Ringo-teorio

Enmatematiko,ringo-teorioaŭringoteorioestas la studo priringoj,algebraj strukturojen kiujadiciokajmultiplikoestas difinitaj kaj havas similajn propraĵojn al tiuj familiaraj de laentjeroj.

Bonvolu konsulti laglosaron de ringo-teoriopor la difinoj de terminoj uzataj tra ringo-teorio.

Historio

La studo de ringoj devenis de la teorio depolinomringojkaj la teorio dealgebraj entjeroj.Plue, la apero dehiperkompleksaj nombrojen la mezo de la 19-a jarcento subfosis la antaŭ-moŝtecon dekampojen analitiko.

Richard Dedekindprezentis la koncepton de ringo.

La terminoringo (Zahlring)estis elpensita deDavid Hilberten la artikoloDie Theorie der algebraischen Zahlkörper,Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, volumo 4,1897.

La unua aksioma difino de ringo estis donita perAdolf Fraenkelen eseo enĴurnalo für die reine und angewandte Mathematik(A. L. Crelle), volumo 145,1914.

En1921,Emmy Noetherdonis la unuan aksioman fundamenton de la teorio dekomutaj ringojen sia monumenta paperoIdeala teorio en ringoj.

Enkonduko

Difino

Formale, ringo estaskomuta grupo(R,+), kaj ankaŭ duaoperacio (matematiko)$*$tia, ke por ĉiuja,bkajcenR,

$a*(b*c)=(a*b)*c$

$a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$

$(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

kaj tia, ke rilate operacion$*$ekzistasneŭtrala elemento,aŭunuo, t.e. tia elemento 1, ke por ĉiujaenR,

$a*1=1*a=a$

La komuta grupo (R,+) nomiĝasadicia grupode la ringo, kaj la operacio$*$kutime nomiĝasmultipliko.

Ne ĉiuj aŭtoroj igas la ekziston de multiplika neŭtrala elemento parto de la difino de ringo, t.e. la difino allasas ringojn sen unuo, kiel oni kutime nomas multiplikan neŭtralan elementon. Ekzemple, parajentjerojrilate aritmetikajn operaciojn deadiciadokajmultiplikadoformas ringon sen unuo. En tiaj kuntekstoj ringon, kiu fakte havas la multiplikan neŭtralan elementon, oni nomasunuohava ringoaŭringo kun unuo.

Bazaj nocioj

Estas simple montri, ke iu ajn ringo en kiu 1 = 0 devas havi nur unu elementon; iu ajn tia ringo estas nomatanula ringo.

Subaroj de ringo, kiuj mem estas ringoj rilate la operaciojn de la origina ringo, estas nomatajsubringoj.Funkciojinter ringoj, kiuj respektas la ringajn operaciojn, nomiĝasringaj homomorfioj.Ringoj kune kun ringaj homomorfioj, formaskategorion.Proksime rilata estas la nocio deidealoj,certaj subaroj de ringoj, kiuj servas kielkernojde homomorfioj kaj povas servi por difinifaktor-ringojn. Bazajn faktojn pri idealoj, homomorfioj kaj faktor-ringoj formas la tiel nomatajteoremoj pri izomorfecoĝenerale validaj por multaj klasoj dealgebraj strukturoj:grupoj,modulojktp.

Ringo nomiĝaskomuta ringo,se ĝia multipliko estaskomuta.Komutaj ringoj similas familiarajn nombrosistemojn, kaj diversaj difinoj por komutaj ringoj estas fasonitaj por reakiri konatajn ecojn de laentjeroj.Komutaj ringoj estas gravaj ankaŭ enalgebra geometrio.En teorio pri komutaj ringoj, nombroj estas ofte anstataŭigitaj peridealoj,kaj la difino deprima idealoperas la esencon deprimoj.Integrecaj ringoj,ne-bagatelaj komutaj ringoj kie neniuj du ne-nulaj eroj inter si multiplikitaj donas nulon, ĝeneraligas la alian propraĵon de la entjeroj kaj servas kiel la pozitiva regno por studidivideblecon.Ĉefidealaj ringojestas integrecaj ringoj en kiuj ĉiu idealo povas esti generita per sola ero, alia propraĵo komuna kun la entjeroj.Eŭklidaj ringojestas integrecaj ringoj en kiuj laeŭklida algoritmoporplej granda komuna divizoropovas funkcii. Gravaj ekzemploj de komutaj ringoj povas esti konstruitaj kiel ringoj depolinomojkaj iliaj faktoraj ringoj. Enkonduko:eŭklida ringo=>ĉefideala ringo=>faktoreca ringo=>integreca ringo=>komuta ringo.

Ne-komutaj ringoj similas ringojn dematricojen multaj aspektoj. Sekve la modelo dealgebra geometrio,provas esti farita nur je difinantane-komuta geometriobazita sur ne-komutaj ringoj.

Ne-komutaj ringoj kajasociecaj algebroj(ringoj, kiuj estas ankaŭvektoraj spacoj) estas ofte studitaj per iliakategoriojde moduloj.Modulosuper ringo estas komutagruposur kiu la ringo agas kiel ringo deendomorfioj,treege simile al la manieroj kielkampoj(integrecaj ringoj en kiuj ĉiu ne-nula ero estas inversigebla) agas sur vektoraj spacoj. Ekzemploj de ne-komutaj ringoj estas donitaj per ringoj dekvadrataj matricojaŭ pli ĝenerale per ringoj de endomorfioj de komutaj grupoj aŭ moduloj, kaj permonoidaj ringoj.

Iuj utilaj teoremoj

• Teoremo de Artin-Wedderburn

Ĝeneraligoj

Iun ajn ringon eblas konsideri antaŭadicia kategorio kun unusola objekto. Tial estas nature konsideri la antaŭadiciajn kategoriojn kiel ĝeneraligon de ringoj. Kaj efektive, multaj difinoj kaj teoremoj originale pruvitaj por ringoj povas esti tradukitaj por tiu pli ĝenerala kunteksto. Adiciajfunktorojinter antaŭadiciaj kategorioj ĝeneraligas la koncepton de ringa homomorfio, kaj idealoj en adiciaj kategorioj povas esti difinitaj kiel klasoj destrukturkonservantaj transformojfermitaj sub adicio kaj sub komponado kun ajnaj strukturkonservantaj transformoj.

Eksteraj ligiloj

• Historio de ringo-teorio je la arĥivo MacTutorArkivigite je2017-04-24 per la retarkivoWayback Machine