Steifigkeit

DieSteifigkeitist eine Größe derTechnischen Mechanik.Sie beschreibt den Widerstand einesKörpersgegen eine durch äußereBelastung(eineKraftoder einDrehmoment) bewirkteelastische Verformungund dessen Verformung.DerKehrwertder Steifigkeit wird alsNachgiebigkeitbezeichnet.

Zu unterscheiden ist

• die Steifigkeit eines Materials, die an einem standardisierten Prüfkörper gemessen wird → sieheWerkstoffsteifigkeitund
• die Steifigkeit einesBauteils,die neben dem verwendetenWerkstoffvornehmlich auch von der Geometrie des betrachteten Objekts sowie der Art derBeanspruchungabhängt → sieheProfilsteifigkeitund → sonstigeBauteilsteifigkeiten.

Je nach Art der Beanspruchung werden weiterhin dieDehn-,Schub-,Biege-undTorsionssteifigkeitunterschieden, nach Art des Bauteils u. a. diePlatten-und dieFedersteifigkeit.

Die Steifigkeit eines Bauteils kann durch eineVersteifungerhöht werden, beispielsweise dorch Modifikation des Werkstoffs,Verbundwerkstoffeund -konstruktionen sowie konstruktive bzw. strukturelle Verstärkungen wieStrebenoder andere aussteifende Elemente.

Werkstoffsteifigkeit

Die Werkstoffsteifigkeit, definiert als Verhältnis der wirkendenSpannungzur zugehörigenDehnung,ist eine werkstoffmechanische Eigenschaft. Sie dient mit ihren Kennwerten auch der Charakterisierung der Werkstoffe, speziell auch mittels derspezifischen Steifigkeit,und wird in derWerkstoffprüfungermittelt.Die Werkstoffsteifigkeit zeigt sich imSpannungs-Dehnungs-Diagrammals Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die mathematische Darstellung der Werkstoffsteifigkeit wird als mechanischesMaterialmodelloder Stoffgesetz bezeichnet.

Typische Kennwerte der Werkstoffsteifigkeit sind derElastizitäts-und derSchubmodul$E$bzw.$G$mit der Dimension Kraft pro Flächeneinheit wie auch die dimensionslosePoissonzahl$\nu$.In derKontinuumsmechanikdes isotropen linearelastischen Körpers werden häufig auch die beidenLamé-Konstanten$\lambda$und$\mu$als Steifigkeitskennwerte verwendet. Die vollständigeelastizitätstheoretischeBeschreibung der Steifigkeit erfordert beiisotropemWerkstoffverhalten zwei, beiMonotropiefünf, beiOrthotropieneun und bei allgemeinerAnisotropie21 voneinander unabhängige Kennwerte.Diese können inMatrizenformbzw. alsSteifigkeitstensordargestellt werden, wie dies bei numerischen Berechnungen wie derFinite-Elemente-Methode(FEM) der Fall ist. Beilinearer Elastizitätsind diese Kenngrößen Konstanten. Bei nichtlinearem Verhalten sind sie Funktionen der Spannung bzw. der Dehnung. Beiviskoelastischem Verhaltensind die Steifigkeitskennwerte zeitabhängig, wie z. B. derKriechmodul.Die Werkstoffsteifigkeit hängt bei praktisch allenKonstruktionsmaterialienmehr oder weniger stark von den Einsatzbedingungen ab, vor allem von derTemperatur,und teilweise, wie bei gewissen Kunststoffen, auch von derFeuchtigkeit.

Bei inhomogenen Strukturen ist die Werkstoffsteifigkeit im Querschnitt ungleich verteilt. Für dieBauteilberechnungwerden aber häufigMittelwerteoder integrale Ersatzgrößen gebildet. Diese hängen von den beteiligten Werkstoffen, deren Verteilung über den Querschnitt und von derBeanspruchungsartab.

Die Werkstoffsteifigkeit ist mit derDichte$\rho$mitbestimmend für dieSchallgeschwindigkeit$c_{\text{s}}$,mit der sichWelleninFestkörpernausbreiten. Für dieLongitudinalwelleim elastischen Stab mit demElastizitätsmodul$E$z. B. gilt$c_{\text{s,L}}={\sqrt {E/\rho }}$.

Profilsteifigkeit

Die Steifigkeit der einzelnen Bauteilquerschnitte unterscheidet sich nach den vierBeanspruchungsartenZugbzw.Druck,Schub,BiegungundTorsion.Sie ist bestimmt durch die örtliche Querschnittsgeometrie und die lokale Werkstoffsteifigkeit bzw. deren Verteilung über den Querschnitt. In den meisten Fällen ist die Werkstoffsteifigkeit über der ganzen Querschnittsfläche konstant. Eine inhomogen-diskrete Verteilung der Werkstoffsteifigkeit liegt z. B. beiLaminatenoderSandwichstrukturenvor. BeiIntegral- oder Strukturschaumstoffenist die Steifigkeitsverteilung im Querschnitt inhomogen-kontinuierlich, so dass die resultierende Steifigkeit durch eineIntegralfunktionbeschrieben werden kann.Diese beanspruchungsspezifischen Querschnittsteifigkeiten sind erforderlich für analytische Berechnungen.

Dehnsteifigkeit

Dehnsteifigkeit

Die Dehnsteifigkeit$S_{z,d}$,auch Zug/Druck-Steifigkeit genannt, beschreibt den Widerstand eines einachsig auf Zug oder Druck beanspruchten Bauteils im Querschnitt$A$gegen eine Längsverformung. Sie ist definiert als Verhältnis der beanspruchendenNormalkraft$F_{n}$zur von ihr hervorgerufenenDehnung$\varepsilon$.Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in$N$oder$kN$angegeben:

$S_{z,d}={\frac {F_{n}}{\varepsilon }}.$

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

• Homogene Querschnitte mit$E={\text{konst.}}$:

$S_{z,d}=E\cdot A.$

• Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigenElastizitätsmoduls$E$über die eben bleibende Querschnittsfläche$A$:

$S_{z,d}=\int _{A}E\cdot \mathrm {d} A.$

• Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls$E$über die Querschnittsfläche$A$mit$n$Schichten bzw. Bereichen$A_{i}$und je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln$E_{i}$:

$S_{z,d}=\sum _{i=1}^{n}\ E_{i}\cdot A_{i}.$

Schubsteifigkeit

Schubsteifigkeit

Die Schubsteifigkeit$S_{s}$ist der Widerstand eines auf Schub beanspruchten Bauteils im Querschnitt$A$gegen eine Schubverformung. Sie ist bei Balken unterQuerkraftbiegungrelevant. Die Schubsteifigkeit ist definiert als Verhältnis der beanspruchendenQuerkraft$F_{q}$zum von ihr hervorgerufenen, über den verwölbten Querschnitt gemitteltenSchubwinkel$\gamma _{m}$.Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in$N$oder$kN$angegeben:

$S_{s}={\frac {F_{q}}{\gamma _{m}}}.$

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

• Homogene Querschnitte mit$G={\text{konst.}}$:

$S_{s}={\frac {1}{\kappa }}\cdot G\cdot A=G\cdot A_{s}.$

Hierin sind$\kappa$derSchubkoeffizientund$A_{s}$die sog.Schubfläche.Der Schubkoeffizient berücksichtigt den Einfluss der Querschnittsgeometrie auf die Schubverformung und die Schubsteifigkeit. Er ist analytisch ableitbar und kann für gegebene Querschnittsformen berechnet werden.

• Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Schubmoduls$G$über die sich verwölbende Querschnittsfläche$A$:

$S_{s}={\frac {1}{\kappa }}\cdot \int _{A}G\cdot \mathrm {d} A.$

• Diskrete Verteilung des Schubmoduls$G$über die Querschnittsfläche$A$mit$n$zur Querkraft senkrechten Schichten$A_{i}$und je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln$G_{i}$:

$S_{s}={\frac {1}{\kappa }}\cdot \sum _{i=1}^{n}\ G_{i}\cdot A_{i}.$

Bei inhomogenen Querschnittsstrukturen bezieht sich der Schubkoeffizient$\kappa$auf den Gesamtquerschnitt.

Biegesteifigkeit

Biegesteifigkeit

Die Biegesteifigkeit$S_{b}$kennzeichnet den Widerstand eines aufBiegungbeanspruchten Bauteils im eben bleibenden Querschnitt$A$gegen eine Krümmung um die Biegeachse. Sie ist bestimmt durch das Verhältnis des beanspruchendenBiegemoments$M_{b}$zur von ihm hervorgerufenenKrümmung$k=1/\rho$mit$\rho$als lokalem Krümmungsradius:

$S_{b}={\frac {M_{b}}{k}}=M_{b}\cdot \rho.$

Die Biegesteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in$\mathrm {N\cdot mm^{2}}$oder$\mathrm {kN\cdot m^{2}}.$angegeben.

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

• Homogene Querschnitte mit$E={\text{konst.}}$und$I_{y}$als axialemFlächenträgheitsmomentdes Querschnitts bezüglich der Biegeachse$y$:

$S_{b}=E\cdot I_{y}.$

• Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigenElastizitätsmoduls$E$über die eben bleibende Querschnittsfläche$A$:

$S_{b}=\int _{A}E\cdot z^{2}\cdot \mathrm {d} A.$

• Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls$E$über$n$Schichten bzw. Bereiche mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln$E_{i}$und den Teil-Flächenträgheitsmomenten$I_{y,i}$bezüglich der gemeinsamen Biegeachse$y$:

$S_{b}=\sum _{i=1}^{n}\ E_{i}\cdot I_{y,i}.$

Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten

Mit wachsender Breite der Querschnittsfläche wird dieQuerkontraktionin dieser Richtung zunehmend behindert, was die Biegesteifigkeit erhöht.Bei gänzlicher Verhinderung der Querkontraktion führt dies mit derPoissonzahl$\mu$zur Beziehung

$S'_{b}={\frac {S_{b}}{1-\mu ^{2}}}.$

Im Extremfall derInkompressibilitätmit$\mu =0{,}5$ergibt dies eine Steifigkeitszunahme um den Faktor 4/3, d. h. 33 %.

Plattensteifigkeit

Die Biegesteifigkeit ebenerFlächentragwerkevon vergleichsweise geringer Dicke$h$,sog.Platten,entspricht im Wesentlichen der Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten, jedoch bezogen auf die Einheit der Breite$b$.Somit ist die Plattensteifigkeit bei Rechteckquerschnitt$b\cdot h$und konstantemElastizitätsmodul

$S'_{b}={\frac {E\cdot {h^{3}}}{12\cdot (1-\mu ^{2})}}.$

Biegesteifigkeit eben gekrümmter Bauteile

Die Biegesteifigkeit von Bauteilen mit zur Biegeebene symmetrischer Querschnittsfläche, und deren Längsachse in der Biegeebene im unverformten Zustand mit dem Radius$r$gekrümmt ist („gekrümmter Träger “), erfährt durch diese Krümmung eine Erhöhung.Es gilt:

$S_{b}=\int _{A}E\cdot z^{2}\cdot {\frac {r}{r+z}}\cdot \mathrm {d} A.$

Die versteifende Wirkung kann in Abhängigkeit von Krümmung und Querschnittsgeometrie bis zu 30 % betragen. Bei konstantemElastizitätsmodulzeigt sie sich in der Beziehung:

${I^{*}}_{y}=\int _{A}z^{2}\cdot {\frac {r}{r+z}}\cdot \mathrm {d} A=c_{I}\cdot I_{y}<I_{y}.$

Die Querschnittsgröße${I^{*}}_{y}$kann für einfache geometrische Flächen berechnet werden.

Torsionssteifigkeit

Torsionssteifigkeit

DieTorsionssteifigkeit, auch als Verdrehsteifigkeit bezeichnet, ist der Widerstand eines auf Torsion beanspruchten Bauteils im Querschnitt$A$gegen eine Verwindung um die Längsachse. Sie ist definiert als Verhältnis des beanspruchendenTorsionsmomentszum von ihm hervorgerufenenVerwindungswinkel$\vartheta$pro Längeneinheit:

$S_{t}={\frac {M_{t}}{\vartheta '}}=M_{t}\cdot {\frac {dx}{d\vartheta }}.$

Die Torsionssteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in$\mathrm {N\cdot mm^{2}}$oder$\mathrm {kN\cdot m^{2}}.$angegeben.

Allgemeine Querschnittsformen

Die Torsionssteifigkeit homogener Querschnitte beliebiger Geometrie ist bestimmt als Produkt aus dem Schubmodul$G=konst.$und demTorsionsträgheitsmoment$I_{t}$des Querschnitts:

$S_{t}=G\cdot I_{t}.$

Das Torsionsträgheitsmoment nicht rotationssymmetrischer Querschnittsformen ist nicht elementar berechenbar. Bekannte Lösungen sind in einschlägigen technischen Handbüchern aufgelistet.

Die theoretische Beschreibung führt bei beliebig geformten Vollquerschnitten zu einerPoissonschen Differentialgleichung,die auch andern physikalischen Problemstellungen zugrunde liegt. Daher ermöglichen dieThomsonscheStrömungsanalogieoder diePrandtlscheMembrananalogie,auch Seifenhautgleichnis genannt, einen anschaulichen Zugang zum Torsionsproblem.

Die Torsionssteifigkeit geschlossener, dünnwandiger Hohlquerschnitte kann unter der Annahme, die Schubspannungen seien über die Wanddicke konstant, mit denBredtschen Formelnberechnet werden; für jene offener, dünnwandiger Querschnitte sind Näherungsformeln bekannt.

Wird die bei nicht rotationssymmetrischen Querschnitten auftretendeQuerschnittsverwölbungbehindert, z. B. durch Einspannung an den Enden, führt dies zu einer Erhöhung der Torsionssteifigkeit.

Rotationssymmetrische Querschnitte

Das Torsionsträgheitsmoment rotationssymmetrischer Querschnitte entspricht dem polaren Flächenträgheitsmoment$I_{p}$bezüglich der Torsionsachse. Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

• Homogene Querschnitte mit$G={\text{konst.}}$:

$S_{t}=G\cdot I_{p}.$

• Kontinuierliche Verteilung des rotationssymmetrisch ortsabhängigen Schubmoduls$G(r)$über die eben bleibende Querschnittsfläche$A$,mit$r$:

$S_{t}=\int _{A}G\cdot r^{2}\cdot \mathrm {d} A.$

• Diskrete Verteilung desElastizitätsmoduls$G$über$n$rotationssymmetrische Schichten mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln$G_{i}$und den polaren Teil-Flächenträgheitsmomenten$I_{p,i}$bezüglich der Torsionsachse, z. B. beiMehrschichtverbundrohren:

$S_{t}=\sum _{i=1}^{n}\ G_{i}\cdot I_{p,i}.$

Bauteilsteifigkeit

Allgemeines

Die Bauteilsteifigkeit ist ein wichtiges Kriterium bei der Auslegung von Konstruktionen, auch bei komplexen Strukturen wie z. B.Fahrzeugchassis,Flugzeugflügelusw., und insbesondere imLeichtbauund bei der beanspruchungsgerechten Gestaltung.Sie hängt von der Werkstoffsteifigkeit und der Bauteilgeometrie inkl. Art der Lagerung ab und ist definiert als Verhältnis zwischen der Belastung$F$des Bauteils und der zugehörigen Verformung$v$:

$c={\frac {F}{v}}.$

Die Bauteilsteifigkeit eines Stabes mit einem durchgehend gleichen Profil ergibt sich aus der Profilsteifigkeit und der Länge des Profils. Steifigkeiten komplexerer Formen lassen sich nur numerisch berechnen und hängen von den mindestens zwei Kraftangriffspunkten ab. Für jede Kombination von Kraftangriffspunkten kann pro Kraftangriffspunkt eine Steifigkeit in Form einer Federsteifigkeit berechnet werden.

Federsteifigkeit

Federsteifigkeit: Federcharakteristiken

Federsteifigkeit bezeichnet die Bauteilsteifigkeit vonFedern,d. h. von Bauelementen unterschiedlichster Geometrie, deren Funktion ein definiertes Steifigkeitsverhalten mit elastischem Rückstellungsvermögen verlangt.Diese Federcharakteristik, dargestellt durch die Federkennlinie im Last-Verformungs-Diagramm, kann je nach Art der Federn und eventueller Federkombinationenlinear,progressiv, degressiv oder geknickt sein. Die positionsspezifische Federsteifigkeit wird beschrieben durch dieFederrate,d. h. die Steigung der Federkennlinie alsDifferentialquotient.Dieser hat beitranslatorischwirkenden Federn mit der Kraft$F$und dem Weg$s$die Form

$c={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} s}}$

in der üblichen Einheit N/mm. Bei linearer Federcharakteristik ist die Federrate konstant, sie wird zurFederkonstanten

$c={\frac {F}{s}}.$

Beirotatorischwirkenden Federn (Drehfedern) haben die Federrate bzw. die Federkonstante mit den entsprechenden Größen Drehmoment$M$und Verdrehwinkel$\phi$üblicherweise die Einheit N·mm/rad.

Verwindungssteifigkeit

Verwindung eines Rechteckrahmens unter der Wirkung zweier Kräftepaare

Als Verwindungssteifigkeit wird der Widerstand bezeichnet, den ein Bauteil, z. B.Fahrgestellrahmen,Schiffsschale,Flugzeugrumpfu. dgl. oder Sportgeräte wieSkier,Surfbretter,Snowboardsusw., einer Beanspruchung durch Torsions- und Biegemomente entgegensetzt.

Bettungssteifigkeit

Bettungssteifigkeitist der Widerstand einer elastisch nachgiebigen Unterlage gegenüber der Verformung unter Oberflächenbelastung durch einen aufliegenden Körper. Bei linear-elastischem Verhalten der Unterlage ist die lokale Einsenkung$w(x,y)$dem dort wirkenden Auflagedruck$p(x,y)$proportional,mit der Bettungszahl oder Bettungsziffer

$k={\frac {p(x,y)}{w(x,y)}}.$

als Proportionalitätsfaktor und Steifigkeitsmass der Unterlage. Dieser Ansatz findet z. B. bei der Auslegung vonFundamentenmit elastisch gebettetenBalkenoderPlattenAnwendung.

Siehe auch

• Nachgiebigkeit (Werkstoffkunde)
• Elastizitätsmodul
• Schubmodul
• Nachgiebigkeitsmatrix als Darstellung der Nachgiebigkeitstensors in der Voigtschen Notation
• Ringsteifigkeit

Literatur

• Norbert Herrlich, Johannes Kunz:Kunststoffpraxis. Konstruktion, Band 1/Teil 5 /Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit.WEKA Media, Augsburg 1999,ISBN 3-8111-5935-6(Stand März 1999, Loseblatt-Ausgabe in 2 Ordnern + 1 CD-ROM;Google Books)
• Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall:Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik.14. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2021,ISBN 978-3-662-61861-5.
• Karl-Eugen Kurrer:Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht.Ernst und Sohn, Berlin 2016,ISBN 978-3-433-03134-6,S. 102f.