Ecuación

El primer uso del signo de igualdad. La ecuación equivale a la notación moderna14x+ 15 = 71.​

Unaecuaciónes unaigualdad matemáticaentre dosexpresiones,denominadasmiembrosy separadas por elsigno igual,en las que aparecen elementos conocidos ydatosdesconocidos oincógnitas,relacionados medianteoperaciones matemáticas.Los valores conocidos pueden sernúmeros,coeficientesoconstantes,tambiénvariableso incluso objetos complejos como funciones o vectores; los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de unsistemao algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.​ Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en lasecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en laecuación algebraicasiguiente:

$\overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}$

la variable$x$representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es unaigualdad condicional,en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llamasoluciónde una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisface. Para el caso dado, la solución es:

$x=5$

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llamaidentidad.Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominaráinecuación.

El símbolo «=», que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 porRobert Recorde,quien consideró que no había nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud.​

Una ecuación se escribe como dosexpresiones,conectadas por unsigno igual( "=" ).​​​ Las expresiones en los dos lados del signo igual se denominan "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación. Muy a menudo se supone que el lado derecho de una ecuación es cero. Suponiendo que esto no reduce la generalidad, ya que esto se puede realizar restando el lado derecho de ambos lados.

El tipo más común de ecuación es una ecuación polinomial (comúnmente llamada también ecuación algebraica ) en la que los dos lados son polinomios. Los lados de una ecuación polinomial contienen uno o más términos. Por ejemplo, la ecuación

$Ax^{2}+Bx+C-y=0$

tiene el lado izquierdo$Ax^{2}+Bx+C-y$,que tiene cuatro términos, y el lado derecho$0$,que consta de un solo término. Los nombres de lasvariablessugieren quex∧yson incógnitas, y queA,B,yCsonparámetros,pero esto es normalmente fijado por el contexto (en algunos contextos,ypuede ser un parámetro, oA,B,yCpueden ser variables ordinarias).

Una ecuación es análoga a una balanza en la que se colocan pesos. Cuando se colocan pesos iguales de algo (por ejemplo, grano) en los dos platillos, los dos pesos hacen que la balanza esté en equilibrio y se dice que son iguales. Si se retira una cantidad de grano de uno de los platillos de la balanza, debe retirarse una cantidad igual de grano del otro platillo para que la balanza siga en equilibrio. Más generalmente, una ecuación permanece en equilibrio si se realiza la misma operación en sus dos lados.

Engeometría cartesianalas ecuaciones se utilizan para describirfiguras geométricas.Puesto que las ecuaciones que se plantean, como lasecuaciones implícitaso lasecuaciones paramétricas,tienen infinitas soluciones, el objetivo es ahora diferente: en lugar de dar las soluciones explícitamente o contarlas, lo que es imposible, se utilizan las ecuaciones para estudiar las propiedades de las figuras. Esta es la idea de partida de lageometría algebraica,una importante área de las matemáticas.

ElÁlgebraestudia dos grandes familias de ecuaciones:ecuaciones polinómicasy, entre ellas, el caso especial de lasecuaciones lineales.Cuando hay una sola variable, las ecuaciones polinómicas tienen la formaP(x) = 0, dondePes unpolinomio,y las ecuaciones lineales tienen la formaax+b= 0, dondeaybsonparámetros.Para resolver ecuaciones de cualquiera de las dos familias, se utilizan técnicas algorítmicas o geométricas que provienen delálgebra linealo delanálisis matemático.El álgebra también estudia lasecuaciones diofantinasen las que los coeficientes y las soluciones son númerosenteros.Las técnicas utilizadas son diferentes y provienen de lateoría de números.Estas ecuaciones son difíciles en general; a menudo se busca sólo encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existe una o varias, hallar el número de soluciones.

Lasecuaciones diferencialesson ecuaciones que involucran una o más funciones y sus derivadas. Seresuelvenencontrando una expresión para la función que no implique derivadas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar procesos que implican las tasas de cambio de la variable,y se utilizan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.

Introducción

Ilustraciónes análogas

Ilustración de una ecuación simple; x, y, z son números reales, análogos a los pesos.

Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de una balanza. En cada lado se pueden colocar cantidades diferentes: si los pesos de los dos lados son iguales, la balanza se equilibra, y por analogía, la igualdad que representa la balanza también se equilibra (si no, la falta de equilibrio corresponde a unadesigualdadrepresentada por unainecuación).

En la ilustración,x,yyzson cantidades diferentes (en este casonúmeros reales) representadas como pesos circulares, y cada una dex,yyztiene un peso diferente. La suma corresponde a añadir peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso del que ya hay. Cuando la igualdad se mantiene, el peso total de cada lado es el mismo.

Parámetros e incógnitas

Las ecuaciones a menudo contienen términos distintos de las incógnitas. Estos otros términos, que se suponenconocidos,suelen llamarseconstantes,coeficientesoparámetros.

Un ejemplo de una ecuación que implicaxeycomo incógnitas y el parámetroRes

$x^{2}+y^{2}=R^{2}.$

Cuando se elige queRtenga el valor de 2 (R= 2), esta ecuación se reconocería encoordenadas cartesianascomo la ecuación del círculo de radio 2 alrededor del origen. Por lo tanto, la ecuación conRsin especificar es la ecuación general del círculo.

Normalmente, las incógnitas se denotan con letras del final del alfabeto,x,y,z,w,...,​ mientras que los coeficientes (parámetros) se denotan con letras del principio,a,b,c,d,.... Por ejemplo, laecuación cuadráticageneral se suele escribirax²+bx+c= 0.

El proceso de encontrar las soluciones o, en el caso de los parámetros, de expresar las incógnitas en términos de los parámetros, se llamaresolución de la ecuación.Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se llamansoluciones.

Unsistema de ecuacioneses un conjunto deecuaciones simultáneas,normalmente en varias incógnitas, para las que se buscan las soluciones comunes. Así, unasolución del sistemaes un conjunto de valores para cada una de las incógnitas que juntos forman una solución para cada ecuación del sistema. Por ejemplo, el sistema

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

tiene como única soluciónx= -1,y= 1.

Uso de ecuaciones

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar leyes de forma precisa; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, laecuación de la dinámica de Newtonrelaciona las variables fuerzaF,aceleraciónay masam:F=ma.Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masam= 1 kg y una aceleracióna= 1 m/s^2, la única solución de la ecuación esF= 1 kg·m/s^2 = 1newton,que es el único valor para la fuerza permitida por esta ley.

Ejemplos:

• ecuación de estado
• ecuación de movimiento
• ecuación constitutiva

El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Según autores comoIan Stewart,"el poder de las ecuaciones (...) recae en la correspondencia filosóficamente difícil entre lasmatemáticas—una creación colectiva de mentes humanas— y una realidad física externa. "​

Identidades

Unaidentidades una expresión matemática que es verdadera para todos los valores posibles de la(s) variable(s) que contiene. Se conocen muchas identidades en álgebra y cálculo. En el proceso de resolver una ecuación, una identidad se utiliza a menudo para simplificar una ecuación, haciéndola más fácil de resolver.

En álgebra, un ejemplo de identidad es ladiferencia de dos cuadrados:

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

que es verdadera para todas lasxey.

LaTrigonometríaes un área donde existen muchas identidades; éstas son útiles para manipular o resolverecuaciones trigonométricas.Dos de las muchas que involucran las funcionessenoycosenoson:

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

y

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

que son ambas verdaderas para todos los valores deθ.

Por ejemplo, para resolver el valor deθque satisface la ecuación:

$3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$

dondeθse limita a entre 0 y 45 grados, se puede utilizar la identidad anterior para el producto para dar:

${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$

dando la siguiente solución para 'θ:

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$

Como la función seno es unafunción periódica,hay infinitas soluciones si no hay restricciones enθ.En este ejemplo, restringirθpara que esté entre 0 y 45 grados restringiría la solución a un solo número.

Historia

Antigüedad

Ya en el sigloXVIa. C., losegipciosresolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que equivalían a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como lanotación algebraicano existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado «método de la falsa posición».

Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libroLos nueve capítulos sobre el arte matemático,en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El matemático griegoDiofanto de Alejandríapublicó suArithmeticaen el sigloIIItratando lasecuaciones de primerysegundo grado;fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honorecuaciones diofánticas.​

SiglosXV-XVI

En laEdad Moderna,el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el sigloXVestaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fueNiccolò Fontana Tartaglia,expertoalgebrista.

Hacia mediados del sigloXVIlos matemáticos italianosGirolamo CardanoyRafael Bombellidescubrieron que para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, el uso de losnúmeros imaginariosera indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.

En el mismo siglo, el matemático francésRené Descartespopularizó lanotación algebraica moderna,en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto,a,b,c,…y las variables o incógnitas por las últimas,x,y,z.

En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que solo han sido resueltos actualmente, algunos recientemente; entre ellos elúltimo teorema de Fermat,uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 porAndrew WilesyRichard Taylor.

SiglosXVII-XVIII

En el sigloXVII,Isaac NewtonyGottfried Leibnizpublicaron los primeros métodos de resolución de lasecuaciones diferencialesque aparecen en los problemas de ladinámica.Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fueSobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado,deGabriele Manfredi(1707). Durante el sigloXVIII,matemáticos ilustres comoLeonhard Euler,Daniel Bernoulli,Joseph-Louis LagrangeyPierre Simon Laplacepublicaron resultados sobreecuaciones diferenciales ordinariasyecuaciones en derivadas parciales.

Época moderna

A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; solo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del sigloXIX,Niels Henrik Abeldemostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular, mostró que no existe una fórmula general para resolver laecuación de quinto grado;acto seguidoÉvariste Galoisdemostró, utilizando suteoría de grupos,que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.

Durante el sigloXIX,las ciencias físicas utilizaron, en su formulación, ecuaciones diferenciales enderivadas parcialesy/oecuaciones integrales,como es el caso de laelectrodinámicadeJames Clerk Maxwell,lamecánica hamiltonianao lamecánica de fluidos.El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, lafísica matemática.

Ya en el sigloXX,la física matemática siguió ampliando su campo de acción;Erwin Schrödinger,Wolfgang Ernst PauliyPaul Diracformularon ecuaciones diferenciales con funciones complejas para lamecánica cuántica.Albert Einsteinutilizóecuaciones tensorialespara suRelatividad General.Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación enteoría económica.

Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizarmétodos numéricospara encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usandoalgoritmos numéricos.

Definición

Dada una funciónf:A→By unbenB,es decir, un elemento delcodominiodef.

Laigualdad $f(x)=b\,$es unaecuación.

Un ejemplo de ecuación es el siguiente, tomando

${\begin{array}{ccl}f:&\mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\longmapsto &y\quad \longrightarrow \quad 3x-2=1\end{array}}$

se tiene la ecuación con variablenatural

$3x-2=1.$

El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjuntoAson funciones y la aplicaciónfdebe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.

La definición que se ha dado incluye las igualdades de la formag(x) =h(x).Si «+» denota la suma de funciones, entonces(B, +)es ungrupo.Basta definir la aplicaciónf(x) =g(x) + ( –h(x) ),con–hel inverso dehcon respecto a la suma, para transformar la igualdad en una ecuaciónf(x) = 0conb= 0.

Conjunto de soluciones

Dada la ecuaciónf(x) =b,el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado porS =f^–1(b),dondef^–1es laimagen inversadef.SiSes el conjunto vacío, la ecuación no es soluble; si tiene solo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y siSposee más de un elemento, todos ellos serán soluciones de la ecuación.

En la teoría deecuaciones diferenciales,no se trata solo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y si esta es única. Uno de los métodos más corrientes para probar que existe una solución, consiste en aprovechar que el conjuntoAtiene algunatopología.No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si estos sistemas tienen solución. No obstante, el álgebra carece de recursos para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución, hay que recurrir al análisis complejo​ y, por lo tanto, a la topología.

Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en lossistemas de ecuaciones lineales,en donde es posible caracterizar el conjunto solución a través delTeorema de Rouché-Frobenius.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definir y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están y precisos son

• Ecuaciones algebraicas
  • De primer gradoolineales
  • De segundo gradoocuadráticas
  • De tercer gradoocúbicas
  • Diofánticaso difantinas
  • Racionales,aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente depolinomios
• Ecuaciones trascendentes,cuando involucran funciones no polinómicas, como lasfunciones trigonométricas,exponenciales,logarítmicas,etc.
• Ecuaciones diferenciales
  • Ordinarias
  • En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
• Ecuaciones funcionales

Unaecuación diofánticaes aquella cuya solución solo puede ser un número entero, es decir, en este casoA ⊆ℤ.

Unaecuación funcionales aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algúnoperador diferencialse llamaecuación diferencial.

CuandoAes un cuerpo yfun polinomio, se tiene unaecuación algebraicapolinómica.

En unsistema de ecuaciones lineales,el conjuntoAes un conjunto de vectores reales y la funciónfes unoperador lineal.

Propiedades

Dos ecuaciones o sistemas de ecuaciones sonequivalentessi tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes operaciones transforman una ecuación o un sistema de ecuaciones en uno equivalente, siempre que las operaciones tengan sentido para las expresiones a las que se aplican:

• Sumarorestarla misma cantidad a ambos lados de una ecuación. Esto demuestra que toda ecuación es equivalente a una ecuación en la que el lado derecho es cero.
• Multiplicarodividirambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero.
• Aplicar unaidentidadpara transformar un lado de la ecuación. Por ejemplo,expansiónde un producto ofactorizaciónde una suma.
• Para un sistema: añadir a ambos lados de una ecuación el lado correspondiente de otra ecuación, multiplicado por la misma cantidad.

Si se aplica algunafuncióna ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las soluciones de la ecuación inicial entre sus soluciones, pero puede tener más soluciones llamadassolución extraña.Por ejemplo, la ecuación$x=1$tiene la solución$x=1.$Si se elevan ambos lados al exponente 2 (lo que significa aplicar la función$f(s)=s^{2}$a ambos lados de la ecuación), la ecuación cambia a$x^{2}=1$,que no sólo tiene la solución anterior, sino que introduce la solución extraña,$x=-1.$Además, si la función no está definida en algunos valores (como 1/x,que no está definida parax= 0), las soluciones existentes en esos valores pueden perderse. Por tanto, hay que tener cuidado al aplicar una transformación de este tipo a una ecuación.

Las transformaciones anteriores son la base de la mayoría de los métodos elementales deresolución de ecuaciones,así como de algunos menos elementales, como laeliminación gaussiana.

Elaxiomafundamental de las ecuaciones es:

Toda ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.

Se consideranoperaciones elementalesaquellas que preservan unaigualdad matemática.Ejemplos sencillos de operaciones elementales son la suma, la multiplicación y sus inversas respectivas, resta y división. Esto implica:

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

$a=b\Rightarrow a+c=b+c$

• Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

$a=b\Rightarrow ac=bc$

• Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad no nula, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

$\forall c\neq 0\quad a=b\Rightarrow {\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}$

Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:

• Simplificar factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación que contienen variables. Esta operación debe aplicarse con cuidado, porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuacióny·x=xtiene dos soluciones:y= 1yx= 0.Si se dividen ambos lados entrexpara simplificarla se obtiene la ecuacióny= 1,pero la segunda solución se ha perdido.
• Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede tener un conjunto de soluciones más grande que el original.

En general, si se aplicanfunciones inyectivasa ambos miembros, la igualdad subsiste.

Además, una igualdad es unarelación de equivalencia,​ con lo cual se cumplen las siguientes propiedades.

• Propiedad reflexiva:a=a.

Ejemplos:14 = 14,x+ 8 =x+ 8

• Propiedad simétrica: Sia=b,entoncesb=a.

Ejemplos: Six= 5,entonces5 =x.Siy= 2 +x,entonces2 +x=y.

• Propiedad transitiva: Sia=b,yb=c,entoncesa=c.

Ejemplos: Six=a,ya= 8b,entoncesx= 8b.Sixy= 8z,y8z= 32,entoncesxy= 32.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuaciónes encontrar sudominio solución,que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple.

Por lo general, losproblemas matemáticospueden expresarse en forma de una o más ecuaciones;^{[cita requerida]}sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o inclusoinfinitosvalores, siendo cada uno de ellos una soluciónparticularde la ecuación.

Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad unaidentidad.​

Ecuaciones algebraicas

Unaecuación algebraicaes aquella que contiene soloexpresiones algebraicas,comopolinomios,expresiones racionales,radicalesy otras. Por ejemplo:

$x^{3}y+4x-y=5-2xy$

Definición

Se llamaecuación algebraicacon una incógnita la ecuación que se reduce a lo que sigue:

$\alpha _{0}x^{n}+\alpha _{1}x^{n-1}+\alpha _{2}x^{n-2}+\cdots +\alpha _{n-1}x+\alpha _{n}=0$

dondenes un número entero positivo;α₀,α₁,α₂,...,α_{n– 1},α_nse denominancoeficientesoparámetrosde la ecuación y se toman dados;xse nombraincógnitay se busca su valor. El númeronpositivo se llamagradode la ecuación​ Para definir un número algebraico, se consideran números racionales como coeficientes.

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominadaforma canónicade la ecuación. Frecuentemente suelen estudiarse las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando2xyy restando5en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

$x^{3}y+2xy+4x-y-5=0$

Grado

Se denominagradode una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

$2x^{3}-5x^{2}+4x+9=0$

Es una ecuación de tercer grado porque la variablexse encuentra elevadaal cuboen el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de gradonde una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuandon< 5(ya que en esos casos elgrupo de Galoisasociado a las raíces de la ecuación essoluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglosXVyXVI,y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede obtenerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de lafunción theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letrax) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

$ax+b=0$

dondeaybestán en un conjunto numérico (ℚ,ℝ) conadiferente de cero.

Su solución es sencilla:$x=-{\tfrac {b}{a}}$.Exige la resolución, la existencia deinversos multiplicativos.

Ecuación de segundo grado

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica:

$ax^{2}+bx+c=0$

Dondeaes el coeficiente deltérmino cuadrático(aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2),bes el coeficiente deltérmino lineal(el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1) yces eltérmino independiente(el que no depende de la variable, o sea que está compuesto solo por constantes o números).

Cuando esta ecuación se plantea sobreℂ,siempre se tienen dos soluciones, calculándose con elmétodo de Euler:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números realesℝse requiere queb²≥ 4acy para que tenga soluciones sobre los números racionalesℚse requiereb²– 4acsea el cuadrado de algún número entero.

Ecuaciones polinómicas

Lassoluciones-1 y 2 de laecuación polinómicax²-x+ 2 = 0son los puntos donde lagráficade lafunción cuadráticay=x²-x+ 2corta el eje de lasx.

En general, unaecuación algebraicaoecuación polinómicaes una ecuación de la forma:

$P=0$,o

$P=Q$​

dondePyQsonpolinomioscon coeficientes en algún campo (por ejemplo,números racionales,números reales,números complejos). Una ecuación algebraica esunivariantesi implica una solavariable.Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables, en cuyo caso se llamamultivariante(variables múltiples, x, y, z, etc.). El términoecuación polinómicasuele preferirse aecuación algebraica.

$x^{5}-3x+1=0$

es una ecuación algebraica univariante (polinómica) con coeficientes enteros y

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

es una ecuación polinómica multivariante sobre los números racionales.

Algunas (pero no todas) ecuaciones polinómicas concoeficientes racionalestienen una solución que es unaexpresión algebraica,con un número finito de operaciones que implican sólo esos coeficientes (es decir, puede serresuelta algebraicamente). Esto puede hacerse para todas esas ecuaciones degradouno, dos, tres o cuatro; pero para las ecuaciones de grado cinco o más, puede resolverse para algunas ecuaciones pero, como demuestra elteorema de Abel-Ruffini,no para todas.

Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular de forma eficiente aproximaciones precisas de las soluciones derealocomplejode una ecuación algebraica univariante (véaseResolución numérica de ecuaciones no lineales) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariantes (véaseSistema de ecuaciones algebraicas).

Ecuaciones diferenciales e integrales

UnAtractor,que surge al resolver una determinadaecuación diferencial

Unaecuación diferenciales una ecuaciónmatemáticaque relaciona algunafuncióncon susderivadas.En las aplicaciones, las funciones suelen representar cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre ambas. Debido a que tales relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un papel prominente en muchas disciplinas, incluyendo lafísica,laingeniería,laeconomíay labiología.

Enmatemáticas puras,las ecuaciones diferenciales se estudian desde varios puntos de vista, sobre todo en relación con sus soluciones, el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin encontrar su forma exacta.

Si no se dispone de una fórmula autocontenida para la solución, ésta puede aproximarse numéricamente mediante ordenadores. La teoría de lossistemas dinámicoshace hincapié en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que se han desarrollado muchosmétodos numéricospara determinar las soluciones con un determinado grado de precisión.

Tanto en matemáticas como en física y otras ciencias aplicadas, frecuentemente se usan ecuaciones no algebraicas, donde las incógnitas no son simplemente valores numéricos sino funciones. Por ejemplo, la trayectoria$\scriptstyle \mathbf {r} (t)$de una partícula ligera en el campo gravitatorio de una estrella puede hallarse de manera aproximada gracias a buscar la solución de una ecuación diferencial del tipo:

${\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{d}}t^{2}}}=-{\frac {GM}{\|\mathbf {r} (t)\|^{3}}}\mathbf {r} (t)$

Donde$\scriptstyle \mathbf {r} (t)$es el vector de posición de la partícula tomando el origen de coordenadas en la estrella,Mes la masa del sol yGlaconstante de la gravitación universal.

En las ecuaciones, el conjunto de soluciones forman un ciertoespacio de funciones,tales que todas ellas satisfacen la ecuación. Si el conjunto de soluciones se puede especificar por un número finito de condiciones iniciales, entonces ese espacio es localmente una variedad diferenciable de dimensión finita, cosa que sucede frecuentemente con las ecuaciones diferenciales ordinarias. En las ecuaciones en derivadas parciales frecuentemente el conjunto de soluciones posibles con diferentes condiciones de contorno pueden formar un espacio de dimensión no finita.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial ordinaria oEDO'es una ecuación que contiene una función de unavariable independientey sus derivadas. El términoordinariase utiliza en contraste con el términoecuación diferencial parcial,que puede ser con respecto amás deuna variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, que tienen soluciones que se pueden sumar y multiplicar por coeficientes, están bien definidas y se entienden, y se obtienen soluciones exactas de forma cerrada. Por el contrario, las EDO que carecen de soluciones aditivas son no lineales, y su resolución es mucho más complicada, ya que rara vez se pueden representar mediantefunciones elementalesde forma cerrada: En cambio, las soluciones exactas y analíticas de las EDOs están en forma de serie o integral. Los métodos gráficos ynuméricos,aplicados a mano o por ordenador, pueden aproximar las soluciones de las EDOs y tal vez proporcionar información útil, a menudo suficiente en ausencia de soluciones exactas y analíticas.

Ecuaciones en derivadas parciales

Una Ecuación en derivadas parciales (EDP) es unaecuación diferencialque contiene funciones desconocidasmultivariablesy susderivadas parciales.(Esto contrasta con lasecuaciones diferenciales ordinarias,que tratan con funciones de una sola variable y sus derivadas). Las EDP se utilizan para formular problemas que implican funciones de varias variables, y se resuelven a mano o se utilizan para crear unmodelo informáticopertinente.

Las EDP pueden utilizarse para describir una amplia variedad de fenómenos como elsonido,elcalor,laelectrostática,laelectrodinámica,elflujo de fluidos,laelasticidado lamecánica cuántica.Estos fenómenos físicos aparentemente distintos pueden formalizarse de forma similar en términos de EDP. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen modelarsistemas dinámicosunidimensionales, las ecuaciones diferenciales parciales suelen modelarsistemas multidimensionales.Las EDP encuentran su generalización en lasecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

Las ecuaciones en la geometría

Geometría analítica

Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono de revolución.

En lageometría euclidiana,es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto del espacio, por ejemplo mediante una cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar las figuras geométricas mediante ecuaciones. Un plano en un espacio tridimensional puede expresarse como el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma$ax+by+cz+d=0$,donde$a,b,c$y$d$son números reales y$x,y,z$son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto del sistema dado por la retícula ortogonal. Los valores$a,b,c$son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una recta se expresa como la intersección de dos planos, es decir, como el conjunto de soluciones de una única ecuación lineal con valores en$\mathbb {R} ^{2}$o como el conjunto de soluciones de dos ecuaciones lineales con valores en$\mathbb {R} ^{3}.$

Unasección cónicaes la intersección de unconocon ecuación$x^{2}+y^{2}=z^{2}$y un plano. En otras palabras, en el espacio todas las cónicas se definen como el conjunto de soluciones de una ecuación de un plano y de la ecuación de un cono recién dado. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los focos de una cónica.

El uso de las ecuaciones permite recurrir a un amplio campo de las matemáticas para resolver cuestiones geométricas. El sistema decoordenadas cartesianastransforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez que las figuras se transforman en ecuaciones; de ahí el nombre degeometría analítica.Este punto de vista, esbozado porDescartes,enriquece y modifica el tipo de geometría concebido por los antiguos matemáticos griegos.

Actualmente, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque sigue utilizando las ecuaciones para caracterizar las figuras, también emplea otras técnicas sofisticadas como elanálisis funcionaly elálgebra lineal.

Ecuaciones cartesianas

Unsistema de coordenadas cartesianases unsistema de coordenadasque especifica cadapuntode forma única en unplanopor un par denuméricoocoordenadas,que son las distancias desde el punto a dos líneas fijasperpendicularesdirigidas, que se marcan usando la mismaunidad de longitud.

Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en elespaciode tres dimensiones mediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, equivalentemente, mediante su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares).

Sistema de coordenadas cartesianas con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es(x−a)²+ (y−b)²=r²dondeaybson las coordenadas del centro(a,b)yres el radio.

La invención de las coordenadas cartesianas en el sigloXVIIporRené Descartes(nombre latinizado:Cartesius) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre lageometría euclidianay elálgebra.Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como lascurvas) pueden describirse medianteecuaciones cartesianas:ecuaciones algebraicas que implican las coordenadas de los puntos situados en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrado en un punto particular llamado el origen, puede ser descrito como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadasxeysatisfacen la ecuaciónx²+y²= 4.

Ecuaciones paramétricas

Unaecuación paramétricapara unacurvaexpresa lascoordenadasde los puntos de la curva como funciones de unavariable,llamadaparámetro.​​

${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

son ecuaciones paramétricas para elcírculo unitario,dondetes el parámetro. En conjunto, estas ecuaciones se llaman unarepresentación paramétricade la curva.

La noción deecuación paramétricase ha generalizado asuperficies,variedadesyvariedades algebraicasde mayordimensión,siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad, y el número de ecuaciones es igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad (para las curvas la dimensión esunoy se utilizaunparámetro, para las superficies la dimensión esdosydosparámetros, etc.).

Ejemplos de ecuaciones

• Ecuaciones de (James Clerk) Maxwell
• Ecuaciones de (Claude-Louis) Navier-(George Gabriel) Stokes
• Ecuación de onda
• Ecuación de (Erwin) Schrödinger​

Véase también

• Ecuaciones algebraicas
  • Ecuación lineal (de primer grado)
  • Ecuación de segundo grado
  • Ecuación de tercer grado
  • Ecuación de cuarto grado
  • Ecuación de quinto grado
  • Ecuación diofántica
  • Sistema de ecuaciones
• Ecuación química

Enlaces externos

• Wikiquotealberga frases célebres de o sobreEcuación.
• La ecuación de primer grado, en descartes.cnice.mec.es

• Datos:Q11345
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• Citas célebres:Ecuación