Número negativo

Temperaturas negativas,'Termómetro marcando una temperatura positiva'. Si la temperatura a la que el agua se congela es 0 °C, las temperaturas más bajas se representan con números negativos y las más altas con positivos.

Unnúmero negativoes cualquiernúmerocuyo valor esmenorqueceroy, por tanto, que los demásnúmeros positivos,como 7, 49/22 o π. Se utilizan para representar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas. Los números negativos son una generalización útil de los números positivos, cuando una magnitud o cantidad puede variar incrementalmente por encima o por debajo de un punto de referencia, usualmente representado por el cero.

Se representan igual que los positivos, pero añadiendo unsignomenos«−» delante de ellos: −4, −2,5, −√8,etc. (estos números se leen: "menos cuatro", "menos dos coma cinco", "menos raíz de ocho", o "cuatro negativo", "dos coma cinco negativo", "raíz de ocho negativa", etc). A veces, se añade un signomás«+» a los números positivos para distinguirlos mejor: +3, +9/12,+⁴√22,etc. ( "más tres", "más nueve doceavos", “más raíz cuarta de veintidós”, o "tres positivo", "nueve doceavos positivo", “raíz cuarta de veintidós positiva”, etc).

Uno de los usos de los números negativos es representar pérdidas: si una persona en un año gana 20 000 pesos, pero gasta 25 000, al final del año ha perdido 25 000 − 20 000 = $5000; pero también puede decirse que sus ahorros han aumentado 20 000−25 000 = − $5000.

También se utilizan para representartemperaturasy otras magnitudes por debajo del cero. Cuando la temperatura es de 0 °C (cero grados Celsius) elaguasecongela.Si el ambiente se calienta, la temperatura crece, pero si se enfría aún más, desciende por debajo de cero: por ejemplo, elmercurio,unmetallíquido, se congela a 39 grados bajo cero, o sea a −39 °C (aproximadamente).

Los números negativos existen dentro de cualquiersistema numéricoque tenga estructura deanillototalmente ordenado.

Introducción

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones, por ejemplo:

$3-5=-2$

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como en el ejemplo de la introducción sobre ganancias y pérdidas:

Ejemplo:Una persona juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 200 euros y al día siguiente pierde 100, diremos que la personaganó en total200 − 100 = 100€. Sin embargo, si el primer día gana 50 y al siguiente pierde 200, se dice queperdió en total200 − 50 = 150 €. La expresión que usamos cambia en cada caso:ganó en totaloperdió en total,dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Podemos expresar estas dos posibilidades utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 200 − 100 = +100 € y en el segundo ganó en total 50 − 200 = −150 €. Entendemos así que una pérdida es unaganancia negativa.

Números con signo

Losnúmeros naturales1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan paracontar.Si les añadimos un signomenos«−» delante, obtenemos losnúmeros enterosnegativos:

Unnúmero entero negativoes un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signomenos«−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",...

De este modo, a todos los números positivos como losnúmeros racionalespositivos o losnúmeros realespositivos tienen su contrapartida negativa, anteponiendo el signo «−». Para distinguirlos mejor, en ocasiones se añade a los números positivos un signomás«+», enfatizando la diferencia con los negativos:

$+5,+2/3,+\pi,...$

En ausencia de signo, se entiende que un número es positivo. El cero puede escribirse con signomásomenosindistintamente, porque sumar o restar cero es igual a no hacer nada, y por lo general se deja sin signo.

La recta numérica

Los números negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender cómo están ordenados se utiliza larecta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto mayor es el número tras el signo «−». A este número se le llama elvalor absoluto:

Elvalor absolutode un número es el número (positivo) que resulta de quitarle el signo, «+» o «−». El valor absoluto de ±0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales "| |".

Ejemplo.$|+5|=5,|-2.7|=2.7,|+0|=|-0|=0$

Ahora puede entenderse como están ordenados los números negativos:

Paracomparardos números distintos con signo: Si tienen distintos signos, el que tiene el signomenos«−» es menor que el que tenga el signomás«+». Si tienen el mismo signo: Si el signo común esmás«+», el que tiene el menor valor absoluto es el menor. Si el signo común esmenos«−», el que tiene el mayor valor absoluto es el menor. El cero es un caso especial: puede elegirse con signo «+» o «−» y el resultado no depende de ello. En resumen, el cero es menor que los números positivos y mayor que los números negativos.

Ejemplo.

1. Comparemos +4 y −5: tienen signo distinto, por lo que el que tiene el signo «−» es el menor. Por tanto: −5 < +4.
   
2. Comparemos +3 y +1: tienen el mismo signo, y este es «+», por lo que el que tiene el menor valor absoluto es el menor: +1 < +3.
   
3. Comparemos −2 y −5: tienen el mismo signo, y este es «−», así que el que tiene el mayor valor absoluto es el menor: −5 < −2.
4. Comparemos 0 y +3. Sabemos que el resultado es 0<+3, porque 0 es menor que todos los números positivos, pero podemos aplicar las reglas anteriores poniéndole signo al cero y el resultado será idéntico:

• Si escribimos el 0 como +0, ambos tienen el mismo signo, y el que tiene menor valor absoluto es el menor: +0 < +3.
• Si escribimos el 0 como −0, tienen signo distinto, y el que tiene el signo «−» es el menor: −0 < +3.

Operaciones con números negativos

Los números con signo puedensumarse,restarse,multiplicarseydividirse.También pueden tomarsepotenciascon números negativos en la base o el exponente. En general se ha de determinar por separado elsignoy elvalor absolutodel resultado. Para realizar operaciones con número con signo, han de utilizarse paréntesis para facilitar la lectura de los cálculos y evitar errores. Por ejemplo, si queremos sumar los números −4 y +3, no escribiremos

$-4++3$,

sino

$(-4)+(+3)$

Suma

Suma de números con signo

Lasumade dos números consignopuede realizarse desplazándose a lo largo de larecta numérica:

-Lossumandosse representan porflechasque van desde elcerohasta el número correspondiente. Las que corresponden a números positivos apuntan hacia la derecha, y hacia la izquierda para los negativos.

-Uniendo el extremo final de una con el extremo inicial de otra,se obtienela suma de los dos sumandos.

En esta figura, elvalor absolutoy elsignode un número se representan por el tamaño delcírculoy su color. Se ve que:

-El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

-El valor absoluto del resultado crece si ambos sumandos son del mismo signo (se suman sus valores absolutos) y decrece si son distintos (al mayor se le resta el menor).

Lasumade dos números negativos es muy similar a la de los números positivos. Por ejemplo, si una persona tiene dos deudas con dos bancos distintos, por valores de 1000 y 2000 pesos respectivamente, entonces debe pagar en total 3000 pesos. Por esta razón se dice

$(-1000)+(-2000)=-3000$

Para sumar dos números de distinto signo, se puede pensar en la combinación de una deuda y una ganancia. Una persona con una deuda de 200 euros que recibe una paga puede saldar parte o toda la deuda. Si la paga es de 50 euros, podrá reducir su deuda a 150 euros; mientras que si la paga es de 500, puede saldar por completo la deuda y aún le sobran 300 euros. Esto se representa como:

$(-200)+(+50)=-150$

$(-200)+(+500)=300$

Estas sumas también pueden entenderse de otras maneras, como desplazamientos a izquierda o derecha en larecta numérica.En resumen, la suma de números con signo se separa en dos pasos, para determinar las dos características del resultado, suvalor absolutoy susigno:

Parasumardos números con signo, determinamos el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo.

1. (+4,5) + (−2,3). Tienen distinto signo, y +4,5 es el que tiene mayor valor absoluto. El signo del resultado es entonces «+», y su valor absoluto es la diferencia 4,5 − 2,3 = 2,2. O sea: (+4,5) + (−2,3) = +2,2.
2. (+1) + (+5). Tienen el mismo signo («+»), así que el signo del resultado es «+» y el valor absoluto es la suma de los valores absolutos 1+5 = 6. O sea: (+1) + (+5) = +6
3. (−6) + (+3/4). Tienen distinto signo, y es −6 el que tiene mayor valor absoluto, así que el signo del resultado es «−» y el valor absoluto es la diferencia 6 − 3/4 = 21/4. O sea: (−6) + (+3/4) = −21/4.
4. (−4) + (−7). Tienen el mismo signo («−»), luego el signo del resultado es también «−» y su valor absoluto es la suma de ambos 4 + 7 = 11. O sea: (−4) + (−7) = −11.
5. −(−36) + (−5). −(−36)= +36, + (−5) = −5, 36−5 = 31.

Resta

Larestade números con signo es muy sencilla, ya que ahora la tratamos como un caso particular de la suma.

Larestade dos números con signo (minuendomenossustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo.

1. $(+10)-(-5)=(+10)+(+5)=+15$
2. $(-7,4)-(+6)=(-7,4)+(-6)=-13,4$
3. $(-4)-(-8)=(-4)+(+8)=+4$
4. $(+2/3)-(+9/7)=(+2/3)+(-9/7)=14/21-27/21=-13/21$
5. $(36.36)+(-101/20)=36.36-5.05=31.31$

Multiplicación

Regla de los signos.Doscargas eléctricasse repelen si son del mismo signo y se atraen si son de signos distintos. Lafuerzaque ejerce la carga grande sobre la pequeña es entonces es positiva (empuja) o negativa (tira). La fuerza depende pues delproductode dos números con signo, las dos cargas.

Lamultiplicaciónde un número positivo por otro número, positivo o negativo es sencilla de entender, como repetición de una suma:

$(+3)\times (+1000)=(+1000)+(+1000)+(+1000)=+3000$

$(+2)\times (-2000)=(-2000)+(-2000)=-4000$

En otras palabras: el triple de un ingreso de 1000 pesos es un ingreso de 3000 pesos; y el doble de una deuda de 2000 pesos es una deuda de 4000 pesos. El producto de un número negativo por otro número con signo puede entenderse como resultado de las propiedadesconmutativaydistributivade la multiplicación:

$4\times 5=5\times 4=20$

$5\times (7.2-1)=5\times 6.2=31\quad {\mbox{y a su vez}}\quad 5\times 7.2-5\times 1=36-5=31$

Entonces, el producto de un número negativo por otro número con signo es:

$(-5)\times (+4)=(+4)\times (-5)=(-5)+(-5)+(-5)+(-5)=-20$

$(-2)\times (+5)+(-2)\times (-4)=(-2)\times [(+5)+(-4)]=(-2)\times (+1)=-2$

Puesto que$(-2)\times (+5)=(+5)\times (-2)=-10$,la única posibilidad es que$(-2)\times (-4)=+8$.

En resumen, la multiplicación de números con signo, al igual que la suma, requiere determinar por separado elsignoyvalor absolutodel resultado:

En lamultiplicaciónde dos números con signo se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza laregla de los signos:

Regla de los signos (+) × (+)=(+) Más por más igual a más. (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos. (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos. (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo.

1. (+4,5) × (−6). El signo de los factores es distinto, así que el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 4,5 × 6 = 27. O sea: (+4,5) × (−6) = −27.
2. (+5) × (+3). El signo de los factores es idéntico, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 5×3 = 15. O sea: (+5) × (+3) = +15.
3. (−7/5) × (+8/3). El signo de los factores es distinto, luego el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 7/5 × 8/3 = 56/15. O sea: (−7/5) × (+8/3) = −56/15.
4. (−9) × (−2). El signo de los factores es el mismo, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 9×2 = 18. O sea: (−9) × (−2) = +18.

División

Ladivisiónde números con signo es similar a la multiplicación, puesto que también respeta laregla de los signos:

En ladivisiónde dos números con signo (dividendoentredivisor) el resultado se determina como sigue: El valor absoluto del resultado es el cociente entre los valores absolutos del dividendo y el divisor. El signo del resultado se determina por la regla de los signos: signo «+» si los signos son iguales y «−» si son distintos.

Ejemplo.

1. $(-36)\div 5=-(36\div 5)=-7,2$
2. $(+8)/(+4)=+(8/4)=+2$
3. $(-31,2)\div (-5,2)=+(31,2\div 5,2)=+6$
4. $(+14)/(-3)=-(14/3)=-14/3$

Potencias

Unapotenciade un número negativo elevado a un número entero es sencilla de entender, puesto que puede descomponerse en repetidas multiplicaciones:

$(-3)^{4}=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=+81$

No siempre es posible calcular la potencia de un número negativo elevado a un exponente que no sea entero:

$(-32)^{\frac {1}{5}}=-2,\quad {\mbox{ya que}}\quad (-2)^{5}=-32$

No existe (−7)^1/2,ya que el cuadrado de unnúmero reales siempre positivo: (+) × (+) = (−) × (−) = (+)

Si el exponente es un número negativo, como 3⁻²,esta operación puede entenderse debido a las propiedades usuales de las potencias cuando son multiplicadas:

Sabiendo que:$4^{2}\times 4^{3}=(4\times 4)\times (4\times 4\times 4)=4^{2+3}=4^{5}$,

entonces:$3^{-2}\times 3^{3}=3^{-2+3}=3^{1}=3$,

y puesto que$3^{3}=27$,ha de ser$3^{-2}=1/9$,ya que$27\times 1/9=27/9=3$.

Resumiendo, las potencias se definen como:

La potencia de números con signo se definen en los siguientes casos: Base positiva: el signo del resultado es siempre «+» y su valor absoluto es Exponente positivo: el valor absoluto de la base elevada al valor absoluto del exponente. Exponente negativo: 1 partido por el caso anterior (valor absoluto de la base elevado al valor absoluto del exponente). Base negativa: Si el exponente es unnúmero entero,el signo del resultado es «+» si este es par, y «−» si es impar. Si el exponente no es un número entero, en general la potencia no existe (ver más abajo). En particular, sólo existe si es una fracción (irreducible) condenominadorimpar. En tal caso, el signo es «+» si el numerador es par y «−» si es impar. El valor absoluto del resultado es: Exponente positivo: el valor absoluto de la base elevada al valor absoluto del exponente. Exponente negativo: 1 partido por el caso anterior (valor absoluto de la base elevado al valor absoluto del exponente).

Nótese que los números enteros son también fracciones de denominador impar: 5 = 5/1, −3 = −3/1. La potencia (−7)^1/2no existe porque no existen números positivos o negativos cuyo cuadrado sea negativo. Por ello dichas potencias requieren la introducción de los llamadosnúmeros imaginarios.

Ejemplo.

1. (+4)^+(1/3).El signo es «+» porque +4 es positivo, y el valor absoluto es 4^1/3,porque el exponente es positivo: (+4)^+(1/3)= + (4^1/3) = +1,587...
2. (−5)^+(2/7).La base es negativa, y el exponente es una fracción con denominador impar y numerador par, por lo que la potencia existe y el signo es «+». El valor absoluto es 5^2/7,porque el exponente es positivo: (−5)^+(2/7)= + (5^2/7) = +1,583...
3. (+6)⁻³.El signo es «+» porque +6 es positivo, y el valor absoluto es 1/(6³), porque el exponente es negativo: (+6)⁻³= + 1/(6³) = +1/216.
4. (−9)^+(1/6).La base es negativa y el exponente es una fracción de denominador par. La potencia no existe.
5. (−2,3)^−10/2.La base es negativa y el exponente un número entero impar (es una fracción con denominador par, pero no es irreducible, sino que puede simplificarse a 5/1, que tiene denominador impar), por lo que el signo del resultado es «−». Como el exponente es negativo, el valor absoluto es 1/(2,3⁵), por lo que: (−2,3)^−10/2= − 1/(2,3⁵) = −0,0155...

Véase también

• Wikcionariotiene definiciones y otra información sobrenúmero negativo.
• Simon Stevin,padre de los números negativos
• Bhaskara II

Clasificación de los números Complejos${\displaystyle:\;\mathbb {C} }$ Reales${\displaystyle:\;\mathbb {R} }$ Racionales${\displaystyle:\;\mathbb {Q} }$ Enteros${\displaystyle:\;\mathbb {Z} }$ Naturales${\displaystyle:\;\mathbb {N} }$ Cero:0 Enteros negativos Fraccionarios Irracionales Imaginarios

Referencias

• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006).Mathematics. Applications and Concepts. Course 2(en inglés).McGraw-Hill.ISBN0-07-865263-4.

• Datos:Q200227