
  • Umrechnung zwischen Währungen
  • KreisumfangundRadius
  • MasseundVolumen(bei konstanterDichte)
  • vergangene Zeit und zurückgelegte Wegstrecke (bei konstanter Geschwindigkeit)
  • gefahrene Wegstrecke und verbrauchte Kraftstoffmenge (bei konstantem Verbrauch)
  • KraftundBeschleunigung(bei konstanter Masse)
  • Dehnung eines Körpers und angreifendeKraft(in gewissen Grenzen, sieheHookesches Gesetz)
• Praktisch genauso häufig kommenreziproke Proportionalitäten$(r=-1)$vor (auch indirekte oder Anti-Proportionalität genannt):
  • Arbeiterzahl und Arbeitszeit
  • benötigte Zeit für eine Wegstrecke und (konstanter)Geschwindigkeit
  • benötigteKraftund Länge eines Hebels (Hebelgesetz)
  • Masse und benötigte Kraft für gegebene Beschleunigung
• Viele Größen inGeometrieundPhysikhängen quadratisch voneinander ab$(r=2)$:
  • FlächeninhalteinesQuadratsund seine Seitenlänge
  • FlächeninhalteinesKreisesund seinRadius
  • Spannenergieund Dehnung eines Körpers
  • BewegungsenergieundGeschwindigkeit
  • zurückgelegte Wegstrecke und Zeit bei gleichmäßigerBeschleunigung
  • elektrische LeistungundStromstärkebei gegebenemWiderstand
  • LuftwiderstandskraftundGeschwindigkeitbeiturbulenter Strömung
• Die dritte Potenz$(r=3)$tritt beispielsweise in derGeometriehäufig auf:
  • RadiusundVolumeneinerKugel
  • Seitenlänge undVolumeneinesWürfels
• Einige physikalische Größen hängen in der vierten Potenz miteinander zusammen$(r=4)$:
  • Strahlungsleistung einesschwarzen Körpersund seine absoluteTemperatur(Stefan-Boltzmann-Gesetz)
  • Streuquerschnittfür Lichtstreuung und Lichtfrequenz(die u. a. für die blaue Farbe des Himmels verantwortlicheRayleigh-Streuung)
  • Volumenstrom durch ein dünnes Rohr und Rohrradius (Gesetz von Hagen-Poiseuille)
• Auch nicht-ganzzahlige Potenzen kommen in vielen Zusammenhängen vor:
  • Zusammenhang zwischenDruck,Volumenund absoluterTemperaturbeiadiabatischen Zustandsänderungen(siehe auchAdiabatenexponent)
  • Zusammenhang zwischen großerHalbachse$a$und Umlaufzeit$T$vonPlanetenbzw.Monden(3. Kepler-Gesetz)
  • Skalengesetze,beispielsweise beiPhasenübergängen,aber auch in derBiologie
  • In derGeometriegilt für den Zusammenhang zwischenOberflächeninhaltundRauminhalteinesWürfels:$V=(O/6)^{3/2}$;eine ähnliche Formel ergibt sich bei einerKugel.
  • Bei einem Universum, das mit einer homogenen Substanz erfüllt ist, die eineZustandsgleichungder Form$p=w\rho$erfüllt, ergibt sich für die Zeitabhängigkeit desSkalenfaktorsaus denFriedmann-Gleichungen:$a(t)\sim t^{2/3(1+w)}$.

Literatur

• Karl-Heinz Pfeffer:Analysis für Fachoberschulen.Vieweg+teubner 2005,ISBN 3-528-54006-0,S. 104 (eingeschränkte Online-Kopiein der Google-Buchsuche)
• Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke:Mathematik für Ingenieure.Vieweg+Teubner 2006,ISBN 3-8351-0073-4,S. 104 (eingeschränkte Online-Kopiein der Google-Buchsuche)
• Horst Stöcker:Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren.Harri Deutsch Verlag 2009,ISBN 978-3-8171-1812-0,S. 146 (eingeschränkte Online-Kopiein der Google-Buchsuche)

Weblinks

• Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten(pdf; 373 kB)
• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten(pdf; 105 kB)– ZUM-Materialien zur Potenzfunktion