Politopo

Engeometría,politopo(del alemánpolytop,y este depoly- 'poli-1' y el gr. τόποςtópos«lugar») significa, en primer lugar, la generalización a cualquierdimensióndelpolígonobidimensional, elpoliedrotridimensional o elpolícorotetradimensional. Además, este término es utilizado en varios conceptos matemáticos relacionados. Su uso es análogo al decuadrado,que puede usarse para referirse a unaregión del planode forma cuadrada o solo para los cuatro lados (línea poligonal cerrada), o aún para una mera lista de sus vértices y lados junto con alguna información acerca de la forma en que están conectados.

El vocablo fue creado porAlicia Boole Stott,hija del matemático y filósofo irlandésGeorge Boole.^{[cita requerida]}

Lossólidos platónicos,o politopos regulares de tres dimensiones, fueron objeto central de estudio de los matemáticos de laGrecia Antigua(principalmente, en losElementos de Euclides), probablemente debido a sus cualidades estéticas intrínsecas. En tiempos modernos, los politopos y sus conceptos relacionados tienen importante aplicación engráficos por computadora,optimizacióny muchos otros campos.

Politopos convexos

Una clase especial de politopos son lospolitopos convexos,elcasco convexooenvoltura convexade unconjunto finitode puntos. Los politopos convexos también pueden representarse como lainterseccióndehemiespacios.Esta intersección puede escribirse como la desigualdadmatricial $Ax\leq b$ ,dondeAes una matriz denporm,connel número de hemiespacios ymel número de dimensiones del politopo, ybun vector denpor 1 columna. Los coeficientes de cada fila deAybse corresponden con los coeficientes de ladesigualdad linealque define al respectivo hemiespacio (véasehiperplanopara una explicación más detallada). En consecuencia, cada fila de la matriz se corresponde con uno de los hiperplanos que delimitan el politopo.

Un politopo convexon-dimensional está delimitado por un número defacetas(n-1)-dimensionales. Cada par de facetas se encuentra en una "cresta" de dimensiónn-2. Estas, a su vez, se encuentra en fronteras (n-3)-dimensionales, y así sucesivamente. Estos subpolitopos son llamadoscaras,si bien el término puede también referirse específicamente al caso bidimiensional). Una cara de dimensión 0 es unvértice;una cara de dimensión 1 es unaarista.Se llamaceldaa las caras tridimensionales.

Una cuveta consiste de los puntos de un politopo que también satisface la forma de igualdad de una representación matricial donde solo está presente una fila enA.De modo similar, una cresta satisface la forma de igualdad de la representación matricial cuando enAhay dos filas presentes. En términos generales, una cara (n-j)-dimensional satisface la relación de igualdad conjfilas enA.Estas filas forman labasede la cara. En términos geométricos, esto significa que la cara es el conjunto de puntos del politopo que yacen en la intersección dejde los hiperplanos que limitan el politopo. Las caras de un politopo convexo forman unaretículallamada suretícula de cara,donde la relación de subconjuntos está definida entre los hiperplanos de la base. El politopo en sí es considerado una "cara" en la retícula de caras, y es el máximo de la retícula.

Nótese que esta terminología no es aún totalmente estándar. El términocaraes a veces usado para referirse solo a subpolitopos bidimensionales, y otras veces se lo usa en lugar defaceta.Se suele emplear tambiénaristapara referirse a una cresta.

Descomposición simplicial

Dada una envoltura convexa en espacior-dimensional (pero no en cualquier planor-1) podemos tomar subconjuntoslinealmente independientesde los vértices y definir con ellosr-simplices.De hecho, pueden escogerse varios simplices en forma tal que su unión como conjuntos resulte en el casco original, y la intersección de dos cualesquiera sea o bien vacía o bien uns-simplex para algúns<r.

Por ejemplo, en el plano un cuadrado (envoltura convexa de sus esquinas) es la unión de los dos triángulos (2-simplices), definidos por una diagonal 1-simplex que es su intersección.

En general, la definición (atribuida aPavel Sergueievich Alexandrov) es que unr-politopose define como un conjunto con unar-descomposición simpliciacon algunas propiedades adicionales. Si un conjunto tienen unar-descomposición simplicia, esto significa que es la unión des-simplices para valores des,consmenor o igual quer,cerrado bajo la intersección, y tal que la única ocasión en que un simplex está contenido en otro es una cara.

¿Qué podemos construir así? Comencemos con el 1-simplex, o segmento de una línea. Tendremos, pues, el segmento y cualquier cosa que puede obtenerse agregando segmentos a los extremos:

Si dos segmentos se encuentran en cada vértice (es decir, en todos los casos excepto el último de la ilustración anterior), se obtiene unacurva topológicallamadacurva poligonal.Estas pueden categorizarse como abiertas o cerradas, dependiendo de que los extremos se correspondan, y como simples o complejas, dependiendo de si se intersecan a sí mismas. Las curvas poligonales cerradas se llamanpolígonos.

Los polígonos simples en el plano soncurvas de Jordan:tienen un interior que es undisco topológico.Así sucede con los 2-politopos (como puede verse en el tercer ejemplo de la ilustración), y es habitual tratarlos en forma intercambiable con sus límites, adoptando ambos el nombre de polígono.

El proceso puede repetirse. Uniendo polígonos por los lados (1-caras) se obtienen superficies poliédricas, llamadaspoliedroscuando son cerradas. Los poliedros simples son intercambiables con sus interiores, que son 3-politopos que pueden usarse para construir formas tetradimensionales (a veces llamadaspolícoros), y así sucesivamente.

Es posible hallar otras definiciones (equivalentes o no), habituales en la literatura matemática. Los politopos pueden ser vistos como alguna forma deteselacionesde lavariedad(manifold) de su superficie.

La teoría depolitopos abstractosintenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando puramente sus propiedades combinatorias. Esto permite que la definición del término se extienda para abarcar objetos para los cuales es difícil definir claramente unespacio natural subyacente.

Usos

Enoptimización,laprogramación linealestudia los máximos y mínimos de funciones lineales restringidas por el límite de un politopon-dimensional.

Véase también

Referencias

Grünbaum, Branko,Convex polytopes,New York; London: Springer, 2003.ISBN 0-387-00424-6.Segunda edición preparada por Volker Kaibel,Victor Klee,y Günter M. Ziegler.

El texto de la primera versión de este artículo es una traducción dePolytopeenWikipedia en inglés(28-nov-2005).

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