Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist

Peter Bundschuh; Keijo Väänänen

doi:10.5802/jtnb.824

¹Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
²Department of Mathematical Sciences University of Oulu P. O. Box 3000 90014 Oulu, Finland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 43-57.

Très récemment, la fonction génératrice $A (z)$ de la suite ${(a_{n})}_{n \geq 0}$ de Stern, définie par $a_{0} : = 0, a_{1} : = 1,$ et $a_{2 n} : = a_{n}, a_{2 n + 1} : = a_{n} + a_{n + 1}$ pour tout entier $n > 0$ ,a été considérée du point de vue arithmétique. Coons [8] a montré la transcendance de $A (α)$ pour tout $α$ algébrique avec $0 < | α | < 1$ ,et ce résultat fut généralisé dans [6] de sorte que, pour les mêmes $α$ ,les nombres $A (α), A^{'} (α), A^{''} (α), ...$ sont algébriquement indépendants. À peu près au même temps, Bacher [4] a étudié la version tordue $(b_{n})$ de la suite de Stern, définie par $b_{0} : = 0, b_{1} : = 1,$ et $b_{2 n} : = - b_{n}, b_{2 n + 1} : = - (b_{n} + b_{n + 1})$ pour tout $n > 0$ .

Les objectifs principaux du présent travail sont d’établir les analogues sur la fonction génératrice $B (z)$ de $(b_{n})$ des résultats arithmétiques mentionnés plus haut concernant $A (z)$ ,de démontrer l’indépendance algébrique de $A (z), B (z)$ sur le corps $ℂ (z)$ ,d’utiliser ce fait pour en déduire que, pour tout nombre complexe $α$ avec $0 < | α | < 1$ ,le degré de transcendance du corps $ℚ (α, A (α), B (α))$ sur $ℚ$ est au moins 2, et de fournir des majorations assez bonnes pour l’exposant d’irrationalité de $A (r / s)$ et de $B (r / s)$ ,où $r, s$ sont des entiers avec $0 < | r | < s$ et $(log | r |) / (log s)$ suffisamment petit.

Very recently, the generating function $A (z)$ of the Stern sequence ${(a_{n})}_{n \geq 0}$ ,defined by $a_{0} : = 0, a_{1} : = 1,$ and $a_{2 n} : = a_{n}, a_{2 n + 1} : = a_{n} + a_{n + 1}$ for any integer $n > 0$ ,has been considered from the arithmetical point of view. Coons [8] proved the transcendence of $A (α)$ for every algebraic $α$ with $0 < | α | < 1$ ,and this result was generalized in [6] to the effect that, for the same $α$ ’s, all numbers $A (α), A^{'} (α), A^{''} (α), ...$ are algebraically independent. At about the same time, Bacher [4] studied the twisted version $(b_{n})$ of Stern’s sequence, defined by $b_{0} : = 0, b_{1} : = 1,$ and $b_{2 n} : = - b_{n}, b_{2 n + 1} : = - (b_{n} + b_{n + 1})$ for any $n > 0$ .

The aim of our paper is to show the analogs on the generating function $B (z)$ of $(b_{n})$ of the above-mentioned arithmetical results on $A (z)$ ,to prove the algebraic independence of $A (z), B (z)$ over the field $ℂ (z)$ ,to use this fact to conclude that, for any complex $α$ with $0 < | α | < 1$ ,the transcendence degree of the field $ℚ (α, A (α), B (α))$ over $ℚ$ is at least 2, and to provide rather good upper bounds for the irrationality exponent of $A (r / s)$ and $B (r / s)$ for integers $r, s$ with $0 < | r | < s$ and sufficiently small $(log | r |) / (log s)$ .

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.824

Affiliations des auteurs:

Peter Bundschuh&hairsp;¹; Keijo Väänänen&hairsp;²

¹Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
²Department of Mathematical Sciences University of Oulu P. O. Box 3000 90014 Oulu, Finland

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Peter Bundschuh; Keijo Väänänen. Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 43-57. doi: 10.5802/jtnb.824. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.824/

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