Logicismo

Enfilosofía de las matemáticas,ellogicismoes la doctrina que sostiene que lamatemáticaes en algún sentido importantereduciblea lalógica,^[1] o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocera priori,pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto esanalíticoy no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.

Rudolf Carnap(1931) presenta la tesis logicista en dos partes:^[2]

Losconceptosmatemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
Losteoremasde las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas

Bertrand RussellyAlfred North Whiteheadfueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada porGottlob Frege.El logicismo fue clave en el desarrollo de lafilosofía analíticaen el sigloXX,aunque a veces se alega que losteoremas de incompletitud de Gödelsocavan el propósito del proyecto, si bien sería más apropiado decir que socavan más directamente el proyectoformalista.

Historia

Antecedentes

La doctrina logicista tuvo su primer antecedente enGottfried Leibniz.^[1] Sin embargo, el primer intento serio y detallado de reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta el sigloXIX,cuandoRichard Dedekind,Georg CantoryGiuseppe Peanoarticularon los principios básicos de la matemática, yGottlob Fregedesarrolló el primer sistema delógica de predicados.^[1]

Frege

Gottlob Fregededicó gran parte de su carrera al proyecto logicista. Sus dos obras principales al respecto se titularonConceptografía(1879) yLos fundamentos de la aritmética(1884). EnLos fundamentos de la aritmética,Frege construyó aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamóLey básica V(para los conceptosFyG,la extensión deFes igual a la extensión deGsi y solo si para todos los objetosa,Faes igual aGa), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.

Sin embargo, a principios del sigloXX,Bertrand Russelldescubrió una inconsistencia grave en los principios de los que Frege había partido, hoy conocida como laparadoja de Russell.Esto desanimó a Frege, quien terminó abandonando el proyecto, pero fue continuado por Russell yWhitehead.^[3]

Principia Mathematica

Entre 1910 y 1913,Bertrand RussellyAlfred North WhiteheadpublicaronPrincipia Mathematica,un intento monumental de reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el proyecto logicista.^[4] Sin embargo, el sistema dePrincipia Mathematicatuvo sus propios problemas.^[4] En particular, dos de sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado elaxiomade infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos, fue criticado por parecer más una proposición empírica que unaverdad lógica.^[4] Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado por ser demasiadoad hoccomo para estar filosóficamente justificado.^[4]

Neo-logicismo

Se llamaneo-logicismoal intento de resucitar el proyecto logicista original, iniciado porCrispin Wrighten un trabajo de 1983.^[1] Wright observó que el proyecto original de Frege se puede dividir en dos partes.^[1] En la primera, Frege parte de un principio llamadoLey básica V,^[1] que dice:

\{x:Ax\}=\{x:Bx\}\leftrightarrow \forall x(Ax\leftrightarrow Bx)

Es decir: el conjunto de todos los A es idéntico al conjunto de todos los B si y sólo si todos los A son B, y todos los B son A. Partiendo de este principio, Frege derivó lo que hoy se conoce como elprincipio de Hume,^[1] que dice:

El número de los A es el mismo que el de los B si y sólo si los A pueden ser puestos encorrespondencia biunívocacon los B.

En la segunda parte, Frege procede a deducir los principios de laaritmética de Peanoa partir del principio de Hume, sin hacer más uso de la ley básica V.^[1] Wright sugiere que el principio de Hume, a diferencia de la ley básica V, es consistente, y que además se puede considerar como una ley lógica.^[1] Si todo esto es cierto, entonces la aritmética de Peano sí puede ser reducida a la lógica.^[1]

Véase también

Referencias

↑^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^jHorsten, Leon.«Philosophy of Mathematics».En Edward N. Zalta, ed.Stanford Encyclopedia of Philosophy(en inglés)(Fall 2008 Edition).
↑Carnap, Rudolf(1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik",Erkenntnis2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
↑Quezada, Wilfredo Quezada (2004).«Ficcionalismo matemático y si-entoncismo russelliano ¿dos caras de la misma moneda?».Revista de Filosofía Vol. 29 Núm. 2(University of Santiago, Chile).Consultado el 9 de julio de 2019.
↑^a ^b ^c ^dIrvine, A. D.«Principia Mathematica».En Edward N. Zalta, ed.Stanford Encyclopedia of Philosophy(en inglés)(Fall 2006 Edition).

Enlaces externos

Logicism

Datos:Q845691

[SEP_Philosophy_of_Mathematics-1] ↑^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^jHorsten, Leon.«Philosophy of Mathematics».En Edward N. Zalta, ed.Stanford Encyclopedia of Philosophy(en inglés)(Fall 2008 Edition).

[2] Carnap, Rudolf(1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik",Erkenntnis2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).

[3] Quezada, Wilfredo Quezada (2004).«Ficcionalismo matemático y si-entoncismo russelliano ¿dos caras de la misma moneda?».Revista de Filosofía Vol. 29 Núm. 2(University of Santiago, Chile).Consultado el 9 de julio de 2019.

[SEP_Principia_Mathematica-4] Irvine, A. D.«Principia Mathematica».En Edward N. Zalta, ed.Stanford Encyclopedia of Philosophy(en inglés)(Fall 2006 Edition).

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