Σύνολο

Διάγραμμα Βεν τομής δύο συνόλων.

Ένασύνολοείναι κάθε συλλογή σαφώς διακριτών και καλώς καθορισμένων αντικειμένων που προέρχονται από τον χώρο της εμπειρίας (αντικείμενα συγκεκριμένα) ή των διανοημάτων (αντικείμενα αφηρημένα), τα οποία θεωρούνται ως μια ολότητα.Η έννοια τουσυνόλουείναι«αρχική έννοια»για ταΜαθηματικά,δηλαδή δεν μπορεί να ορισθεί με χρήση απλούστερων εννοιών, γι' αυτό γίνονται αποδεκτάαξιωματικά,χωρίςαπόδειξη.

Παρόλο που εφευρέθηκε σχετικά πρόσφατα, στο τέλος του19ο αιώνα,ηΘεωρία Συνόλωνείναι πια ένα πανταχού παρόν τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών.

Στην εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως ταδιαγράμματα Βενν,αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Γυμνασίου (ή στις αντίστοιχες τάξεις, ανάλογα με τη χώρα), ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύληςπανεπιστημιακούεπιπέδου.

Ορισμός

ΟΓκέοργκ Καντόρ,ιδρυτής τηςΑφελούς Θεωρίας Συνόλων,στο «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre»,έδωσε τον ακόλουθο ορισμό για το σύνολο:

«Σύνολοονομάζουμε κάθε συλλογή M, (σαφώς) διακριτών αντικειμένων m (που ονομάζουμε «στοιχεία» του συνόλου M), της διαίσθησης ή της σκέψης μας, που θεωρούμε ως ολότητα.»

Τα αντικείμενα αυτά καλούνταιστοιχείατου συνόλου και μπορούν να είναι οτιδήποτε, από αριθμούς μέχρι ανθρώπους ή γράμματα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο λοιπόναποτελείταιαπό στοιχεία. Στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι άλλα σύνολα ή και σύνολα συνόλων. Αν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Α τότε λέμε ότι το στοιχείο xπεριέχεταιστο σύνολο A ή ότι το σύνολο Aπεριέχειτο στοιχείο x ή ακόμα ότι το στοιχείο x είναιμέλοςτου συνόλου A. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό$\mathrm {x\in A}$αν το x ανήκει στο A και το συμβολισμό$\mathrm {x\notin A}$αν το x δεν ανήκει στο A.

Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία. Αυτό το σύνολο ονομάζεταικενό σύνολοκαι συμβολίζεται με {} ή με$\mathrm {\varnothing }$.Η ύπαρξη αυτού του συνόλου αποτελεί ένα από τα αξιώματα της συνηθέστερης αξιωματικής θεωρίας συνόλων, αυτής τωνΖερμέλο-ΦρένκελήZF.Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο.

Σημειώνεται ότι στηνZF,αντίθετα με την αφελή, τα σύνολα μπορούν να έχουν στοιχεία μόνο άλλα σύνολα.

Ισότητα συνόλων

Βασική ιδιότητα των συνόλων γενικά, η οποία είναι απόρροια του παραπάνω ορισμού είναι το γεγονός ότι ένα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του, δηλαδή ότι αν τα σύνολα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία τότε είναι ίσα.

$\mathrm {A=B}$αν και μόνο αν$\mathrm {\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)}$

Επιπλέον των παραπάνω απαιτούμε από τα στοιχεία ενός συνόλου να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, το οποίο σημαίνει ότι ένα σύνολο δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μία φορές ένα στοιχείο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου καλείταιπληθικός αριθμόςήπληθάριθμοςτου συνόλου (συμβολίζεται συνήθως μεΝή με#). Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ανάλογα με το αν ο πληθικός τους αριθμός είναι πεπερασμένος ή άπειρος.

Πώς περιγράφουμε σύνολα

Για να περιγράψουμε ένα σύνολο συνήθως χρησιμοποιούμε δύο άγκιστρα «{» και «}» ανάμεσα στα οποία γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου. Για παράδειγμα το σύνολο Α που περιέχει τους αριθμούς 1, 3 και 5 γράφεται ως εξής: Α = {1,3,5}. Η σειρά με την οποία αναγράφονται τα στοιχεία ενός συνόλου δεν έχει κανένα ρόλο. Σημειώνεται, ότι αν ένα σύνολο με άπειρο αριθμό στοιχείων είναιαριθμήσιμοτότε η παράστασή του γίνεται με την αναγραφή αρκετών στοιχείων της σειράς των απείρων όρων που ορίζει το σύνολο αυτό. Παράδειγμα η αναγραφή τού συνόλου όλων τωνφυσικών αριθμών$\mathrm {\mathbb {N} }$= {0, 1, 2, 3,...}.

Ένας δεύτερος τρόπος περιγραφής ενός συνόλου είναι να δώσουμε μια ιδιότητα ή συνθήκη που χαρακτηρίζει τα στοιχεία του συνόλου και να απαιτούμε να ικανοποιείται από τα στοιχεία του συνόλου και μόνο απ' αυτά. Για παράδειγμα το σύνολο των μη αρνητικώνάρτιωνφυσικώνγράφεται ως εξής:${\begin{Bmatrix}2k:k\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}$.

Τέλος ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά ή γραφικά με την χρησιμοποίησηβέννειων διαγραμμάτωνπου δίνουν μια περισσότερο εποπτική αντίληψη της έννοιάς τους.

Παραδείγματα

1. Το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου: A = {α, ε, η, ι, ο, υ, ω}.
2. Το σύνολο των μονοψήφιωνφυσικών αριθμών:Β = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3. Το σύνολο των κατοίκων του Δήμου Αθηναίων: Γ = {x:x: Κάτοικος του Δήμου Αθηναίων}.
4. Το σύνολο των μαθητριών Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας. Δ = {x/x: Μαθήτρια Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας}
5. Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2010: E = {0, 1, 2}.
6. Το σύνολο των μηνών ενός έτους: Z = {x/x: Μήνας του έτους}.
7. Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «άξιος»: Η = {α, ι, ξ, ο, ς}.
8. Το σύνολο τωνσημείωνπου αποτελούν τοευθύγραμμο τμήμα:$\mathrm {\Theta =\{X/X\in AB\}}$.
9. Το σύνολο τωναλογόνων.A₇= {F, Cl, Br, I, At}.
10. Το σύνολο των (φυσικών)δορυφόρωντουπλανήτηΚρόνου:Δ_Κ= {x/x: Δορυφόρος του Κρόνου}.
11. Το σύνολο τωνρητών αριθμών:$\mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha,\beta \in \mathbb {Z},\beta \neq 0\end{Bmatrix}}}$
12. Το σύνολο των νοτών μιαςοκτάβας:Ο = {ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι}.

Υποσύνολα

Ένα σύνολο X ονομάζεταιυποσύνολοενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με$\mathrm {X\subseteq Y}$,εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

$\mathrm {\forall x(x\in X\rightarrow x\in Y)}$

Παραδείγματα:

• το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων
• $\mathrm {\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$
• $\mathrm {\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$

Αναφέρουμε ότι: τοκενό σύνολο$\mathrm {\varnothing }$είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

• $\mathrm {\varnothing \subseteq A}$για κάθε σύνολο Α
• $\mathrm {A\subseteq A}$για κάθε σύνολο Α

Αν το σύνολο Χ είναι υποσύνολο του Υ αλλά Χ$\mathrm {\neq }$Υ, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Υ το οποίο να μην ανήκει στο Χ, τότε λέμε ότι το σύνολο Χ είναιγνήσιο υποσύνολοτου Υ και το συμβολίζουμε με$\mathrm {X\subset Y}$ή με $\mathrm {X\subsetneq Y}$.

Σημαντικά σύνολα

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονομάτα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

• $\mathrm {\mathbb {P} }$,το σύνολο όλων τωνπρώτων αριθμών.
• $\mathrm {\mathbb {N} }$,το σύνολο όλων τωνφυσικών αριθμών.Αυτό γράφεται και ως {0, 1, 2, 3,...}.
• $\mathrm {\mathbb {Z} }$,το σύνολο όλων τωνακεραίων αριθμών.Αυτό γράφεται και ως {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}.
• $\mathrm {\mathbb {Q} }$,το σύνολο όλων τωνρητών αριθμών.Αυτό γράφεται και ως$\mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha,\beta \in \mathbb {Z},\beta \neq 0\end{Bmatrix}}}$.
• $\mathrm {\mathbb {R} }$,το σύνολο όλων τωνπραγματικών αριθμών.
• $\mathrm {\mathbb {C} }$,το σύνολο όλων τωνμιγαδικών αριθμών.Αυτό γράφεται και ως {z:z = x + yi, i²=-1}.$\mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}\equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R}$.
• $\mathrm {\mathbb {H} }$,το σύνολο όλων τωντετραδονίων.Αυτό γράφεται και ως {z:z = a + bi + cj + dk: i²= j²= k²= ijk = -1}.$\mathrm {\mathbb {H} \equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \equiv \mathbb {R} ^{4}}$.
• $\mathrm {\mathbb {R} ^{v}\equiv {\begin{matrix}\underbrace {\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times...\times \mathbb {R} } \\\mathrm {v\;\pi \alpha \rho {\acute {\alpha }}\gamma o\nu \tau \epsilon \varsigma } \end{matrix}}}$,το σύνολο των στοιχείων τουδιανυσματικού χώρουδιάστασης$\mathrm {v\in \mathbb {N},\;v>2}$.

Το καθένα από τα πιο πάνω σύνολα έχει άπειρα στοιχεία, αλλά ισχύει$\mathrm {\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{v}}$.

Για οποιαδήποτε σύνολα Aᵢ με i ∈ ℕ ισχύει

• $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}.$

• $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}.$

• $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}\cup \cdots.$

• $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}\cap \cdots.$

Κάποιες άλλες ιδιότητες των συνόλων:

• $A\cap \bigcup _{i\in I}X_{i}=\bigcup _{i\in I}(A\cap X_{i})$

• $A\cup \bigcap _{i\in I}X_{i}=\bigcap _{i\in I}(A\cup X_{i}).$

• $\left(\bigcap _{i\in I}X_{i}\right)-A=\bigcap _{i\in I}(X_{i}-A).$

• $\left(\bigcup _{i\in I}X_{i}\right)-A=\bigcup _{i\in I}(X_{i}-A).$

• $\left(\bigcap _{i\in I}X_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}Y_{j}\right)=\bigcap \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(X_{i}\cup Y_{j}).$

• $\left(\bigcup _{i\in I}X_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}Y_{j}\right)=\bigcup \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(X_{i}\cap Y_{j}).$

• $\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\times B=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\times B).$

• $\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\times B=\bigcup _{i\in I}(A_{i}\times B).$

• $\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\times \left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcap \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(A_{i}\times B_{j}).$

• $\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\times \left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(A_{i}\times B_{j}).$

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων

Πηγές

• Γεωργίου, Δ., Αντωνίου, Ε., Χατζημιχαηλίδης, Α. 2015.Θεωρία ΣυνόλωνΑρχειοθετήθηκε2019-01-30 στοWayback Machine.. [Κεφάλαιο Συγγράμματος]. Στο Γεωργίου, Δ., Αντωνίου, Ε., Χατζημιχαηλίδης, Α. 2015.Διακριτές μαθηματικές δομές για την επιστήμη των υπολογιστών.[ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα:Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. κεφ 1. Διαθέσιμο στο:http://hdl.handle.net/11419/458.Αρχειοθετήθηκε30/01/2019. Ανακτήθηκε 30/01/2019.