Spaca angulo

Spaca angulo,ofte priskribita per simboloΩ,estastridimensiaangulokun vertico en centro desfero,kiu priskribas kiel grandanareononi eltranĉas de la surfaco de sfero. Ĝia unuo estassteradiano(sr) kiu formale estas sen unua dimensio (m²·m⁻²-> 1). Plena spaca angulo egalas al4π.Spaca angulo je 1 sr (unu steradiano) signifas ke oni eltranĉas areon egala al kvadrato kun latero radiuslonga. Ĝi estas ankaŭ mezuro de tio kiel granda objekto aspektas al rigardanto en certa distanco. Malgranda objekto apude povas havi la saman spacan angulon kiel granda objekto malproksime.

spaca anguloje unu steradiano

La spaca angulo estas proporcia kun lasurfaca areoS,de projekcio de tiu objekto sursferoncentritan je tiu punkto de rigardanto, dividita per lakvadratode la sferaradiusoR,Ω = k S/R²,kiekestas la proporcieca konstanto. Solida angulo estas rilatanta al surfaco de la sfero en la sama vojo kiel ordinaraanguloestas rilatanta alperimetrodecirklo.

Se la proporcieca konstanto estas elektita egala al 1, lamezurunuode solida angulo estas laSI-asteradiano(mallongesr). Tial la solida angulo de la tuta sfero mezurita de ĝia centro estas4πsr,kaj la solida angulo el centro de kubo al unu el ĝiaj ses edroj estas unu-sesa de tiu la tuta kaj estas2π/3 sr.Solida angulo povas esti mezurita ankaŭ (pork = (180/π)²) enkvadrataj gradojaŭ (pork= 1/4π) en frakcioj de la sfero (kio estas,frakcia areo).

Por ricevi la solidan angulon en steradianoj, necesas multipliki la frakcian areon per4π.

Pro ricevi la solidan angulon en kvadrataj gradoj, necesas multipliki la frakcian areon per4π × (180/π)²,kio egalas al129600/π.

La spaca angulo por surfaco S al punkto P estas donita per la surfaca integralo:

$\Omega =\iint _{S}{\frac {{\underline {r}}\cdot {\underline {d}}{\underline {S}}}{r^{3}}}.$

kie${\underline {r}}$estas lavektorapozicio de infinitezima areo de surfaco$\,dS$kun respekto al punkto P kaj kie${\underline {d}}{\underline {S}}$estas vektoro direkte al la unuo normala al$\,dS$kun grandeco de$\,dS.$

Solidaj anguloj por komunaj objektoj

Kvaredro

Estu OABC la verticoj dekvaredro.Estu${\underline {a}}\,\,{\underline {b}}\,\,{\underline {c}}$la vektoraj pozicioj de la verticoj A, B kaj C. Estu la vertica angulo$\theta _{a}$la angulo BOC; estu$\theta _{b}$la angulo AOC; estu$\theta _{c}$la angulo BOA. Estu$\phi _{ab}\,$laduedra angulointer laebenojkiuj enhavas la kvaredrajn edrojn OAC kaj OBC; estu$\phi _{bc}$la duedra angulo inter la ebenoj de OAB kaj OAC;$\phi _{ac}$la duedra angulo inter la ebenoj de OAB kaj OBC;. La solida angulo je O de la triangula surfaco ABC estas donita per

$\Omega =\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}-\pi \,$.

Ĉi tiu sekvas de la teorio desfera krompagokaj ĝi kondukas al tio ke estas analoga teoremo al la sumo de enaj anguloj de trianguloπ.Sumo de la kvar enaj solidaj anguloj de kvaredro estas:

$\sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi$

kie:

$\phi _{i}\,$estas ĉiuj ses duedraj anguloj inter ebenoj de la kvaredraj edrojOAB,OAC,OBCkajABC.

Alia formulo por kalkulo de la solida angulo de la kvaredro je la fontoOestas:

$\tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\underline {a}}\ {\underline {b}}\ {\underline {c}}]}{abc+({\underline {a}}\cdot {\underline {b}})c+({\underline {a}}\cdot {\underline {c}})b+({\underline {b}}\cdot {\underline {c}})a}}$

kie${\underline {a}}\,\,{\underline {b}}\,\,{\underline {c}}$estas la vektoraj pozicioj de la verticojA,BkajC;

$[{\underline {a}}\ {\underline {b}}\ {\underline {c}}]$estas ladeterminantode la matrico kiu rezultiĝas per skribo de la vektoroj kune, ĉi tio estas ankaŭ ekvivalento al laskalara triopa produtode la tri vektoroj;

aestas la grandeco de tiu vektoro${\underline {a}}$(la distanco OA);

${\underline {a}}\cdot {\underline {b}}$estas laskalara produto.

Alia formulo por kalkulo de la solida angulo de la kvaredro je la fontoOestas pure funkcio de la verticaj anguloj$\theta _{a},\,\theta _{b},\,\theta _{c}$:

$\tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$

kie$\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$

Konuso, ĉapo, duonsfero

Sekcio de konuso (1) kaj ĉapo (2) en sfero. Ĉi tieθ=A/2kajr=1,do2θ=1sr.

La solida angulo dekonusokunapeksaangulo2θestas areo deĉaposurunuobla sfero

$\Omega =2\pi (1-\cos {\theta })$

La formulo povas esti pruvita perduopa integralokun lasurfaca ero en sfera koordinataj:

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\ d\theta '\ d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\ d\theta '=2\pi [-\cos \theta ']_{0}^{\theta }\ =2\pi (1-\cos \theta )$

Kiamθ=π/2,la ĉapo iĝasduonsferonkun solida angulo2π.

Ortangula piramido

La solida angulo de kvarlatera neklina ortangulapiramidokun apeksaj angulojakajb(kiuj estasduedraj angulojinter la kontraŭaj flankaj edroj de la piramido) estas

$4\arcsin(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2})$

Se ambaŭ la lateraj longojαkajβde bazo de la piramido kaj la distancodde la centro de la ortangulo al la apekso estas sciataj, tiam la solida angulo povas esti kalkulita kiel:

$\Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}$

Latitudo-longituda ortangulo

La solida angulo de latitudo-longituda ortangulo surglobusoestas

sin φ_N- sin φ_S) ( θ_E- θ_U)

kieφ_Nkajφ_Sestas norda kaj suda linioj delatitudo(mezuritaj de laekvatoroenradianojkun angulo pligrandiĝanta norde, kajθ_Ekajθ_Uestas orienta kaj okcidenta linioj delongitudo(kie la angulo en radianoj pligrandiĝas orienten).

Ĉi tio prezentas arkon de anguloφ_N- φ_Sirantan ĉirkaŭ sfero perθ_E- θ_Uradianoj. Se longitudo trapasas2πradianojn kaj latitudo trapasasπradianoj, la solida angulo estas tiu de la tuta sfero.

Latitudo-longituda ortangulo devus ne esti konfuzita kun la solida angulo de ortangula piramido. Ĉiuj kvar flankoj de ortangula piramido sekcas la sferon jeĉefcirklajarkoj). Ĉe latitudo-longituda ortangulo, nur linioj de longitudo estas ĉefcirklaj arkoj; linioj de latitudo estas arkoj de pli malgrandaj cirkloj se la latitudo ne estas 0 (ekvatoro).

Suno kaj Luno

SunokajLunoestas ambaŭ vidita de tero je solida angulo de 0.001% de la ĉiela duonsfero aŭ ĉirkaŭ 6·10⁻⁵steradianoj.

Solida angulo en ajna dimensio

Solida angulo povas esti difinita en ĉiudimensio.Oni ofte bezonas ĉi tiun solidangulan faktoron en kalkuloj kun sfera simetrio. Solida angulo de la tuta unuoblad-dimensia sfero estas donita per la formulo

$\Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}})}}$

kie$\Gamma$estas laΓ funkcio.Pro tio kedestas entjero, la Γ funkcio povas esti komputita eksplicite. Tiel

$\Omega _{d}={\frac {d\pi ^{d/2}}{({\frac {d}{2}})!}}$

sedestas para, kaj

$\Omega _{d}={\frac {2^{d}({\frac {d-1}{2}})!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}$

sedestas nepara.

Vidu ankaŭ

• Angulo
• Duedra angulo

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein,Solida anguloenMathWorld.
• Eric W. Weisstein,Sfera krompagoenMathWorld.