Raumzeit

RaumzeitoderRaum-Zeit-Kontinuumbezeichnet die gemeinsame Darstellung des dreidimensionalenRaumsund der eindimensionalenZeitin einervierdimensionalenmathematischen Struktur. Diese Darstellung wird in derRelativitätstheoriebenutzt.

Der Mensch erlebtOrtundZeitals zwei verschiedene Gegebenheiten, unter anderem wegen der mit der Zeit verbundenenKausalität(eine Wirkung kann nicht früher als ihre Ursache eintreten). In derklassischen Physikund größtenteils in der Technik werden Ort und Zeit als voneinander unabhängigeGrößenbehandelt. Bei Geschwindigkeiten von der Größenordnung derLichtgeschwindigkeitzeigt sich jedoch, dass sich Zeit und Ort einesEreignissesgegenseitig bedingen. Zum Beispiel hängt der zeitliche Abstand zweier Ereignisse, wie er von einem bewegten Beobachter festgestellt wird, auch von ihrem räumlichen Abstand ab. Mit der Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie wurde erkannt, dass es vorteilhaft ist, die beiden Größen als Koordinaten in einem gemeinsamenvierdimensionalenRaum, demMinkowski-Raum,zu betrachten.

Im Zusammenhang der klassischen Mechanik ist der Raumzeitbegriff vonPenroseundArnolddiskutiert worden.

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Kausalität und Abstandsbegriff

Auch bei einer Kopplung von Raum und Zeit muss, falls Ereignis A das Ereignis B hervorruft, diese „Kausalität“in allenKoordinatensystemengelten; einKoordinatensystemwechseldarf die Kausalität von Ereignissen nicht verändern. Die Kausalität wird mathematisch durch einenAbstandsbegriffdefiniert. Der Abstand zweier Ereignisse hängt von den drei Ortskoordinaten$x,y,z$und der Zeitkoordinate$t$ab. Wegen der Forderung nach der Erhaltung der Kausalität zweier Ereignisse oder allgemeiner nach derLorentz-Invarianzmüssen physikalische Modelle inmathematischen Räumenbeschrieben werden, in denen Zeit und Raumin bestimmter Weise gekoppeltsind.

Es lässt sich einabsolut(absolut im Sinne der Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel) gültiger Abstandsbegriff, z. B. die sogenannteEigenzeitoder der „verallgemeinerte Abstand “, für Raumzeitpunkte („Ereignisse“) des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums definieren, auch bei beliebig eng („infinitesimal “) benachbarten Ereignissen. Was davon als räumlicher und was als zeitlicher Abstand gemessen wird, hängt ab vomBewegungszustanddesBeobachtersund (im Falle der allgemeinen Relativitätstheorie) von der Anwesenheit von Masse bzw. Energie (z. B. inFeldern).

Mathematisch wird die Raumzeit mit Hilfe einerpseudo-riemannschen Mannigfaltigkeitbeschrieben, speziell im sogenanntenMinkowski-Raum.Im Minkowski-Raum muss zur Berechnung von Abständen$\mathrm {\Delta } s$außer den Ortskoordinaten auch die Zeitkoordinate der Ereignisse berücksichtigt werden, also$c\mathrm {\Delta } t,\mathrm {\Delta } x,\mathrm {\Delta } y,\mathrm {\Delta } z$mit der Lichtgeschwindigkeit$c$.Die klassische Berechnung von räumlichen Abständen in kartesischen Koordinaten – der quadrierte Abstand ist$\textstyle (\mathrm {\Delta } x)^{2}+(\mathrm {\Delta } y)^{2}+(\mathrm {\Delta } z)^{2}$– wird daher modifiziert: Der quadrierte verallgemeinerte Abstand von zwei Ereignissen im Minkowski-Raum ist$\textstyle (\mathrm {\Delta } s)^{2}=(c\mathrm {\Delta } t)^{2}-(\mathrm {\Delta } x)^{2}-(\mathrm {\Delta } y)^{2}-(\mathrm {\Delta } z)^{2}$und wird auchRaumzeit-MetrikoderRaumzeit-Intervallgenannt. Die hier benutzten Vorzeichen$\textstyle (+,-,-,-)$sind dieSignaturder Metrik und teilweise eine Frage der Konvention. Es gibt andere, gleichwertige Signaturen, etwa$\textstyle (-,+,+,+)$,oder weniger gebräuchliche wie$\textstyle (\mathrm {i},+,+,+)$,wo$\mathrm {i}$mit$\mathrm {i} ^{2}=-1$dieimaginäre Einheitderkomplexen Zahlenist.

Minkowski-Raum, Vierervektoren

→Hauptartikel:Minkowski-Raum

In derspeziellen Relativitätstheorie(SRT) werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten$(x,y,z)$um eine Zeitkomponente$ct$zu einemVierervektorimMinkowski-Raum$\mathbb {M} ^{4}=\mathbb {R} ^{1,3}$(„Raumzeit “) erweitert, also$(ct,x,y,z)$.

Ein Punkt in der Raumzeit besitzt drei Raumkoordinaten sowie eine Zeitkoordinate und wird alsEreignisoderWeltpunktbezeichnet.

Für Ereignisse wird ein invarianter raum-zeitlicher Abstand definiert. Im klassischeneuklidischen Raum,einem dreidimensionalenkartesischen Koordinatensystem,bleibt das differentielle räumliche Abstandsquadrat (euklidische Norm) zweier Punkte lediglich unterGalilei-Transformationenkonstant:

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}$

In der SRT dagegen wird ein für alle Beobachter identischer (verallgemeinerter) Abstand definiert, der auch unterLorentz-Transformationenkonstant (invariant) bleibt (diese Invarianz definiert man durch die Forderung, dass der vierdimensionale Abstand bzw. die Minkowski-Metrik konstant (invariant) unter einerlinearenKoordinatentransformationist, wodurch sich die oben erwähnteHomogenitätder Raumzeit ausdrückt):

$\mathrm {d} s^{2}:=\eta _{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}$.

Dies ist die quadrierteMinkowski-Norm,welche die uneigentlicheMetrik(Abstandsfunktion) der flachen Raumzeit erzeugt. Sie wird durch das (indefinite)invarianteSkalarproduktauf dem Minkowski-Raum induziert, welches sich alsWirkungdes(pseudo)-metrischen Tensors$\eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)$definieren lässt:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\eta _{\mu \nu }x^{\mu }y^{\nu }$(beachte:Einsteinsche Summenkonvention)

Dieser metrische Tensor wird im physikalischen Sprachgebrauch auch als „Minkowski-Metrik “oder „flache Metrik “der Raumzeit bezeichnet, obwohl er im eigentlichen Sinne nicht mit der Metrik an sich zu verwechseln ist. Es handelt sich mathematisch vielmehr um ein Skalarprodukt auf einerpseudoriemannschen Mannigfaltigkeit.

Bei demLinienelement$\mathrm {d} s$handelt es sich bis auf den Faktor$1/c$um die differentielleEigenzeit:

$\mathrm {d} \tau ={\frac {\mathrm {d} s}{c}}=\mathrm {d} t\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$.

Diese wird mit einermitbewegtenUhr gemessen, also im „momentan begleitenden Inertialsystem “, in dem das auf derWeltliniebefindliche Teilchen ruht:$(v(t)\equiv 0)$.

Ein Element (Vektor) der Raumzeit heißt

• zeitartig,wenn$\mathrm {d} s^{2}>0$gilt (Raumzeit-Abstand reell). Zwei Ereignisse, für die$\mathrm {d} s^{2}$positiv ist, sind gegenseitig sichtbar, d. h., sie liegen innerhalb desLichtkegels.
• raumartig,wenn$\mathrm {d} s^{2}<0$gilt (Raumzeit-Abstand imaginär). Zwei Ereignisse, für die$\mathrm {d} s^{2}$negativ ist, sind raumzeitlich so weit voneinander entfernt, dass ein Lichtstrahl nicht rechtzeitig von einem zum anderen Ereignis gelangen kann. Da Information entweder über Licht oder Materie übertragen wird und die Geschwindigkeit von Materie in der Relativitätstheorie niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann (und somit auch nicht überschreiten kann), können solche Ereignisse niemals in einerUrsache-Wirkung-Beziehungstehen. Sie könnten nur mit Überlichtgeschwindigkeit wahrgenommen werden, sind also prinzipiell gegenseitig unsichtbar, d. h., sie liegen außerhalb des Lichtkegels.
• lichtartig,wenn$\mathrm {d} s^{2}=0$gilt. Licht bewegt sich stets genau mit der Geschwindigkeit$c$,so dass für es in allen Bezugssystemen$\mathrm {d} s^{2}\equiv 0$gilt (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit,das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie).

Die Klassifizierung der Raumzeit-Vektoren (raumartig, lichtartig oder zeitartig) bleibt bei den zulässigen Transformationen (Lorentztransformationen) unverändert (Invarianz des Lichtkegels).

Praktische Anwendung findet das Rechnen mit Raumzeitvektoren in derKinematik schneller Teilchen.

Mathematische Motivation der Minkowski-Metrik

• Betrachtet man denD’Alembert-Operator$\Box$,bestehend aus der zweitenpartiellen Ableitungnach der Zeit und demLaplace-Operatormit

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}$,

so ist zu erkennen, dass man auch abkürzend

$\Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }$

schreiben kann, wenn folgende zweiVierervektoreneingeführt werden:

$\partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)$

$\partial ^{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)$

In diesem Fall tritt die Zeit als vierte Dimension auf, die Metrik$\eta _{\mu \nu }$muss also von einer$4\times 4$-Matrix induziert sein.

• Da die vier Dimensionenlinear unabhängigsind, lässt sich$\eta _{\mu \nu }$auf Diagonalform bringen (Hauptachsentransformation).

$(\eta _{\mu \nu })=\left({\begin{array}{cccc}\ Alpha _{0}&0&0&0\\0&\ Alpha _{1}&0&0\\0&0&\ Alpha _{2}&0\\0&0&0&\ Alpha _{3}\end{array}}\right)$

• Aufgrund der Forderung, dass es keine ausgezeichneten Raumzeit-Koordinaten gibt, können die Diagonalelemente nur den Wert$\pm 1$besitzen. Für die Raumkoordinaten wird hier$-1$gewählt. Dies ist aber eine Konvention, die nicht einheitlich verwendet wird.

$(\eta _{\mu \nu })=\left({\begin{array}{cccc}\pm 1&0&0&0\\0&\mp 1&0&0\\0&0&\mp 1&0\\0&0&0&\mp 1\end{array}}\right)$

• Die Zeitkomponente kann nicht dasselbeVorzeichenhaben wie die Raumkomponenten. Hierzu betrachtet man wieder den D’Alembert-Operator$\Box$:

$\Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\eta _{\mu \nu }\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }$

Daraus ergäbe sich als homogeneWellengleichungfür eine Welle$\psi$

$\left({\vec {\nabla }}^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\psi =0$

Setzt man nun für$\psi$eineebene Wellean, d. h.$\psi ({\vec {r}},t)=A\,e^{\mathrm {i} ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\ Omega t)}$,so ergäbe sich eine komplexe Frequenz, und damit wäre$\psi$exponentiell gedämpft. In diesem Fall gäbe es also keine dauerhaften ebenen Wellen, was im Widerspruch zur Beobachtung steht. Folglich muss die Zeitkomponente ein anderes Vorzeichen haben:

$(\eta _{\mu \nu })=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)$

Daraus ergibt sich die korrekte homogene Wellengleichung

$\left({\vec {\nabla }}^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\psi =0$

Minkowski-Diagramm

ImMinkowski-Diagrammkönnen die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie

Nichteuklidische Geometrien

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit in derallgemeinen Relativitätstheorieist diepseudo-riemannsche Geometrie.Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere dasParallelenaxiom,müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise keinGeradenteilstückmehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht dieGeodätein der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfläche sind die Geodäten dieGroßkreise.Die Winkelsumme im – aus Geodätenabschnitten bestehenden – Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Raumzeit-Krümmung

Siehe auch:Gravitationswelle

Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch jede Form von Energie und Impuls, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen denEnergie-Impuls-Tensorund gehen in dieEinsteingleichungenals Quelle des Gravitationsfeldes ein. Daraus resultiert eine krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang vonGeodäten.In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) gilt stets die flache Metrik derspeziellen Relativitätstheorie.Wird die gekrümmte Bewegung einer Gravitationsbeschleunigung$g$zugeschrieben, muss die konstante Raumkrümmung mit dem Faktor$g/c^{2}$beschrieben werden. Im Modell der gekrümmten Raumzeit jedoch existiert so etwas wie eine Gravitationskraft gar nicht, an ihre Stelle ist eine für alle kräftefreien Körper in diesem (infinitesimalen) Raumabschnitt gleiche Krümmung derWeltlinien(Bewegungskurven in der Raumzeit) getreten.

In vielen populären Darstellungen der allgemeinen Relativitätstheorie wird häufig nicht beachtet, dass die dem Gravitationsfeld zugeschriebenen Wirkungen nicht allein durch Krümmung des dreidimensionalen Raums, sondern erst durch die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit hervorgerufen werden. Dass stets RaumundZeit gekrümmt sein müssen, ist anschaulich leicht zu verstehen: Wäre nur der Raum gekrümmt, so wäre dieTrajektorieeines geworfenen Steines immer dieselbe, egal welche Anfangsgeschwindigkeit der Stein besäße, da er stets nur dem gekrümmten Raum folgen würde. Nur durch die zusätzliche Krümmung der Zeit können die je nach Geschwindigkeit verschiedenen Trajektorien zustande kommen. Im Rahmen der ART kann dies auch mathematisch gezeigt werden.

Im normalen, dreidimensionalen Raum ist nur die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit$v$,so ist die Weltlinie gegenüber der Zeitachse geneigt, und zwar um den Winkel α mit$\tan \ Alpha =v/c$.Die Projektion der Bahn wird mit steigendem$v$um den Faktor$1/\sin \ Alpha$länger, der Krümmungsradius um den gleichen Faktor$1/\sin \ Alpha$größer, die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung pro Längenabschnitt) ist daher um den Faktor$\sin ^{2}\ Alpha$kleiner.

Mit

$\sin \ Alpha ={\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung$g/c^{2}$für die beobachtete Bahnkrümmung$\kappa =1/R$im dreidimensionalen Raum

$\kappa ={\frac {g}{v^{2}}}\cdot \left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$.

Raumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung

Für kleine Geschwindigkeitenv≪cist die Bahnkrümmungg/v²und entspricht damit dem Wert bei einer klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mitv=chat der Faktor(1 + v²/c²)den Wert2,die Krümmung 2g/c²entspricht also dem doppelten Wert der klassischen Betrachtungg/c².Die Winkelabweichung von Sternenlicht der Fixsterne in Sonnennähe sollte also doppelt so groß sein wie im klassischen Fall. Dies wurde vonArthur Eddingtonim Rahmen einer Afrikaexpedition zur Beobachtung derSonnenfinsternisvon 1919 erstmals verifiziert, was große Aufmerksamkeit fand und zur Durchsetzung der Allgemeinen Relativitätstheorie wesentlich beitrug. Seine Beobachtungen erwiesen sich in späteren Analysen zwar als ungenau, nachfolgende Beobachtungen bei Sonnenfinsternissen bestätigten aber die Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Wegen dieser kleinen Abweichung vom klassischen Wert sind (ungestörte) Planetenbahnen auch keine exakten Ellipsen, sondern unterliegen einerApsidendrehung.Eine solche bis dahin in der Himmelsmechanik nicht erklärbare Apsidendrehung war zuvor beim PlanetenMerkurbeobachtet worden und fand durch die Allgemeine Relativitätstheorie eine Erklärung.

Symmetrien

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl vonSymmetrien,die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation,Rotation) auch die Symmetrien unterLorentztransformationen(Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt dasRelativitätsprinzipsicher.

Literatur

• George F. R. Ellis,Ruth M. Williams:Flat and curved space-times.Oxford Univ. Press, Oxford 1992,ISBN 0-19-851164-7.
• Erwin Schrödinger:Space-time structure.Cambridge Univ. Press, Cambridge 1950, deutsch:Die Struktur der Raum-Zeit.Wiss. Buchges., Darmstadt 1993,ISBN 3-534-02282-3.
• Edwin F. Taylor,John Archibald Wheeler:Spacetime physics.Freeman, San Francisco 1966,ISBN 0-7167-0336-X,deutsch:Physik der Raumzeit.Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 1994,ISBN 3-86025-123-6.
• Rainer Oloff:Geometrie der Raumzeit.Vieweg, Wiesbaden 2008,ISBN 978-3-8348-0468-6.
• Abhay Ashtekar:Springer handbook of spacetime.Springer, Berlin 2014,ISBN 978-3-642-41991-1.

Philosophische Bücher:

• Paul Davies:Die Unsterblichkeit der Zeit. Die moderne Physik zwischen Rationalität und Gott.Scherz, München 1995,ISBN 3502131430(Original:About Time – Einstein’s unfinished revolution.Simon and Schuster, 1995).
• Robert DiSalle:Understanding space-time: the philosophical development of physics from Newton to Einstein.Cambridge Univ. Press, Cambridge 2007,ISBN 978-0-521-85790-1.
• Ulrich Majer:Semantical aspects of spacetime theories.BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994,ISBN 3-411-16161-2.
• Ulrich Majer, Heinz-Jürgen Schmidt:Reflections on Spacetime. Foundations, Philosophy, History.Springer Netherlands, Dordrecht 1995,ISBN 978-0-7923-3712-6.
• Moritz Schlick:Raum und Zeit in der gegenwärtigen Physik.Springer, Berlin 1922,doi:10.1007/BF02448303.
• Lawrence Sklar:Space, Time, and Spacetime.University of California Press, 1977.

Weblinks

Wiktionary: Raumzeit– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Literatur von und über Raumzeitim Katalog derDeutschen Nationalbibliothek
• Albert Einstein Archivesder Hebräischen Universität Jerusalem
• From the Greeks to Gravity Probe Bauf Stanford-Universität Kalifornien