Malplena aro

Enmatematiko,kaj pli specife enaroteorio,malplena aroaŭnenioma aroestas la unikaaro,kiu ne enhavas elementojn. Enaksioma aroteorioĝia ekzisto estas postulata per laaksiomo de malplena arokaj ĉiuj finiaj aroj estas konstrueblaj pere de ĝi. La malplena aro estas fojfoje nomatanula aro,sed ĉarnula arosignifas ion alian enteorio de mezuro,uzo de ĉi tiu termino por malplena aro estas ĝenerale evitinda.

Diversaj ĝeneralaj ecoj de aroj estastrivialeveraj por la malplena aro.

Notacio

La normanotaciopor malplena aro estas la simbolo$\varnothing$aŭ ∅. Oni ne konfuzu tiun ĉi signon kun la skandinava vokaloØøkaj lagreka literoΦ.

Por kompari, vidu la tri signojn kune: ∅ Øø Φ – la signo de malplena aro estas bazita sur geometriacirklo,sed la skandinava litero similas alovalokiel litero 'O'.

La signo de malplena aro "∅" havasunikodankodon U+2205. KomunaTeX-a pakaĵo uzas por ĝi skribojn\emptysetkaj\varnothing,kiuj respektive aperas kiel:

$\emptyset,\varnothing$

Alia komuna notacio por la malplena aro estas {}.

Ecoj

• Por ĉiu aroA,la malplena aro estassubarodeA:
• :∀A:$\varnothing$⊆A
• Por ĉiu aroA,lakunaĵodeAkun la malplena aro estasA:
• :∀A:A∪$\varnothing$=A
• Por ĉiu aroA,lakomunaĵodeAkun la malplena aro estas la malplena aro:
• :∀A:A∩$\varnothing$=$\varnothing$
• Por ĉiu aroA,lakartezia produtodeAkaj la malplena aro estas malplena:
• :∀A:A×$\varnothing$=$\varnothing$
• La sola subaro de la malplena aro estas la malplena aro:
• :∀A:A⊆$\varnothing$⇒A=$\varnothing$
• La nombro de eroj de la malplena aro (tio estas ĝiakardinalo) estasnulo;kaj malplena aro estasfinia:
• :|$\varnothing$| = 0
• Por ĉiu propraĵo:
  • por ĉiu ero de$\varnothing$la propraĵo estas vera
  • forestas ero de$\varnothing$por kiu la propraĵo estas vera
• Male: se, por iu propraĵo, jenaj du propozicioj estas veraj samtempe:
  • por ĉiu ero de V la propraĵo veras
  • forestas ero de V por kiu la propraĵo veras

tiam V =$\varnothing$

Rolo de malplena aro en matematiko

Eblas diri, ke per la malplena aro komenciĝas la matematiko, ĉar oni povas uzi ĝin por ekkrei la entjerojn; el la entjeroj eblas konstrui aliajn nombrojn ktp.

LaŭJohn von Neumann,oni povas procedi jene:

• kiun kvanton da elementoj kunmetas la malplena aro {}? Nul (0).
• kiun kvanton da elementoj kunmetas la aro {0}? Unu (1).
• kiun kvanton da elementoj kunmetas la aro {0,1}? Du. Ktp.

Tiel oni povas difini ĉiujn entjerojn, uzante nur unu aĵon.

Matematikistoj kutime parolas pri "lamalplena aro ", ĉar laŭaroteoriodu aroj estas samaj, se ili havas la samajn erojn; pro tio povas esti nur unu senelementa aro.

Vidu ankaŭ

• Unuera aro (matematiko)
• Duera aro