Gas ideal

Ungas ideales ungas teóricocompuesto de un conjunto departículas puntualescon desplazamiento aleatorio, que no interactúan entre sí. El concepto de gas ideal es útil porque el mismo se comporta según laley de los gases ideales,unaecuación de estadosimplificada, y que puede ser analizada mediante lamecánica estadística.

En condiciones normales tales comocondiciones normales de presión y temperatura,la mayoría de losgases realesse comporta en forma cualitativa como un gas ideal. Muchos gases tales como elnitrógeno,oxígeno,hidrógeno,gases nobles,y algunos gases pesados tales como eldióxido de carbonopueden ser tratados como gases ideales dentro de una tolerancia razonable.^[1] Generalmente, el alejamiento de las condiciones de gas ideal tiende a ser menor a mayorestemperaturasy a menordensidad(o sea a menorpresión),^[1] ya que eltrabajorealizado por lasfuerzas intermoleculareses menos importante comparado conenergía cinéticade las partículas, y el tamaño de las moléculas es menos importante comparado con el espacio vacío entre ellas.

El modelo de gas ideal tiende a fallar a temperaturas menores o a presiones elevadas, donde las fuerzas intermoleculares y el tamaño intermolecular son importantes. También por lo general, el modelo de gas ideal no es apropiado para la mayoría de los gases pesados, tales comovapor de aguao muchos fluidosrefrigerantes.^[1] A ciertas temperaturas bajas y a alta presión, los gases reales sufren unatransición de fase,tales como a unlíquidoo a unsólido.El modelo de un gas ideal, sin embargo, no describe o permite las transiciones de fase. Estos fenómenos deben ser modelados porecuaciones de estadomás complejas.

El modelo de gas ideal ha sido investigado tanto en el ámbito de ladinámica newtoniana(como por ejemplo en "teoría cinética") y enmecánica cuántica(como "partícula en una caja"). El modelo de gas ideal también ha sido utilizado para modelar el comportamiento de electrones dentro de unmetal(en elModelo de Drudey en elmodelo de electrón libre), y es uno de los modelos más importantes utilizados en lamecánica estadística.

Si se reduce la presión de un gas ideal en unproceso de estrangulamiento,la temperatura del gas no cambia. Si se reduce la presión de un gas real en un proceso de estrangulamiento, su temperatura disminuye o aumenta, dependiendo de si su coeficiente correspondiente alEfecto Joule Thomsones positivo o negativo.

Tipos de gases ideales[editar]

Existen tres clases básicas de gas ideal:

El clásico o gas ideal deMaxwell-Boltzmann
El gas ideal cuántico deBose,compuesto debosones
El gas ideal cuántico deFermi,compuesto defermiones

El gas ideal clásico puede ser clasificado en dos tipos: el gas ideal termodinámico clásico y el gas ideal cuántico de Boltzmann. Ambos son esencialmente el mismo, excepto que el gas ideal termodinámico está basado en lamecánica estadísticaclásica, y ciertos parámetros termodinámicos tales como laentropíason especificados a menos de una constante aditiva. El gas ideal cuántico de Boltzmann salva esta limitación al tomar el límite del gas cuántico de Bose gas y el gas cuántico de Fermi gas a altas temperaturas para especificar las constantes aditivas. El comportamiento de un gas cuántico de Boltzmann es el mismo que el de un gas ideal clásico excepto en cuanto a la especificación de estas constantes. Los resultados del gas cuántico de Boltzmann son utilizados en varios casos incluidos laecuación de Sackur-Tetrodede la entropía de un gas ideal y laecuación de ionización de Sahapara unplasmaionizado débil.

Gas ideal termodinámico clásico[editar]

Las propiedades termodinámicas de un gas ideal pueden ser descritas por dos ecuaciones:^[2]^[3]

Laecuación de estadode un gas ideal clásico que es laley de los gases ideales

pV=nRT\,

y laenergía internaa volumen constante de un gas ideal que queda determinada por la expresión: $U={\hat {c}}_{V}nRT$

Las magnitudes que aparecen en las ecuaciones son:


Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
$U$	Energía internadel sistema		J
$p$	Presión		Pa
$V$	Volumen		m³
${\hat {c}}_{V}$	Calor específico adimensionala volumen constante
$n$	Cantidad de sustanciade un gas		mol
$R$	Constante de los gases	8.314	J·K⁻¹mol^-1
$T$	Temperatura absoluta		K

${\hat {c}}_{V}$ ≈ 3/2 para ungas monoatómico,5/2 para un gasdiatómicoy 3 para moléculas más complejas.

La cantidad de gas enJ·K⁻¹es $nR=Nk_{B}$ donde

Nes elnúmero de partículasde gas.
$k_{B}$ es laconstante de Boltzmann(1.381×10⁻²³J·K⁻¹).

Ladistribución de probabilidadde las partículas por velocidad o energía queda determinada por ladistribución de Boltzmann.

Energía interna[editar]

La otra ecuación de estado de un gas ideal debe expresarSegunda ley de Joule,que la energía interna de una masa fija de gas ideal es función sólo de su temperatura, con $U=U(n,T)$ .Para los propósitos presentes es conveniente postular una versión ejemplar de esta ley escribiendo:

U={\hat {c}}_{V}nRT

donde

$U$ es laenergía interna
$ĉ V$ es lacapacidad caloríficaespecífica adimensional a volumen constante, aproximadamente3/2para ungas monatómico,5/2para ungas diatómico,y 3 para moléculas no lineales si tratamos las traslaciones y rotaciones de forma clásica e ignoramos la contribución vibracional cuántica y la excitación electrónica. Estas fórmulas surgen de la aplicación delteorema de equiparticiónclásico a los grados de libertad traslacional y rotacional.^[4]

Que $U$ para un gas ideal dependa sólo de la temperatura es una consecuencia de la ley de los gases ideales, aunque en el caso general $ĉ V$ depende de la temperatura y se necesita una integral para calcular $U$ .

Modelo microscópico[editar]

Para pasar de cantidades macroscópicas (lado izquierdo de la siguiente ecuación) a microscópicas (lado derecho), utilizamos $nR=Nk_{\mathrm {B} }$ donde $N$ es el número de partículas de gas $k_{\mathrm {B} }$ es laconstante de Boltzmann(1.381×10⁻²³J·K⁻¹).

La distribución de probabilidad de las partículas por velocidad o energía viene dada por ladistribución de Maxwell-Boltzmann.

El modelo de gas ideal depende de las siguientes suposiciones:

Las moléculas del gas son esferas indistinguibles, pequeñas y duras.
Todas las colisiones son elásticas y todo el movimiento es sin fricción (no hay pérdida de energía en movimiento o colisión)
Se aplican las leyes de Newton
La distancia media entre moléculas es mucho mayor que el tamaño de las moléculas.
Las moléculas se mueven constantemente en direcciones aleatorias con una distribución de velocidades.
No hay fuerzas de atracción o repulsión entre las moléculas, aparte de las que determinan sus colisiones puntuales.
Las únicas fuerzas entre las moléculas del gas y el entorno son las que determinan las colisiones puntuales de las moléculas con las paredes.
En el caso más sencillo, no existen fuerzas de largo alcance entre las moléculas del gas y el entorno.

La suposición de partículas esféricas es necesaria para que no haya modos rotacionales permitidos, a diferencia de lo que ocurre en un gas diatómico. Los tres supuestos siguientes están muy relacionados: las moléculas son duras, las colisiones son elásticas y no existen fuerzas intermoleculares. La suposición de que el espacio entre partículas es mucho mayor que las propias partículas es de suma importancia, y explica por qué la aproximación del gas ideal falla a altas presiones.

Calor específico[editar]

Elcalor específicoa volumen constante denR= 1 J·K⁻¹de todo gas, inclusive el gas ideal es:

\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\hat {c}}_{V}.

Este es un calor específico adimensional a volumen constante, el cual por lo general depende de la temperatura. Para temperaturas moderadas, la constante para un gas monoatómico es ${\hat {c}}_{V}=3/2$ mientras que para un gas diatómico es ${\hat {c}}_{V}=5/2$ .Las mediciones macroscópicas del calor específico permiten obtener información sobre la estructura microscópica de las moléculas.

El calor específico a presión constante de 1 J·K⁻¹gas ideal es:

{\hat {c}}_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}={\hat {c}}_{V}+1

donde $H=U+pV$ es laentalpíadel gas.

Entropía[editar]

Utilizando únicamente los resultados de latermodinámica,se puede llegar muy lejos en la determinación de la expresión de laentropíade un gas ideal. Este es un paso importante ya que, según la teoría delpotencial termodinámico,si se puede expresar la entropía en función de $U$ ( $U$ es un potencial termodinámico), el volumen $V$ y el número de partículas $N$ ,entonces se tendrá un enunciado completo del comportamiento termodinámico del gas ideal. Se puede deducir de él tanto la ley del gas ideal como la expresión de la energía interna.

Puesto que la entropía es undiferencial exacto,utilizando laregla de la cadena,el cambio en la entropía al pasar de un estado de referencia 0 a algún otro estado con entropía $S$ puede escribirse como $Δ S$ donde:

\Delta S=\int _{S_{0}}^{S}dS=\int _{T_{0}}^{T}\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\!dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\!dV

donde las variables de referencia pueden ser funciones delnúmero de partículas $N$ .Utilizando la definición de lacapacidad caloríficaa volumen constante para la primera diferencial y larelación de Maxwellapropiada para la segunda se tiene:

\Delta S=\int _{T_{0}}^{T}{\frac {C_{V}}{T}}\,dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}dV.

Expresando $C V$ en términos de $ĉ V$ como se desarrolló en la sección anterior, diferenciando la ecuación de estado del gas ideal, e integrando los resultados:

\Delta S={\hat {c}}_{V}Nk\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)+Nk\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)

lo que implica que la entropía puede expresarse como:

S=Nk\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{f(N)}}\right)

donde todas las constantes se han incorporado al logaritmo como $f (N)$ que es alguna función del número de partículas $N$ que tiene las mismas dimensiones que $VT ĉ V$ para que el argumento del logaritmo sea adimensional. Ahora imponemos la restricción de que la entropía sea extensiva. Esto significará que cuando los parámetros extensivos ( $V$ y $N$ ) se multipliquen por una constante, la entropía se multiplicará por la misma constante. Matemáticamente:

S(T,aV,aN)=aS(T,V,N).

A partir de esto encontramos una ecuación para la función $f (N)$

af(N)=f(aN).

Diferenciando esto con respecto a $a$ ,estableciendo $a$ igual a 1, y luego resolviendo la ecuación diferencial se obtiene $f (N)$ :

f(N)=\Phi N

donde $Φ$ puede variar para diferentes gases, pero será independiente del estado termodinámico del gas. Tendrá las dimensiones de $VT ĉ V / N$ .Sustituyendo en la ecuación para la entropía:

{\frac {S}{Nk}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right).

y utilizando la expresión para la energía interna de un gas ideal, se puede escribir la entropía:

{\frac {S}{Nk}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\,\left({\frac {U}{{\hat {c}}_{V}kN}}\right)^{{\hat {c}}_{V}}\,{\frac {1}{\Phi }}\right]

Puesto que ésta es una expresión para la entropía en términos de $U$ , $V$ ,y $N$ ,es una ecuación fundamental de la que se pueden derivar todas las demás propiedades del gas ideal.

Esto es lo más lejos que podemos llegar utilizando sólo la termodinámica. Nótese que la ecuación anterior es errónea - a medida que la temperatura se aproxima a cero, la entropía se aproxima a infinito negativo, en contradicción con latercera ley de la termodinámica.En el desarrollo "ideal" anterior, hay un punto crítico, no en el cero absoluto, en el que el argumento del logaritmo se convierte en la unidad, y la entropía se hace cero. Esto no es físico. La ecuación anterior es una buena aproximación sólo cuando el argumento del logaritmo es mucho mayor que la unidad - el concepto de un gas ideal se rompe a valores bajos de $V / N$ .No obstante, habrá un "mejor" valor de la constante en el sentido de que la entropía predicha sea lo más cercana posible a la entropía real, dada la suposición errónea de idealidad. Una derivación cuántico-mecánica de esta constante se desarrolla en la derivación de laecuación de Sackur-Tetrodeque expresa la entropía de un gas ideal monatómico ( $ĉ V = 3 / 2$ ). En la teoría de Sackur-Tetrode la constante sólo depende de la masa de la partícula de gas. La ecuación de Sackur-Tetrode también sufre de una entropía divergente en el cero absoluto, pero es una buena aproximación para la entropía de un gas ideal monatómico para temperaturas suficientemente altas.

Una forma alternativa de expresar el cambio de entropía:

${\frac {\Delta S}{Nk{\hat {c}}_{V}}}=\ln \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)+\gamma \ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)=\ln \left({\frac {PV^{\gamma }}{P_{0}V_{0}^{\gamma }}}\right)\implies PV^{\gamma }=\mathrm {const.} \;{\text{Para procesos isentrópicos}}$

Potenciales termodinámicos[editar]

Artículo principal:Potencial termodinámico

Expresando la entropía en función de T, V y N:

{\frac {S}{kN}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right)

Elpotencial químicodel gas ideal se calcula a partir de la correspondiente ecuación de estado (ver potencial termodinámico):

\mu =\left({\frac {\partial G}{\partial N}}\right)_{T,P}

donde G es la energía libre de Gibbs y es igual a U + PV - TS de forma que:

\mu (T,P)=kT\left({\hat {c}}_{P}-\ln \left({\frac {kT^{{\hat {c}}_{P}}}{P\Phi }}\right)\right)

El potencial químico se suele referenciar al potencial a alguna presión estándar Po de modo que, con μ o ( T ) = μ ( T, P o ) {\displaystyle \mu ^{o}(T)=\mu (T,P^{o})}:

\mu (T,P)=\mu ^{o}(T)+kT\ln \left({\frac {P}{Po}}\right)

Para una mezcla (j=1,2,...) de gases ideales, cada uno a presión parcial Pj, puede demostrarse que el potencial químico μj vendrá dado por la expresión anterior con la presión P sustituida por Pj.

Los potenciales termodinámicos para un gas ideal pueden escribirse ahora como funciones de T, V, y N como:

$U\,$		$={\hat {c}}_{V}NkT\,$
$A\,$	$=U-TS\,$	$=\mu N-NkT\,$
$H\,$	$=U+PV\,$	$={\hat {c}}_{P}NkT\,$
$G\,$	$=U+PV-TS\,$	$=\mu N\,$

donde, como antes,

{\hat {c}}_{P}={\hat {c}}_{V}+1

.

La forma más informativa de escribir los potenciales es en términos de sus variables naturales, ya que cada una de estas ecuaciones se puede utilizar para derivar todas las demás variables termodinámicas del sistema. En términos de sus variables naturales, los potenciales termodinámicos de un gas ideal monoespecífico son:

U(S,V,N)={\hat {c}}_{V}Nk\left({\frac {N\Phi }{V}}\,e^{S/Nk}\right)^{1/{\hat {c}}_{V}}

A(T,V,N)=NkT\left({\hat {c}}_{V}-\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right)\right)

H(S,P,N)={\hat {c}}_{P}Nk\left({\frac {P\Phi }{k}}\,e^{S/Nk}\right)^{1/{\hat {c}}_{P}}

G(T,P,N)=NkT\left({\hat {c}}_{P}-\ln \left({\frac {kT^{{\hat {c}}_{P}}}{P\Phi }}\right)\right)

En mecánica estadística, la relación entre la energía libre de Helmholtz y la función de partición es fundamental, y se utiliza para calcular las propiedades termodinámicas de la materia; véase integral de configuración para más detalles.

Velocidad del sonido en un gas ideal[editar]

La velocidad del sonido en un gas ideal viene dada por la fórmula de Newton-Laplace:

c_{\text{sound}}={\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}},

donde el módulo de Bulk isentrópico $K_{s}=\rho \left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}.$

Para un proceso isentrópico de un gas ideal, $PV^{\gamma }=\mathrm {const} \Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma }$ ,por lo tanto

c_{\text{sound}}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}}={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}

en donde:

γ es el índice adiabático ( $ĉ P / ĉ V$ )
s es la entropía por partícula del gas.
ρ es la densidad de masa del gas.
P es la presión del gas.
R es la constante universal de los gases
T es la temperatura
M es la masa molar del gas.

Gases cuánticos ideales[editar]

En la mencionadaecuación de Sackur-Tetrode,la mejor elección de la constante de entropía resultó ser proporcional a lalongitud de onda térmicacuántica de una partícula, y el punto en el que el argumento del logaritmo se hace cero es aproximadamente igual al punto en el que la distancia media entre partículas se hace igual a la longitud de onda térmica. De hecho, la propia teoríacuánticapredice lo mismo. Cualquier gas se comporta como un gas ideal a una temperatura suficientemente alta y una densidad suficientemente baja, pero en el punto en el que la ecuación de Sackur-Tetrode empieza a fallar, el gas empezará a comportarse como un gas cuántico, compuesto porbosonesofermiones.

Los gases tienden a comportarse como un gas ideal en un rango más amplio de presiones cuando la temperatura alcanza latemperatura de Boyle.

Referencias[editar]

↑^a ^b ^cThermodynamics: An Engineering A654proach (Fourth Edition),ISBN 0-07-238332-1,Cengel, Yunus A.;Boles, Michael A., p.89
↑Adkins, C. J. (1983).Equilibrium Thermodynamics(3rd edición). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 116-120.ISBN 0-521-25445-0.
↑Tschoegl, N. W. (2000).Fundamentals of Equilibrium and Steady-State Thermodynamics.Amsterdam: Elsevier. p. 88.ISBN 0-444-50426-5.
↑Attard, Phil (2012).Termodinámica del no-equilibrio y mecánica estadística: fundamentos y aplicaciones.Oxford University Press.ISBN 9780191639760.OCLC 810281588.

Véase también[editar]

Datos:Q172280

[boles-1] Thermodynamics: An Engineering A654proach (Fourth Edition),ISBN 0-07-238332-1,Cengel, Yunus A.;Boles, Michael A., p.89

[2] Adkins, C. J. (1983).Equilibrium Thermodynamics(3rd edición). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 116-120.ISBN 0-521-25445-0.

[3] Tschoegl, N. W. (2000).Fundamentals of Equilibrium and Steady-State Thermodynamics.Amsterdam: Elsevier. p. 88.ISBN 0-444-50426-5.

[4] Attard, Phil (2012).Termodinámica del no-equilibrio y mecánica estadística: fundamentos y aplicaciones.Oxford University Press.ISBN 9780191639760.OCLC 810281588.

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