Tupel

Tupel(abgeleitet vonmittellateinischquintuplus‚fünffach‘,septuplus‚siebenfach‘,centuplus‚hundertfach‘ etc.) sind in derMathematiknebenMengeneine wichtige Art und Weise,mathematische Objektezusammenzufassen. Ein Tupel ist eineListeendlich vieler, nicht notwendigerweise unterschiedlicher Objekte. Dabei spielt, im Gegensatz zu Mengen, die Reihenfolge der Objekte eine Rolle. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Tupel formal als Mengen darzustellen. Tupel finden in vielen Bereichen der Mathematik Verwendung, zum Beispiel alsKoordinatenvon Punkten oder alsVektorenin endlichdimensionalenVektorräumen.

Von Tupeln unabhängig von ihrer Länge ist selten die Rede. Vielmehr verwendet man das Wort$n$-Tupeloder die im Abschnitt„Besondere Bezeichnungen… “davon abgeleiteten speziellen Wörter, wenn sich aus dem Zusammenhang die Länge als feste Zahl oder als benannte Konstante wie$n$ergibt. Betrachtet man dagegen viele endliche Folgen unterschiedlicher Längen von Elementen einer Grundmenge, spricht man von endlichen Folgen oder definiert einen neuen Begriff, der oft mit „Kette “zusammengesetzt ist, z. B.Zeichenkette,Additionskette.

In derInformatikwird der BegriffTupelauch als Synonym für einenDatensatzverwendet. In diversenProgrammiersprachenwie zum BeispielPython,sind Tupel unveränderliche Datensätze.

Notation

Ein$n$-Tupel ist eine Zusammenfassung von$n$mathematischen Objekten$x_{1},\ldots,x_{n}$in einer Liste. Im Gegensatz zu Mengen müssen die Objekte dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge ist von Bedeutung. Tupel werden meist mittelsrunder Klammern

$(x_{1},\ldots,x_{n})$

notiert, wobei zwei aufeinanderfolgende Objekte durch einKommagetrennt werden. Das an der$i$-ten Stelle stehende Objekt$x_{i}$heißt dabei die$i$-te Komponente des Tupels. Gelegentlich werden zur Notation aber auch andereKlammertypen,wie spitze oder eckige Klammern verwendet:

$\langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangle$oder$[x_{1},\ldots,x_{n}]$

Auch andere Trennzeichen, wieSemikolonodersenkrechter Strichsind üblich. Weitere Notationsvarianten sind

$(x_{i})_{i=1,\ldots,n},(x_{i})_{i\in \{1,\ldots,n\}},(x_{i})_{i=1}^{n}$

oder auch kurz$(x_{i})$,wenn die Länge des Tupels aus dem Kontext klar ist.

Besondere Bezeichnungen für n-Tupel mit kleinem n

• Das 0-Tupel heißtleeres Tupelund wird durch$()$notiert.
• Ein 2-Tupel wird auchgeordnetes PaaroderDupelgenannt,
• ein 3-Tupel auchTripel,
• ein 4-Tupel auchQuadrupel,
• ein 5-Tupel auchQuintupel,
• ein 6-Tupel auchSextupel.
• Die Reihe wird analog durchlateinische Vervielfältigungszahlwörterfortgesetzt.

Beispiele

Tupel gleichartiger Objekte:

• $(a)$und$(b)$sind zwei 1-Tupel von Elementen$a,b$einer Menge$A$.
• $(1,3)$,$(2,2)$und$(3,1)$sind drei verschiedene 2-Tupel ganzer Zahlen.
• $(\{1,2\},\{3,4,5\},\{6\})$ist ein 3-Tupel aus Mengen.
• $(\sin,\,\cos,\,\tan,\,\cot )$ist ein 4-Tupel trigonometrischer Funktionen.

Tupel verschiedenartiger Objekte:

• Eingerichteter Graphist ein Paar$(V,E)$bestehend aus einer Menge vonKnoten$V$und einer Mengegerichteter Kanten$E\subseteq V\times V$.
• EinKörperist ein Tripel$(K,+,\,\cdot )$bestehend aus einer Menge$K$und zweizweistelligen Verknüpfungen$+$und$\,\cdot \,$,die bestimmte Eigenschaften besitzen.
• EinWahrscheinlichkeitsraumist ein Tripel$(\Omega,\Sigma,P)$bestehend aus einerErgebnismenge$\Omega$,einerσ-Algebra$\Sigma$und einemWahrscheinlichkeitsmaß$P$.

Gleichheit von Tupeln

Zwei Tupel$(x_{1},\ldots,x_{n})$und$(y_{1},\ldots,y_{m})$sind genau dann gleich, wenn sie gleich lang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind, das heißt

$(x_{1},\ldots,x_{n})=(y_{1},\ldots,y_{m})~\Longleftrightarrow ~n=m$und$x_{i}=y_{i}$für$i=1,\ldots,n$.

Darstellung

Ein Tupel$x=(x_{1},\dots,x_{n})$kann auf verschiedene Arten dargestellt werden.

Als Menge

Tupel können als Mengen dargestellt werden. Eine einfache Darstellung von$n$-Tupeln lautet:

$n=0\colon \;():=\emptyset$

$n>0\colon \;(x_{1},\ldots,x_{n}):=\{(x_{1},\ldots,x_{n-1}),\{x_{n}\}\}$

Mit dieser Darstellung ist das geordnete Paar$(x,y)$die Menge$\{\{\emptyset,\{x\}\},\{y\}\}$.

Als Funktion

Tupel können auch als endlicheFolgenbzw.Familienrespektive als Funktionen mit einem eventuell leeren Abschnitt der Menge der positiven natürlichen Zahlen als Indexbereich(geordnete Paare hier in eckigen Klammern) dargestellt werden.

Als Familie:

$n=0\colon \;():=\emptyset$

$n>0\colon \;(x_{1},\ldots,x_{n}):=\{[1,x_{1}],\ldots,[n,x_{n}]\}=(x_{i})_{i\in \{1,\ldots,n\}}$

Oder äquivalent wenn wir die Familie als Funktion auffassen:

$n=0\colon \;():=\emptyset$

$n>0\colon \;(x_{1},\ldots,x_{n}):=\{[1,x(1)],\ldots,[n,x(n)]\}$

Nichtleere Tupel können auch rekursiv auf Basis geordneter Paare dargestellt werden(geordnete Paare auch hier in eckigen Klammern):

$n=1\colon \;(x):=x$

$n>1\colon \;(x_{1},\ldots,x_{n}):=[(x_{1},\ldots,x_{n-1}),x_{n}]$

Allerdings gilt für auf letztgenannte Weise dargestellte Tupel lediglich eine schwächere Form des Gleichheitsaxioms:Zwei gleich lange Tupel sind dann und nur dann gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

Unabhängig davon, wie Tupel als Mengen dargestellt werden, verhalten sich 2-Tupel genauso wie geordnete Paare und können wie diese verwendet werden, auch wenn sich, wie bei der Tupel-Darstellung als endlicher Folge, 2-Tupel- und Paar-Darstellungen unterscheiden.

Die letzte der drei obigen Definitionen hat den Vorteil, dass sie auch fürechte Klassendefiniert ist, sofern das geordnete Paar$[a,b]$für echte Klassen definiert ist. Das heißt, man kann z. B. dasMonoidderOrdinalzahlen$\Omega$mit Addition$+$und neutralem Element$0$als Tupel$(\Omega,+,0)$definieren, obwohl es sich bei den Ordinalzahlen um keine Menge, sondern um eine echte Klasse handelt.

Verwendung

Tupel werden in der Mathematik zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder Vektoren in$n$-dimensionalen Räumen und in der Informatik als Datenfelder und -strukturen verwendet. Folglich werden auch Zeilen oder Spalten vonMatrizenggf. als Tupel angesehen und behandelt.

Siehe auch

• Kartesisches Produkt
• Familie (Mathematik)
• Index (Mathematik)
• Wort (Theoretische Informatik)

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus:Einführung in die Mengenlehre.4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003,ISBN 3-8274-1411-3(HochschulTaschenbuch).
• Roger Godement:Algebra.Hermann, Paris 1968.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar– Lern- und Lehrmaterialien

• V.N. Grishin:Tuple.In:Michiel Hazewinkel(Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics.Springer-Verlag undEMSPress, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7(englisch,encyclope điểu fmath.org).
• Raymond Puzio u. a.:Ordered tuplet.In:PlanetMath.(englisch)
• Eric W. Weisstein:n-Tuple.In:MathWorld(englisch).