Satz des Thales
![Satz des Thales](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/01_Satz_des_Thales.gif)
DerSatz des Thalesist einSatzderGeometrieund ein Spezialfall desKreiswinkelsatzes.Vereinfacht lautet er:Alle von einemHalbkreisumschriebenenDreieckesindrechtwinklig.
Der ersteBeweiswird dem antiken griechischenMathematikerundPhilosophenThales von Miletzugeschrieben.[1]Die Aussage des Satzes war bereits vorher inÄgyptenundBabylonienbekannt.
Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Triangle-thales-circle.svg/310px-Triangle-thales-circle.svg.png)
Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden EndpunktendesDurchmesserseinesHalbkreises(Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer einrechtwinkliges Dreieck.
Oder: Liegt der Punkteines Dreiecksauf einem Halbkreis über derStrecke,dann hat das Dreieck beiimmer einenrechten Winkel.
Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: DerMittelpunktdesUmkreiseseines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte derHypotenuse,also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Oder: Hat das Dreieckbeieinen rechtenWinkel,so liegtauf einemKreismit derHypotenusealsDurchmesser.
Beweise
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seinerElementemit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her:[2]
Beweis mit gleichschenkligen Dreiecken
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- In jedemgleichschenkligen Dreiecksind dieWinkelan der Basis gleich.[3]
- DieInnenwinkelsummeim Dreieck ist 180°.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Thales-circle-triangle.svg/310px-Thales-circle-triangle.svg.png)
ABC sei ein Dreieck innerhalb einesKreisesmitals Kreisdurchmesser und demRadius.Dann ist derMittelpunktM der Streckeauch derKreismittelpunkt.Die Streckenlängen,undsind also gleich dem Radius.
Die Strecketeilt das Dreieckin zwei Dreieckeundauf, diegleichschenkligsind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also dieWinkelan der Grundseitebzw.,sind daher jeweils gleich (beziehungsweisein der Abbildung).
DieWinkelsummeim Dreieckbeträgt 180°:
Dividiert man dieseGleichungauf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich
- .
Damit ist gezeigt, dass derWinkelmit Scheiteleinrechter Winkelist.
Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich auf die Aussage zurückführen, dass dieDiagonaleneinesRechtecksgleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.
Beweis mit Vervollständigung zum Rechteck
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Thales_theorem_by_refelection1.svg/220px-Thales_theorem_by_refelection1.svg.png)
Wird der PunktamDurchmesserund anschließend an derMittelsenkrechtenvongespiegelt, dann liegt der BildpunktwegenSymmetrieauf dem unterenHalbkreisüber der Seite.Das ist einePunktspiegelungam Kreismittelpunkt.Daher sind die Seiten undundsowieundparallelund dasViereckist einParallelogramm.Weil dieDiagonalenundDurchmesser desKreisesund daher gleich lang sind, ist das Parallelogramm ein Rechteck und derWinkelbeieinrechter Winkel.
Beweis mit kartesischen Koordinaten
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Der Kreismittelpunkt sei derKoordinatenursprung.Sind derRadiusund die Punkte,undmitkartesischen Koordinatengegeben, dann gilt nach demSatz des Pythagoras.Wegenundgilt imDreieckdieGleichung
- .
Aus der Umkehrung des Satzes des Pythagoras folgt, dass das Dreieckim Punktrechtwinkligist.
Mit demSatz des Pythagoraskann auch gezeigt werden, dass dasSkalarproduktderVektorenundgleich Null ist:
Es istund.
- ,
woraus folgt, dass derKosinusdes Winkels im Punkt C gleich Null ist und somit das Dreieck ABC einenrechten Winkelin C hat.
Trigonometrischer Beweis
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Sind derWinkel,derRadiusund die Punkte,mitkartesischen Koordinatengegeben, dann hat der PunktdieKoordinaten.Die Seitehat dieSteigung
und die Seitehat die Steigung
- .
Wegenist das Produkt der Steigungen gleich
- .
Daraus folgt, dass die Seitenundzueinanderorthogonalsind und einenrechten Winkelbilden.
Einen weiteren Beweis findet man hier:Wikibooks: Beweisarchiv.
Anwendungen
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Konstruktion einer Kreistangente
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Thales%27_Theorem_Tangents.svg/350px-Thales%27_Theorem_Tangents.svg.png)
Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. dieKonstruktionder beidenTangentenan einenKreisk durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenenPunkt.
Gegeben sei derRadiusvomKreismit seinemMittelpunktsowie derAbstanddes Punktesvon.Vom Punktwissen wir nur, dass er auf der Kreislinie, irgendwo im ersten Viertel vom Kreis,liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreieckeeinzeichnen.
Da die obere durchverlaufendeTangenteden Kreisgenau im Punktberührt, muss das Dreieckeinen rechten Winkel am Punkthaben (Grundeigenschaft der Kreistangente), oder anders formuliert: Die Streckemuss senkrecht auf der Tangentestehen.
Um ein Dreieckzu finden, das auchrechtwinkligist, ermitteln wir von der StreckedenMittelpunktmithilfe derMittelsenkrechten,zeichnen einen Kreis mit demRadiusum den Mittelpunktund machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite,deren dritterEckpunktauf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck.
DerBerührpunktkann deshalb nur derSchnittpunktdes Kreisesmit dem hellgrauen Kreis sein. Durch Verbinden vonmiterhält man nun die gesuchte Tangente(in der Zeichnung rot).
Es existiert eine zweite,symmetrischeLösungin der unteren Hälfte desKreises.DieTangente(ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt.
Riemengetriebe
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Für die zwei folgenden Anwendungen beginnt man mit der Konstruktion der beiden Kreistangenten an den Hilfskreis(grün) – analog zur obigen Beschreibung – mithilfe des Mittelpunktesder kleineren Riemenscheibe.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/01_Tangenten-2_Kreise.svg/350px-01_Tangenten-2_Kreise.svg.png)
Der Radiusdes Hilfskreises(grün) ergibt sich aus derSubtraktionder beiden Kreisradien:
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/01_Tangenten-2_Kreise-gekreuzt.svg/350px-01_Tangenten-2_Kreise-gekreuzt.svg.png)
Der Radiusdes Hilfskreises(grün) ergibt sich aus derSummeder beiden Kreisradien:
Konstruktion reeller Quadratwurzeln
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Mithilfe des Satzes des Thales lassen sich die folgendenQuadratwurzelnkonstruieren:[4]
- ausundaus(sieheZahl größer als 1).
- ausausundaus(sieheZahl kleiner als 1).
Zahl größer als 1
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/01-Konstruktion_Quadratwurzel.svg/350px-01-Konstruktion_Quadratwurzel.svg.png)
Soll dieQuadratwurzeleinerreellen Zahl,die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in- und-Anteile, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt. ImPrinzipsind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.
Es beginnt mit dem Einzeichnen der Streckemit Längeauf einer hier nicht näher bezeichnetenGeraden.Ist die gegebene Zahleineganze Zahl,wird dasProduktab dem Punktauf die Gerade abgetragen; d. h. ist z. B. die Zahl,wird die Streckeachtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunktbringt dieHypotenusedes entstehendenDreiecks.
Isteinereelle Zahl,besteht u. a. auch die Möglichkeit,mithilfe desdritten Strahlensatzeszukonstruieren.
Es folgen dieSenkrechteaufimPunktund die Halbierung der Seitein.Abschließend wird der Thaleskreis umgezogen.
- Nach demHöhensatz des Euklidgilt,daraus folgt,
- somit ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecksgleich der Quadratwurzel aus.
- Nach demKathetensatz des Euklidgiltdaraus folgt
- somit ist die Seitenlängedes rechtwinkligen Dreiecksgleich der Quadratwurzel aus.
Zahl kleiner als 1
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/01-Rechtwinkliges_Dreieck_Halbkreis_r-0.5.svg/310px-01-Rechtwinkliges_Dreieck_Halbkreis_r-0.5.svg.png)
Ist dieQuadratwurzeleiner Zahl, die kleiner alsist, gesucht, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt.
Es beginnt ab dem Punkt(Wert) mit einerHalbgeraden.Darauf wird die Streckemit Längeund die Streckemit Längebestimmt. Dabei ergibt sich dieHypotenusedes entstehenden DreiecksHat die gegebene DezimalzahlnureineNachkommastelle,wird das Produktab dem Punktabgetragen; d. h. ist z. B.wird die Streckeachtmal abgetragen. Der dadurch entstehendeSchnittpunktbringt
Wenn die gegebene Dezimalzahlmehr als eineNachkommastelle hat, z. B.,besteht u. a. die Möglichkeit, wie bereits oben im AbschnittZahl größer als 1darauf hingewiesen,mithilfe des drittenStrahlensatzeszu konstruieren.
Es folgen dieSenkrechteauf die Streckeim Punktund die Halbierung der SeiteinAbschließend wird der Thaleskreis (Radius) umgezogen.
- Nach dem Höhensatz des Euklid gilt
- somit ist die Höhedes rechtwinkligen Dreiecksgleich derQuadratwurzelaus.
- Wegengilt auch:
- Im rechtwinkligen Dreieckist die Längedasgeometrische Mittelder Längenund.
- Nach demSatz des Pythagorasgilt für die Seitenlänge:
- ,darin ist,damit ergibt sich
- somit ist die Seitenlängedesrechtwinkligen Dreiecksgleich derQuadratwurzelaus.
- Für die Seitenlänge
- Mit den entsprechenden Werten für die Seitenlängeergibt sich
- somit ist die Seitenlängedes rechtwinkligen Dreiecksgleich der Quadratwurzel aus
Literatur
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- Max Koecher,Aloys Krieg:Ebene Geometrie.3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007,ISBN 978-3-540-49327-3.
- Hans Schupp:Elementargeometrie(=Uni-Taschenbücher669). Schöningh, Paderborn 1977,ISBN 3-506-99189-2,S. 41.
Siehe auch
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Weblinks
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- Euklids Beweis (Satz III.31).(PDF; 530 kB) Deutsch von Rudolf Haller.
- Interaktive Grafik zum Verständnis.Walter Fendt
Einzelnachweise
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- ↑Diogenes Laertius:Leben und Meinungen berühmter Philosophen.Erster Band, Buch I–VI. Verlag von Felix Meiner, Leipzig 1921, S. 12, Ziffer 24;Textarchiv – Internet Archive
- ↑Thomas Heath:A History of Greek Mathematics.Band 1:From Thales to Euclid.Dover Publications, New York 1981,ISBN 0-486-24073-8.
- ↑Proklos.In: Euklid:Die Elemente.I,250,20
- ↑Klaus Pommerening:Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal – ein Vorspiel zur Galois-Theorien.(PDF) Quadratwurzel aus einer Strecke (H ̈ohensatz). Universität Mainz, April 2020,S. 8,abgerufen am 23. Januar 2023.