Nombro

Vidu ankaŭ artikolojngramatika nombro,nombroj,oksidiĝa nombro,vortoj por grandegaj nombroj

Nombroestas unu el laĉefkonceptojdematematiko.Ĝi aperis en fruaantikvecokaj iom post iom vastiĝadis kaj ĝeneraliĝadis laŭ grado de vastiĝo de la homa agadsfero kaj de la problemaro, kiu postulis kvantanpriskribonkajesploron.En komencaj ŝtupoj de ĝia evoluo, la koncepto de nombro estis difinita kiel rimedo porkalkulikajmezuriobjektojn, kaj poste la nombro fariĝis fundamentanociode matematiko kaj la sekva evoluo okazis nur pro bezonoj de ĉi tiuscienco.

Nombro, en scienco, estas fakteabstraktaĵokiu reprezentaskvantonaŭamplekson.En matematiko nombro povas reprezenti kvanton de mezuro aŭ pli ĝenerale elementon denombra sistemoaŭordan numeronkiu reprezentos pozicion ene de (vic)ordode difinitaserio.Lakompleksaj nombrojestas uzataj kiel utila ilo por solvialgebrajn problemojn,kaj algebre ili estas simpla aldonaĵo al lareelaj nombrojkiuj siavice ampleksigis la koncepton de orda numero. Ĉefe, reela nombro solvas la problemon de komparo de du mezuroj: kaj se ili estas kunmezureblaj kaj se ili estas nekunmezureblaj. Por ekzemplo: la flanko de unukvadratoestas kunmezurebla kun siaperimetro,sed laaristode la kvadrato kun ladiagonalode la kvadrato estas nekunmezureblaj.^[1]

Krome, en ampleksa senco, nombro indikas la grafikanskribsignon,kiu utilas por reprezenti ĝin; tiu grafika signo, kiu estas skribebla per unusola skribosigno, ricevas la nomoncifero.

La koncepto de nombro inkluzivas abstraktaĵojn kielfrakciaj,negativaj,neracionalaj,transcendaj,kompleksaj,kaj ankaŭ nombrojn de tipoj pli abstraktaj kiel, ekzemple, nombrojn hiperkompleksajn, kiuj ĝeneraligas la koncepton de kompleksa nombro, aŭ lahiperreelajn,la superreelajn kaj la subreelajn nombrojn, kiuj inkluzivas la reelojn kiel subaron.

Historio de la koncepto de nombro

La koncepto de nombro estas asocia al la kapablo kalkuli kaj kompari kiu el du aroj de similaj entoj havas pli grandan kvanton de elementoj. La unuaj homajsociojtrafis tuj la problemon determini kiu el du aroj estas "pli granda" ol alia, aŭ koni precize kiom da elementoj formis kolekton de aĵoj. Tiuj problemoj povis esti solvitaj simple kalkulante. La kapablo de la homa estaĵo kalkuli, ne estas simpla fenomeno, kvankam la majoritato dekulturojhavas kalkulsistemojn kiuj alvenas minimume ĝiscentoj,kelkaj popoloj havantaj simplanmaterialan kulturon,disponas nur de terminoj por la nombroj 1, 2 kaj 3 kaj kutime uzas la terminon "multaj" por pli grandaj kvantoj, kvankam, kiam necesas, ili uzas rimede esprimojn tradukeblaj kiel "3 plus 3 kaj aliaj 3" kiam necesas.

Lakalkuloplej verŝajne komencis pere de la uzado de fizikaj objektoj (kiaj amasoj daŝtonoj) kaj de kalkulmarkoj, kiel tiuj trovitaj sur ĉizitajostoj:tiu de Lebombo, kun 29 fendoj gravuritaj sur osto depaviano,havas ĉirkaŭ 37 000 jarojn de antikveco kaj alia osto delupotrovita en la iamaĈeĥoslovakio,kun 57 markoj disponitaj en kvin grupoj de 11 kaj krome du apartaj, estis ĉirkaŭkalkulita en 30 000 jaroj de antikveco. Ambaŭ okazoj konstituas unu el la plej antikvaj kalkulmarkoj konataj ĝis nun kaj oni sugestis ke eble ili estas rilataj kun registroj delunaj fazoj.^[2]Pri la origino de la orda kalkulo, kelkaj teorioj situas ĝin enreligiaj ritoj.Lanombraj sistemojde la majoritato delingvaj familiojrespegulas ke la operacio kalkuli estis asocia al la kalkulo de aŭ perfingroj(tialo kial la sistemoj dedekumakajdudekumabazo estas la plej abundaj), kvankam estas atestante la uzadon de aliaj nombraj bazoj krom 10 kaj 20, ekzemple60ĉe lababilonioj.

La paŝo al la nombraj simboloj, same kiel laskribado,asociiĝis al la apero de kompleksaj socioj kun institucioj centrigitaj konstituanteburokratajnsistemojn de kalkulo en registroj priimpostadokaj depropraĵoj.Ties origino estus en primitivaj simboloj kun diferencaj formoj por la kalkulo de diferencaj tipoj dehavaĵojkiel tiuj kiuj estis trovitaj enMezopotamioenskribitaj surargilaj tabuletojkiuj siavice estis venintaj anstataŭi iompostiome la kalkulon de diferencaj havaĵoj pere de argilajŝlipoj(konstatitaj almenaŭ ekde la jaro 8000 a.K.) La nombraj simboloj plej antikve trovitaj situas en la mezopotamiaj civilizoj kaj uziĝis kiel nombrosistemo ne nur por la kalkulo aŭ lakomercosed ankaŭ por laagrikultura mezuradokaj laastronomio,por ekzemplo, por registroj de la movadoj de laplanedojen la nokta ĉielo.^[3]

Tipoj

Imaginara nombroestasmultiplikodereela nombro $b$ kunimaginara unuo $i$ .Ĉar la imaginara unuo estas difinita per laekvacio $i^{2}=-1$ ,lakvadratode imaginara nombro $bi$ estas $-b^{2}$ ,do ĝi ĉiam estasnepozitiva.La nura nombro kiu estas kaj reela kaj imaginara estasnulo.

Laentjera nombro,entjero(aŭplena nombro) konsistas el lanaturaj nombroj(1,2,3,…), iliajnegativajekvivalentoj (−1, −2, −3,…) kaj 0 (nulo).Matematikistojkutime signas ĝin per ℤ aŭZ.La naturaj nombroj estassubarode laentjeroj,kion oni signas per ℕ ⊂ ℤ.

Kompleksa nombroestas nombro, kiu havas aspektonz=a+bi,kieakajbestasreelaj nombroj,kaji²egalas al la nombro-1.La signoiestas porimaginara unuo,a = Re znomiĝasreela partode kompleksa nombro kajb = Im z-imaginara parto.Reelaj nombroj estasaparta kazode kompleksaj nombroj, kieb=0.

Racionala nombro(aŭracia nombro) estaskvocientode du entjeroj; ekzemple 3/7. Matematike, eblas difini la racionalajn nombrojn kiel ordajn parojn de entjeroj(a,b),kieb≠ 0. Oni difinas adicion kaj multiplikon laŭ la jenaj reguloj:

(a,b) + (c,d):= (a·d + b·c, b·d)
(a,b) · (c,d):= (a·c, b·d)

Kvankamneracionalaj nombrojne estas ofte uzataj en ĉiutaga vivo, ili ekzistas sur lanombro-linio.Efektive, inter 0 kaj 1 sur la nombro-linio, estas senfina nombro de neracionalaj nombroj. Racionalaj kaj neracionalaj nombroj faras tuton dereelaj nombroj.La bezono de la ekzakta esprimo de kelkajgrandoj(ekz.proporciode kvadrata diagonalo al ĝialatero) postulis determinon de neracionalaj nombroj, kiuj esprimiĝas perracionalaj nombrojnur proksimume. Ĉiuj nombroj, kiuj ne estas racionalaj, estas konsiderataj kiel neracionalaj. La terminoneracionaladevenas de latinairrationalis- neracia, deir(in)- negativa prefikso kajratio- proporcio. Ili povas esti skribitaj kieldecimaloj,sed ne kielfrakcioj,kaj havas senfinan nombron daciferojdekstre de ladecimala punkto.Jen ekzemplo de neracionalaj nombroj:

pi= 3,141592...
kvadrata radiko de 2= 1,414213
reelaj nombroj(reeloj) estasintuiciedifinitaj kielnombroj,kiuj estasbijekciajal la punktoj sur malfiniarekto,lanombra akso.Historie la terminoreala nombroestis konstruita responde kaj kontraste alimaginara nombro.EnEsperantooni kutime uzas apartanradikon substantivanreelo.Reelo povas estiracionalaaŭneracionala;algebraaŭtranscenda;kajpozitiva,negativaaŭnulo.

Natura nombropovas aŭ signifine-negativan entjeron(0,1,2,3,...) aŭ (malofte)pozitivan entjeron(1,2,3,4,...). Naturaj nombroj havas du ĉefajn uzojn: Oni uzas ĝin por nombri objektojn (ekz-e "estas tripomojsur latablo") aŭ por ordigi objektojn (ekz-e" ĝi estas la trie plej grandaurboen lalando"). En la dua signifo ili estas nomataj vicmontraj nombroj aŭnumeroj.La simbolo estas $\mathbb {N}$ .

Primoestas pozitivaentjero,kiu ne estasprodutode du aliaj pozitivaj entjeroj kaj dividiĝas nur per si kaj per 1. Ekzemple, 12 dividiĝas je 1, 2, 3, 4, 6, 12 (kiuj estas ladivizorojde 12), sed 17 dividiĝas nur je 1 kaj 17. Sekve la nombro 17 estas primo, sed la nombro 12 ne estas primo, sedkomponita nombro.Ĉiu primo pli granda ol 3 estas de formo $6n-1$ aŭ $6n+1$ por iu natura nombron.

Transcenda nombroestaskompleksa nombrokiu ne estasalgebra,tio estas, ne estas solvaĵo de ne-nulapolinomaekvacio kunracionalaj koeficientoj.La plej elstaraj ekzemploj de transcendaj nombroj estasπkaj la bazo de lanaturaj logaritmoj e.Nur kelkaj klasoj de transcendaj nombroj estas sciataj. Povas esti ege malfacile montri ke iu donita nombro estas transcenda. Tamen, transcendaj nombroj estas ne maloftaj,preskaŭ ĉiujreelaj kaj kompleksaj nombroj estas transcendaj, pro tio ke la algebraj nombroj estaskalkuleblaj,sed aro de transcendaj nombroj estasnekalkulebla malfinio.La pruvo estas simpla. Pro tio ke la polinomoj kun entjerajkoeficientojestaskalkuleblaj,kaj pro tio ke ĉiu ĉi tia polinomo havas finian kvanton deradikoj,laalgebraj nombrojestaskalkuleblaj.Seddiagonala argumento de Cantorpruvas ke reelaj nombroj (kaj pro tio ankaŭ kompleksaj nombroj) estas nekalkuleblaj, do aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nekalkulebla. Ĉiu (reela) transcenda nombro estasneracionala nombro,pro tio ke ĉiu racionala nombro estas algebra nombro. La malo ne estas vera, ne ĉiu neracionala nombro estas transcenda. Ekzemple,kvadrata radiko de 2estas neracionala, sed ĝi estas radiko de polinomox²-2,tiel ĝi ne estas transcenda.

Hiperreelaj nombrojestas rigoramatematikamaniero pritraktiinfinitojnkajinfinitezimojn.Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pliintuiciaol matematike rigora. Pro disvolvoj deformala logikodum19-akaj20-a jarcentoj,oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore. La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomatajnenormaj reeloj) *Restaskorpa vastigaĵode la aro dereelojR,kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu difinita reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

1+1+\cdots +1.\,

Apartaj nombroj

6174

6174estas konata kiel lakonstanto de Kaprekar,laŭ la barata matematikisto D. R. Kaprekar. Ĉi tiu nombro estas notinda pro la rezulto de la sekvanta rutino.

paŝo 1: Prenu ajnan kvar-ciferan nombron, enhavantan almenaŭ du malsamajn ciferojn. (Antaŭaj nuloj estas permesitaj.)
paŝo 2: Aranĝu la ciferojn en malkreskantan kaj poste kreskantan sinsekvon por havigi du kvar-ciferajn nombrojn, aldonante antaŭajn nulojn, se necese.
paŝo 3: Subtrahu la pli malgrandan nombron el la pli granda. Reiru al paŝo 2 kaj ripetu.

La supra procezo, konata kiel la rutino de Kaprekar, ĉiam atingos la nombron 6147, post ne pli ol 8 iteracioj, kaj poste donos la nombron 6174 senfine.

Vidu ankaŭ

Referencoj

↑A.I. Fetísov.Acerca de la demostración en geometría.Editorial Mir,Moskvo(1980)
↑Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008.ISBN 978-84-8432-369-3p. 12-13
↑Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008.ISBN 978-84-8432-369-3p. 14.

Eksteraj ligiloj

Nombro en laVikimedia Komunejo(Multrimedaj datumoj)
Kategorio Nombro en laVikimedia Komunejo(Multrimedaj datumoj)
Nombro en laVikicitaro(Kolekto de citaĵoj)

Lasta lekcio en Gotingenoelŝuteblaen pdf-formato,bildrakonto en Esperanto deDavide Osenda,kiu temas priaroj de nombroj.Tradukita en esperanto en laprojekto RoMEo.

[1] A.I. Fetísov.Acerca de la demostración en geometría.Editorial Mir,Moskvo(1980)

[2] Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008.ISBN 978-84-8432-369-3p. 12-13

[3] Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008.ISBN 978-84-8432-369-3p. 14.

[1]

[2]

[3]