Trigonometrie

Abbildungen zur Trigonometrie in einem Buch aus dem Jahr 1687

DieTrigonometrie(griechischτρίγωνονtrígonon‚Dreieck‘ undμέτρονmétron‚Maß‘) ist ein Teilgebiet derGeometrieund somit derMathematik.Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) trigonometrisch behandelt werden, spricht man vonebener Trigonometrie;daneben gibt es diesphärische Trigonometrie,die sich mitKugeldreiecken(sphärischen Dreiecken) befasst, und diehyperbolische Trigonometrie.Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie.

In der Trigonometrie werden die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken untersucht. Durch die Kenntnis und Anwendung dieser Beziehungen (Formeln) können dann mit gegebenen Größen eines Dreiecks (Seitenlängen,Winkelgrößen,Längen von Dreieckstransversalen usw.) andere fehlende Größen desDreiecksberechnet werden. Als Hilfsmittel werden dietrigonometrischenFunktionen(Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen)Sinus (sin), Kosinus (cos),Tangens (tan), Kotangens (cot),Sekans (sec) und Kosekans (csc)verwendet. Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen, beispielsweise aufPolygone (Vielecke),auf Probleme derStereometrie (Raumgeometrie)und auf Fragen vieler anderer Gebiete (siehe unten).

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

Besonders einfach ist die Trigonometrie desrechtwinkligen Dreiecks.Da dieWinkelsummeeines ebenen Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größteInnenwinkel.Ihm liegt die längste Seite (alsHypotenusebezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt manKatheten.Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen derGegenkathete(dem gegebenen Winkel gegenüber) und derAnkathete(benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden. Man definiert nun:

${\begin{aligned}{\text{Sinus von }}\ Alpha &=\sin \ Alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\\[0.5ex]{\text{Kosinus von }}\ Alpha &=\cos \ Alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\\[0.5ex]{\text{Tangens von }}\ Alpha &=\tan \ Alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\\[0.5ex]{\text{Kotangens von }}\ Alpha &=\cot \ Alpha ={\frac {b}{a}}={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}}\\[0.5ex]{\text{Sekans von }}\ Alpha &=\sec \ Alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}}\\[0.5ex]{\text{Kosekans von }}\ Alpha &=\csc \ Alpha ={\frac {c}{a}}={\frac {\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}}\end{aligned}}$

Diese Definitionen sind sinnvoll, da verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit dem gegebenen Winkel untereinanderähnlichsind, sodass sie in ihren Seitenverhältnissen übereinstimmen. Beispielsweise könnte ein Dreieck doppelt so lange Seiten haben wie ein anderes. DieBrücheder genannten Definitionsgleichungen hätten in diesem Fall die gleichen Werte. Diese Werte hängen also nur vom gegebenen Winkel ab. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, vonFunktionender Winkel zu sprechen.

Beispiel: Berechnung einer Seitenlänge

Die folgenden Zahlenwerte sind abgerundet. In einem Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben:

$b=5{,}5\,{\mbox{cm}};\quad \ Alpha =29^{\circ };\quad \gamma =90^{\circ }$

Aus diesen Angaben soll die Seitenlänge c ermittelt werden. Da die Ankathete von$\ Alpha$bekannt und die Hypotenuse gesucht ist, wird die Kosinus-Funktion verwendet.

$\cos \ Alpha ={\frac {b}{c}}$

$c={\frac {b}{\cos \ Alpha }}={\frac {5{,}5\,{\mbox{cm}}}{\cos 29^{\circ }}}=6{,}3\,{\mbox{cm}}$

Beispiel: Berechnung einer Winkelgröße

Von einem Dreieck ABC ist bekannt:

$a=3{,}1\,{\mbox{cm}};\quad b=5{,}5\,{\mbox{cm}};\quad \gamma =90^{\circ }$

Gesucht ist der Winkel$\beta$.Die beiden gegebenen Seiten$a$und$b$sind die Ankathete und die Gegenkathete von$\beta$.Daher ist es sinnvoll, die Tangens-Funktion einzusetzen.

$\tan \beta ={\frac {b}{a}}={\frac {5{,}5\,{\mbox{cm}}}{3{,}1\,{\mbox{cm}}}}=1{,}8$

Während im letzten Beispiel für einen bekannten Winkel der Kosinuswert zu berechnen war, ist hier die Situation umgekehrt. Aus einem bekannten Tangenswert soll der zugehörige Winkel bestimmt werden. Man benötigt hierfür dieUmkehrfunktionder Tangens-Funktion, die so genannteArcustangens-Funktion(arctan), oder ein Tabellenwerk, aus dem Winkel und zugehöriger Tangenswert abgelesen werden können. Damit erhält man:

$\beta =61{,}0^{\circ }$

Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

Einheitskreis

Alle trigonometrischen Funktionen des Winkels θ können geometrisch im Einheitskreis mit Zentrum O konstruiert werden.

Die bisher verwendeten Definitionen sind nur für Winkel unter 90° brauchbar. Für viele Zwecke ist man jedoch an trigonometrischen Werten größerer Winkel interessiert. DerEinheitskreis,das ist einKreismitRadius1, erlaubt eine solche Erweiterung der bisherigen Definition. Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt. Diex-Koordinatedieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate der Sinuswert.

Die oben gegebene Definition von Sinus- und Kosinuswert durch x- und y-Koordinate lässt sich problemlos auf Winkel über 90° ausdehnen. Man erkennt dabei, dass für Winkel zwischen 90° und 270° die x-Koordinate und damit auch der Kosinus negativ ist, entsprechend für Winkel zwischen 180° und 360° die y-Koordinate und somit auch der Sinus. Auch auf Winkel, die größer als 360° sind, sowie auf negative Winkel lässt sich die Definition ohne Weiteres übertragen.

Man beachte, dass in der modernen Herangehensweise die Beziehung zwischen Winkel und Sinus bzw. Kosinus dazu benutzt wird, um den Winkel zu definieren. DieSinus- undKosinusfunktionselbst werden über ihreReihendarstellungeingeführt.

Die weiteren vier trigonometrischen Funktionen sind definiert durch:

$\tan \ Alpha ={\frac {\sin \ Alpha }{\cos \ Alpha }}$

$\cot \ Alpha ={\frac {1}{\tan \ Alpha }}={\frac {\cos \ Alpha }{\sin \ Alpha }}$

$\sec \ Alpha ={\frac {1}{\cos \ Alpha }}$

$\csc \ Alpha ={\frac {1}{\sin \ Alpha }}$

• Graphen der wichtigsten trigonometrischen Funktionen (Winkel im Bogenmaß, d. h. π ≙ 180°)
• 
  Sinus
• 
  Kosinus
• 
  Tangens
• 
  Kotangens
• 
  Sekans
• 
  Kosekans

Funktion	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
sinus	$0$	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$
kosinus	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	$-1$
tangens	$0$	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	undefiniert	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	$0$
Sekans	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	undefiniert	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-2{\sqrt {3}}/3$	$-1$
Kosekans	undefiniert	$2$	${\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {3}}/3$	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	undefiniert
Kotangens	undefiniert	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	$0$	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	undefiniert

Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

Auch für allgemeine Dreiecke wurden etliche Formeln entwickelt, die es gestatten, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere derSinussatzund derKosinussatz.Die Verwendung des Sinussatzes

${\frac {a}{\sin \ Alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

ist nützlich, wenn von einem Dreieck entweder zwei Seiten und einer der beiden gegenüber liegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz

$a^{2}\,=\,b^{2}+c^{2}-2bc\cos \ Alpha$

$b^{2}\,=\,a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

ermöglicht es, entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenüber liegende Seite. Weitere Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten, sind derTangenssatz,derHalbwinkelsatz(Kotangenssatz) und diemollweideschen Formeln.

Eigenschaften und Formeln

Figur 1

Figur 2

Die Artikel über die sechs trigonometrischen Funktionen (Sinus,Kosinus,Tangens,Kotangens,Secans,Kosecans) und dieFormelsammlung Trigonometrieenthalten zahlreiche Eigenschaften dieser Funktionen und Formeln zum Rechnen mit diesen. Besonders häufig gebraucht werden die Komplementärformeln für Sinus und Kosinus

$\sin(90^{\circ }-\ Alpha )\,=\,\cos \ Alpha$

$\cos(90^{\circ }-\ Alpha )\,=\,\sin \ Alpha$

sowie der „trigonometrische Pythagoras“

$\sin ^{2}\ Alpha +\cos ^{2}\ Alpha \,=1$.

Wichtig sind auch dieAdditionstheoremeder trigonometrischen Funktionen und die Folgerungen daraus. Es geht dabei um trigonometrische Werte von Summen oder Differenzen von Winkeln. So gilt beispielsweise für alle$\ Alpha$und$\beta$:

$\sin(\ Alpha \pm \beta )=\sin \ Alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \ Alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\ Alpha \pm \beta )=\cos \ Alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \ Alpha \cdot \sin \beta$

Geometrische Herleitungen zu diesen vier Additionstheoremen sind inFigur 1undFigur 2veranschaulicht.

Zu Figur 1:

$\sin(\ Alpha +\beta )=\sin \ Alpha \cdot \cos \beta +\cos \ Alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\ Alpha +\beta )=\cos \ Alpha \cdot \cos \beta -\sin \ Alpha \cdot \sin \beta$

Zu Figur 2:

$\sin(\ Alpha -\beta )=\sin \ Alpha \cdot \cos \beta -\cos \ Alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\ Alpha -\beta )=\cos \ Alpha \cdot \cos \beta +\sin \ Alpha \cdot \sin \beta$

Weitere Additionstheoreme:

$\cos \ Alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\ Alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\ Alpha -\beta }{2}}$

$\cos \ Alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\ Alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\ Alpha -\beta }{2}}$

$\sin \ Alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\ Alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\ Alpha -\beta }{2}}$

$\sin \ Alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\ Alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\ Alpha -\beta }{2}}$

Weitere Identitäten finden sich in derFormelsammlung Trigonometrie.

Anwendungsgebiete

Historische Abbildung zur Vermessung eines Geländes mit Hilfe eines Dreiecks (1667)

Trigonometrie spielt in vielen Bereichen eine entscheidende Rolle:

In derGeodäsie(Vermessung) spricht man vonTriangulation,wenn man von Punkten bekannter Position aus andere Punkte anpeilt (Winkelmessung) und daraus trigonometrisch die Positionen der neuen Punkte bestimmt. In derAstronomielassen sich auf entsprechende Weise die Entfernungen von Planeten, Monden und nahe gelegenen Fixsternen ermitteln. Ähnlich groß ist die Bedeutung der Trigonometrie für dieNavigationvon Flugzeugen und Schiffen und für diesphärische Astronomie,insbesondere für die Berechnung von Stern- und Planetenpositionen.

In derPhysikdienen Sinus- und Kosinus-Funktion dazu,SchwingungenundWellenmathematisch zu beschreiben. Entsprechendes gilt für den zeitlichen Verlauf vonelektrischer Spannungund elektrischerStromstärkein derWechselstromtechnik.

Geschichte

Vorläufer der Trigonometrie gab es bereits während derAntikein dergriechischen Mathematik.Aristarchos von Samosnutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungsverhältnisse zwischen Erde und Sonne bzw. Mond. Von denAstronomenHipparchundPtolemäusist bekannt, dass sie mit Sehnentafeln arbeiteten, also mit Tabellen für die Umrechnung vonMittelpunktswinkeln (Zentriwinkeln)inSehnenlängenund umgekehrt. Die Werte solcher Tabellen hängen unmittelbar mit der Sinus-Funktion zusammen: Die Länge einer Kreissehne ergibt sich aus demKreisradius$r$und dem Mittelpunktswinkel$\ Alpha$gemäß

$s=2r\sin {\frac {\ Alpha }{2}}.$

Ähnliche Tabellen wurden auch in derindischen Mathematikverwendet.ArabischeWissenschaftler übernahmen die Ergebnisse von Griechen und Indern und bauten die Trigonometrie, insbesondere die sphärische Trigonometrie weiter aus. ImmittelalterlichenEuropawurden die Erkenntnisse der arabischen Trigonometrie erst spät bekannt. Die erste systematische Darstellung des Gebiets erfolgte im 15. Jahrhundert. Im Zeitalter derRenaissanceerforderten die zunehmenden Problemstellungen derBallistikund der Hochseeschifffahrt eine Verbesserung der Trigonometrie und des trigonometrischenTafelwerks.Der deutsche Astronom undMathematikerRegiomontanus(Johann Müller) fasste Lehrsätze und Methoden der ebenen und sphärischen Trigonometrie in dem fünfbändigen WerkDe triangulis omnimodiszusammen. Aufgrund dieser Anwendung waren außer Sinus und Kosinus auch andere Winkelfunktionen gebräuchlich, wie etwa derSinus versus= 1 − cos.

Der Begriff Trigonometrie wurde durchBartholomäus Pitiscusin seinemTrigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuusvon 1595 eingeführt.

Die heute verwendeten Schreibweisen und die analytische Darstellung dertrigonometrischen Funktionenstammen zum größten Teil vonLeonhard Euler.

Literatur

• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.):Ebene Trigonometrie, Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen.Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1958.
• Heinz Pester, Wolfgang Pauli:Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik.21. Auflage. Band II.Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene.Fachbuchverlag, Leipzig 1991,ISBN 978-3-446-00755-0.

Weblinks

Wiktionary: Trigonometrie– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Trigonometrie– Lern- und Lehrmaterialien

• Hilfen zur TrigonometrieDynamische Dokumente zum Verständnis der trigonometrischen Funktionen
• Zusammenfassung Trigonometrie für Gymnasium.Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Einfache trigonometrische Gleichungen, Musteraufgaben mit Lösungstipps.Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Trigonometrische Java applets