Divisibilidad

En matemáticas, concretamente enaritmética,se dice que unnúmero enterobesdivisibleentre otro enteroa(no nulo) si al dividir$b$entre$a$el resto es cero o, dicho simbólicamente,$b{\bmod {a}}=0$.

Se suele expresar de la forma$a\mid b$,que se lee: «adivideab», o «aesun divisordeb» o también «besmúltiplodea».​ Por ejemplo, 6 es divisible entre 3, ya que 3×2=6; pero 6 no es divisible entre 4, pues no existe un entero$c$tal que$4\times c=6$;es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Cualquier número natural​ es divisible entre 1 y entre sí mismo. Losnúmerosmayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se llamannúmeros primos.Los que admiten más de dos divisores se llamannúmeros compuestos.

Definición

El número entero$a$esdivisibleentre el número entero$b\neq 0$(o lo que es lo mismo,bdivide aa) si hay un número$q$entero, tal que$a=b\cdot q$.

Este hecho se denominadivisibilidaddel número entero$a$por el número entero$b$y se denota por$b|a$;que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no.​ Por ejemplo$3|12$es cierta; sin embargo,$3|17$no es cierta. Si$b$no es divisor de$a$se escribe$b\nmid a$.Nótese que$0\nmid a$para todo$a$distinto de cero, pues$a\neq 0=k\cdot 0$para todo$k$entero.

Factor o divisor propio

Se denominafactor o divisor propiode unnúmero enteron,a otro número también entero que es divisor den,pero diferente den.El divisorn esdenominadoimpropio.

Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyovalor absolutoes menor que el número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamadosparesy los que no lo son se llamanimpares.

Sides un divisor deay el único divisor que admite d es 1 y él mismo, se llama divisor primo dea.De hecho es unnúmero primo.El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.

Propiedades

Sean$a,b,c\in \mathbb {Z}$,es decir$\ a$,$\ b$y$\ c$sonnúmeros enteros.Se dan las propiedades básicas:

• Si$a\neq 0$entonces$a\mid a$(Propiedad reflexiva).
• si$a\mid b$y$b\mid a$entonces$|a|=|b|$.Son iguales o bien uno es el opuesto del otro.
• Cuando$a\mid b$y$b\mid c$,entonces$a\mid c$(Propiedad transitiva).
• Si$a\mid b$y$b\neq 0$,entonces$|a|\leq |b|$.
• $a\mid b$y$a\mid c$,implica$a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta,\gamma \in \mathbb {Z}$.Divisor de la combinación lineal.
• $a\mid b$y$a\mid c$,implica$a\mid \theta b^{k}+\kappa c^{j}\ \ \forall \ \theta,\kappa,k,j\in \mathbb {Z}$.Divisor de la combinación lineal de potencias.​
• Si$a\mid b$y$a\mid b\pm \ c$,entonces$a\mid c$.
• De$a\mid b$y$a\neq 0$,se deduce${\frac {b}{a}}\mid b$.Divisores conjugados.
• Para$c\neq 0$,$a\mid b$si y solo si$ac\mid bc$.
• Si$a\mid bc$y$\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$,entonces$a\mid c$.
• Cuando$\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$y$\ c$cumple que$a\mid c$y$b\mid c$,entonces$ab\mid c$.
• $n\mid 0$y$1\mid n$para todo$\ n$entero ya que$0=0\cdot n$y$n=n\cdot 1$.
• $1\mid \operatorname {mcd} (a,b)\mid a\mid \operatorname {mcm} (a,b)\mid 0$.
• abcd es divisible entre n-1 si y solo si a+b+c+d es múltiplo de (n-1), siempre que abcd esté escrito en la base n, (n≥ 3 ).​
• Si mcd(a,b) = 1 no cabe a^k= b^hpara cualesquiera h, k números enteros positivos; potencias de coprimos no son iguales en ningún caso.​
• En cualquier sistema de numeración, para chequear si n es múltiplo de h, divisor de la base, basta analizar la última cifra de n. Así, en la numeración decimal, para saber si n es múltiplo de 5, basta ver si la última cifra es 5 o 0. En la base 12, para saber si n es divisible entre 6, basta ver si termina en 6 o 0. En el sistema hexadecimal, para chequear si n es múltiplo de 4 basta ver que termina en uno de estos dígitos: 0, 4, 8.

Número de divisores

Si lafactorización en números primosdenviene dada por

$n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

entonces el número de divisores positivos denes

$d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),$

y cada uno de los divisores tiene la forma

$p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}$

donde$0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$para cada$1\leq i\leq k.$​

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios permiten averiguar si un número es divisible entre otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.​​​​​​

Número	Criterio	Ejemplo
1		5: porque si divides 5:1=5 y ese número es un múltiplo o divisor de cualquier número.
2	El número termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8).	378: porque la última cifra (8) es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+8+0 =12 es múltiplo de 3.
4	Sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4.	300 y 516 son divisibles entre 4 porque terminan en 00 y en 16, respectivamente, siendo este último un múltiplo de 4 (16=4*4).
5	La última cifra es 0 o 5.	485: porque termina en 5.
6	Es divisible entre 2 y 3.	912: porque es par y 9+1+2=12 es múltiplo de 3
7	Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. Otro sistema: Si la suma de la multiplicación de los números por la serie 2,3,1,-2,-3,-1... da 0 o un múltiplo de 7.	34349: separamos el 9, y lo duplicamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y duplicándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7. Ejemplo método 2: 34349: [(2*3)+(3*4)+(1*3)-(2*4)-(3*9)]= 6+12+3-8-27 = -14.​
8	Para saber si un número es divisible entre 8 hay que comprobar que sus tres últimas cifras sean divisibles entre 8. Si sus tres últimas cifras son divisibles entre 8 entonces el número también es divisible entre 8.	Ejemplo: El número 571.328 es divisible por 8 ya que sus últimas tres cifras (328) son divisibles por 8 (32 = 8*4 y 8 = 8*1). Realizando la división comprobamos que 571.328: 8 = 71.416
9	Un número es divisible por 9 cuando al sumar todas sus cifras el resultado es múltiplo de 9.	504: sumamos 5+0+4=9 y como 9 es múltiplo de 9 504 es divisible por 9 5346: sumamos 5+3+4+6=18 y como 18 es múltiplo de 9, 5346 es divisible por 9.
10	La última cifra es 0.	4680: porque termina en 0
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero o un múltiplo de 11, el número es divisible entre este. Si el número tiene solo dos cifras y estas son iguales será múltiplo de 11.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11. 66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es múltiplo de 11.
12	Es divisible entre 3 y 4	900: porque 9 = 3+3+3 lo que lo hace divisible para 3 y 00 (sus últimas 2 cifras) son múltiplos de 4 porque 4x0 = 00
13	Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13	3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2×9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4×9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13.
14	Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7	546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos, 6×2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14.
15	Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5	225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15.
17	Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17	2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.
18	Un número es divisible entre 18 si es par y divisible entre 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9)	9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.
19	Un número es divisible entre 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19.	3401: separamos el 1, lo doblamos (2) y sumamos 340+2= 342, ahora separamos el 2, lo doblamos (4) y sumamos 34+4=38 que es múltiplo de 19, luego 3401 también lo es.
20	Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20. Cualquier número par que tenga uno o más ceros a la derecha, es múltiplo de 20.	57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20.
23	Un número es divisible entre 23 si al separar la cifra de las unidades, multiplicar por 7 y sumar las cifras restantes el resultado es múltiplo de 23.	253: separamos el 3, lo multiplicamos por 7 y sumamos 25+21= 46, 46 es múltiplo de 23 así que es divisible entre 23.
25	Un número es divisible entre 25 si sus dos últimas cifras son 00, o en múltiplo de 25 (25,50,75,...)	650: Es múltiplo de 25 por lo cual es divisible. 400 también será divisible entre 25.
27	Un número es divisible entre 27, si al dividirlo entre 3 da un cociente exacto que es divisible de 9.	11745: Entre 3, cociente =3915; cuyas cifras suman 18, luego 11745 es divisible entre 27.
29	Un número es divisible entre 29 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29.	2262: separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos, 226+6= 232, ahora separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos 23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también lo es.
31	Un número es divisible entre 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31.	8618: separamos el 8, lo triplicamos (24) y restamos 861-24=837, ahora separamos el 7, lo triplicamos (21) y restamos, 83-21=62 que es múltiplo de 31, luego 8618 también lo es.
50	Un número es múltiplo de 50 cuando sus dos últimas cifras son 00 o 50.	123450: sería divisible entre 50 porque termina en 50.
100	Un número será divisible entre 100 si dicho número termina en 00.	1000: Este número será divisible entre cien ya que sus dos últimas cifras son 00, independientemente de las demás.
125	Un número será divisible entre 125 si termina en 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 o 875.	3000: Sería divisible entre 125 ya que sus tres últimas cifras son 000. 4250: Este número también sería divisible entre 125 ya que termina en 250.

Observación

Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en elsistema de numeración decimal.En otra base no siempre ocurre así. Pues 102₇,escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible entre 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1 (Mód 2), luego 102₇es impar (en decimal es 7²+2=51).

Otros contextos

La divisibilidad es posible tratar dentro de las propiedades aritméticas de los

• Enteros gaussianos​
• Enteros algebraicos​
• Polinomios en una indeterminada con coeficientes enteros
• Números enteros pares
• Números de Fibonacci
• Anillos cuadráticos​

Véase también

• Tabla de divisores
• Máximo común divisor
• Conmensurabilidad
• Divisor unitario

Referencias

Bibliografía

• Aritmética elemental deEnzo R. Gentile(1985) OEA.
• Teoría de los números de Burton W. Jones.
• Fundamentos de la teoría de números deIván Vinográdov
• Introducción a la teoría de los números de Niven y Zuckermann
• Aritmética [I] de L.Galdós (2002), Cultural S.A. Madrid.

• Datos:Q50708