Rechter Winkel

Ein rechter Winkel

Einrechter Winkel,kurz auchRechter,ist einWinkelvon 90° und damit der vierte Teil einesVollwinkelszu 360°. ZweiGeradenoderStrecken,die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden alsrechtwinklig,senkrecht oderorthogonalbezeichnet. Rechte Winkel treten in vielengeometrischen Figurenund Konstruktionen auf und werden in Zeichnungen durch einen kleinenViertelkreismit Punkt oder durch ein kleinesQuadratgekennzeichnet. Der rechte Winkel war neben dem Vollwinkel zeitweise einegesetzliche Einheitin Deutschland und in der Schweiz.

Definition

Zwei rechte Winkel

SowohlEuklidin seinem WerkDie Elemente(ca. 300 v. Chr.), als auchDavid Hilbertin seinemAxiomensystem der euklidischen Geometrie(1899) definieren einen rechten Winkel als einen Winkel, derkongruentzu seinemNebenwinkelist:

„Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der gleichen Nebenwinkel ein Rechter “

–Euklid:Die Elemente: I.10; deutsche Übersetzung vonClemens Thaer

Das Adjektiv „recht “meint hierbei nichtrechts,sondern recht im Sinne von aufrecht (lateinischrectus).Alternativ dazu wird spätestens seit dem 16. Jahrhundert ein rechter Winkel auch als ein Winkel, zu dem einViertelkreisgehört, definiert.Beide Definitionen sind zueinander äquivalent, denn zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einengestreckten Winkel,dem einHalbkreisentspricht.

Beispiele

Je zwei Koordinatenachsen im kartesischen Koordinatensystem bilden miteinander einen rechten Winkel

In der Ebene bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

• dieKoordinatenachseneineskartesischen Koordinatensystems
• zwei benachbarteSeiteneinesRechtecks
• die beidenKatheteneinesrechtwinkligen Dreiecks
• die beidenDiagonaleneinesDrachenvierecks
• die beidenHalbachsen einer Ellipse
• die Verbindungslinien eines Punkts auf einemHalbkreismit den Endpunkten desDurchmessers(Satz des Thales)

Im Raum bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

• je zwei der Koordinatenachsen eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems
• zwei benachbarteKanteneinesQuaders
• je zwei der dreiRaumdiagonaleneinesOktaeders
• zwei zueinanderorthogonaleVektoren
• dasLotauf eineEbenemit jederGeradeder Ebene durch den Lotfußpunkt

In einemorthogonalen Polygonoder einemorthogonalen Polyederbilden alle benachbarten Kanten rechte Winkel.

Bestimmung rechter Winkel

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden sich in einem rechten Winkel, wenn das Produkt der Steigungen$-1$ergibt

Zwischen Strecken

ZweiStrecken$[AC]$und$[BC]$bilden nach demSatz des Pythagorasgenau dann einen rechten Winkel, wenn für die Längen der Strecken

$|AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}$

gilt. Die ganzzahligen Lösungen dieserGleichungheißenpythagoreische Tripel.So bilden zwei Strecken, die sich in einem Punkt treffen und deren Längen$3$bzw.$4$Einheiten betragen, genau dann miteinander einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsstrecke der beiden Endpunkte$5$Einheiten lang ist, denn

$3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}$.DieHarpedonapten(Seilspanner) im alten Ägypten verwendeten dies zur Konstruktion des rechten Winkels.

Zwischen Funktionsgraphen

DieGraphenzweierlinearer Funktionen$f(x)=m_{1}x+b_{1}$und$g(x)=m_{2}x+b_{2}$schneiden sich genau dann in einem rechten Winkel, wenn für dasProduktderSteigungen

$m_{1}\cdot m_{2}=-1$

gilt. Beispielsweise schneiden sich die Graphen der beiden linearen Funktionen$f(x)=-2x+5$und$g(x)={\tfrac {1}{2}}x+2$rechtwinklig, denn

$m_{1}\cdot m_{2}=(-2)\cdot {\tfrac {1}{2}}=-1$.

Allgemeiner schneiden sich die Graphen zweierdifferenzierbarer Funktionen$f$und$g$genau dann in einem rechten Winkel, wenn am Schnittpunkt${\bar {x}}$das Produkt derAbleitungen(derTangentensteigungen)

$f'({\bar {x}})\cdot g'({\bar {x}})=-1$

ergibt. So schneiden sich beispielsweise die Graphen der Funktionen$f(x)={\tfrac {1}{2}}(x^{2}+1)$und$g(x)={\tfrac {1}{x}}$an der Stelle${\bar {x}}=1$rechtwinklig, denn$f({\bar {x}})=g({\bar {x}})$und

$f'({\bar {x}})\cdot g'({\bar {x}})={\bar {x}}\cdot (-{\tfrac {1}{{\bar {x}}^{2}}})=1\cdot (-1)=-1$.

Zwischen Kurven

Zwei sich schneidende Geraden bilden in einem kartesischen Koordinatensystem genau dann einen rechten Winkel, wenn für dasSkalarproduktderRichtungsvektoren${\vec {r}}$und${\vec {s}}$der beiden Geraden

${\vec {r}}\cdot {\vec {s}}=0$

gilt. So stehen beispielsweise zwei Geraden mit den Richtungsvektoren${\vec {r}}=(2,1)$und${\vec {s}}=(1,-2)$aufeinander senkrecht, da

${\vec {r}}\cdot {\vec {s}}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$

ist. Allgemeiner bilden zwei sich schneidende differenzierbareKurvenmiteinander einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt ihrerTangentialvektorenam Schnittpunkt verschwindet.

Trigonometrie

Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Für einen rechten Winkel ist der Wert der horizontalen Achse$\pi /2\approx 1{,}57$.

Für dietrigonometrischenFunktionenSinus und Kosinus,Tangens und KotangenssowieSekans und Kosekanseines rechten Winkels$\ Alpha$gilt:

• $\sin \ Alpha =\csc \ Alpha =1$
• $\cos \ Alpha =\cot \ Alpha =0$
• $\tan \ Alpha$und$\sec \ Alpha$sind nicht definiert

Einheiten

Ein rechter Winkel entspricht in den verschiedenenWinkelmaßen:

• 1 Rechter = 90° = 90Grad
• 1 Rechter =$\pi$/2radimBogenmaß(SI-Einheit)
• 1 Rechter = 100^g= 100gon= 100Neugrad
• 1 Rechter = 8 "= 8nautische Strich
• 1 Rechter = 1600¯ = 1600 mil = 1600artilleristische Strich
• 1 Rechter = 6^h= 360^m= 21600^simStundenmaß

Vom 5. Juli 1970 bis zum 29. November 1973 war neben demVollwinkel(360 Grad) auch der rechte Winkel mit dem Einheitenzeichen^∟in Deutschland einegesetzliche Einheit.Bis zum 31. Dezember 1996 war der rechte Winkel in der Schweiz gesetzliche Einheit.

Konstruktion zeichnerisch

Hilfsmittel zum Zeichnen von rechtwinkligen Linien sind beispielsweise in der Schule einmathematisches Papieroder einGeodreieck.ZurKonstruktion mit Zirkel und LinealsieheLot (Mathematik).Beimtechnischen ZeichnenamReißbrettwird einZeichenkopfmitZeichenschieneneingesetzt. Immetall-undholzverarbeitendenHandwerk wird zur Abmessung rechter Winkel einWinkelmaßoder eineLehreverwendet.

• 
  Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt$P$einer Gerade$g$mit Zirkel und Lineal
• 
  Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt$P$($M$frei wählbar) einer Halbgeraden$h$,bei eingeschränkten Platzverhältnissen, mit Hilfe desThaleskreises,Animation

In der Praxis erhält man so natürlich immer nur Näherungen an das geometrische Konzept des rechten Winkels.

• 
  Zeichnen rechter Winkel mit dem Geodreieck
• 
  ZweiHaarwinkel
• 
  Ingenieur am Reißbrett
• 
  EinAnschlagwinkel

Konstruktion praktisch

kleinster Tripel:$(3,4,5)$

Zur Konstruktion rechter Winkel über längere Distanzen hinweg wurden im Laufe der Zeit verschiedene mechanische Hilfsmittel entwickelt. Die einfachste Art, einen rechten Winkel zu konstruieren, erfolgt mit einer Schnur, an der 12 gleiche Abstände markiert sind (12-Knoten-Schnur). Diese spannt man zu einem Dreieck mit den Kantenlängen$(3,4,5)$.Zwischen den zwei kurzen Seiten (Katheten) liegt der rechte Winkel (genau 90°). Diese Methode wurde schon im alten Ägypten und im Mittelalter in derBaukunstbenutzt. Wenn man beispielsweise mit einerSchlauchwaageeine waagrechte Linie konstruieren kann, kann man so eine senkrechte Linie konstruieren. Oder wenn man mit demSenkbleieine senkrechte Linie konstruieren kann, kann man so eine waagrechte Linie konstruieren. Das zugrundeliegende Prinzip heißtpythagoreisches Tripel.

In derrömischen Bautechnikwurde bei derLimitationvon Siedlungen eineGromazurAbsteckungrechter Winkel verwendet, in neuerer Zeit kam hierfür eineKreuzscheibezum Einsatz. In derGeodäsiekommt beiKatastervermessungenmit demOrthogonalverfahreneinWinkelprismaoder einTheodolitzum Einsatz.

Heute sind diese Geräte weitgehend durchelektro-optische Entfernungsmesser,wie beispielsweiseTachymeter,abgelöst worden.

Kennzeichnung und Kodierung

Kennzeichnung eines rechten Winkels im deutsch- und im englischsprachigen Raum

Zur Kennzeichnung rechter Winkel in Zeichnungen wird im deutschsprachigen Raum sowie einer Reihe weiterer europäischer Länder ein beide Schenkel des Winkels verbindender Viertelkreis mit einem Punkt darin verwendet. Gelegentlich wird der Punkt auch weggelassen. Im englischsprachigen Raum wird zur Kennzeichnung ein beide Schenkel des Winkels verbindender und mit ihnen ein kleines Quadrat (bzw. bei schräger DarstellungParallelogramm) bildender zweiter rechter Winkel eingezeichnet.

ImZeichensatzwerden rechte Winkel folgendermaßen definiert und kodiert:

ZeichenkodierungsstandardUnicode
undInternet-DokumentenformatHTML

Zeichen	Unicode		Name	HTML
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
∟	U+221F	right angle	Rechter Winkel	∟	∟	–
⦜	U+299C	right angle variant with square	Variante eines rechten Winkels mit Quadrat	⦜	–	–
⦝	U+299D	measured right angle with dot	Gemessener rechter Winkel mit Punkt	⦝	–	–
⊾	U+22BE	right angle with arc	Rechter Winkel mit Bogen	⊾	⊾	–

Das Zeichen ∟ für den rechten Winkel wurde erstmals von dem griechischen MathematikerPapposim 4. Jh. n. Chr. verwendet.

Historisches

Pfeilersteine mit rechten Winkeln ausGöbekli Tepe(um 9000 v. Chr.) imArchäologischen Museum Şanlıurfa

Rechte Winkel sind – wie derKreis,dieGeradeetc. – Abstraktionen des menschlichen Geistes in seiner permanenten Auseinandersetzung mit der Natur und seinen eigenen Bedürfnissen.Sie kommen in der belebten Natur nicht vor und sind auch in der unbelebten sichtbaren Natur äußerst selten. Wahrscheinlich realisierte der Mensch den rechten Winkel erstmals in kleinen Zeichnungen derHöhlenmalereisowie beim Bau von Hütten. Bei letzteren entwickelten sie sich zwischen waagerechtem Boden und aufrecht stehenden Stangen sowie zwischen senkrecht stehenden Pfosten und horizontaler Geflechtfüllung. Später erscheinen sie auch in derFlecht-undWebkunst(z. B. beiMattenundStoffen).

Dieses einmal gefundene Grundmuster schützte vor Wind und war blickdicht; es wurde immer weiter verfeinert und so entstanden Jahrtausende später die erstenLehm-und Steinbauten mit rechtwinkligen Zugängen sowie Ecken und Ornamenten. Waren die etwa 10- bis 12.000 Jahre alten Bauten vonGöbekli Tepenoch rund, so zeigen die Kanten der dortigen großen Pfeiler eindeutig rechte Winkel; die unmittelbar nebeneinander gebauten Häuser vonCatalhöyük(um 7000 v. Chr.) haben hingegen bereits allesamt ein rechtwinkliges Grundmuster. Bei denMegalithbautenderJungsteinzeit(um 3500 v. Chr.) sind exakt rechtwinklige Konstruktionen eher selten, doch spielen sie in z. B.Stonehengeund bei einigenDolmendurchaus eine bedeutende Rolle. Einen großen Aufschwung nahm der rechte Winkel im Bereich der Architektur durch die Herstellung vonLehmziegelnund später vonZiegelsteinen.

Während Ägypter, Griechen, Römer und selbst diemesoamerikanischenKulturen den Rechten Winkel in der Baukunst häufig verwenden, tritt er in derKeramiksowie in einzelnen Phasen der indisch-asiatischen sowie der europäischen Baukunst (Gotik,Barock) oder bei einzelnen Architekten derPostmoderne(z. B.Frank GehryoderFriedensreich Hundertwasser) in den Hintergrund.

In derOrnamentikkommen rechte Winkel seit der Antike in vielfältiger Weise zum Einsatz. Hier sind beispielsweise zu nennen:Fischgrätmuster,Schachbrettmuster,Mäander,Zick-Zack-Muster.Selbst bei den diversenKreuzformensind rechte Winkel zu finden.

Siehe auch

• Schnurgerüst

Weblinks

Commons:Rechte Winkel– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein:Right Angle.In:MathWorld(englisch).