Teorema

Esta imagen muestra la relación entre lascadenas de caracteres,. En algunos sistemas formales, sin embargo, el conjunto de los teoremas coincide con el de las fórmulas bien formadas.

Unteoremaes una proposición cuya verdad se demuestra. Enmatemáticas,es toda proposición que, partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una racionabilidad (tesis) no evidente por sí misma.​

También puede decirse que un teorema es una fórmula bien formada que puede serdemostradadentro de unsistema formal,partiendo deaxiomas,noción y otros teoremas. Demostrar teoremas es un asunto central en lalógica matemática.Los teoremas también pueden ser expresados enlenguaje natural formalizado.

Los teoremas generalmente poseen un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Laconclusióndel teorema es una afirmación lógica o matemática que es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre lashipótesisy latesiso laconclusión.

Se llamacorolarioa una afirmación lógica que es consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema de referencia.

Teorema

Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto deaxiomas(sistema axiomático) y un proceso deinferencia,el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados pero no son axiomas.

En lógica proposicional yde primer orden,cualquier afirmación demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica se llama demostración a una secuencia finita defórmulas bien formadas(fórmulas lógicas bien formadas)F₁,...,F_n,tales que cadaF_ies o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anterioresF_jyF_k(tales quej<iyk<i) mediante una regla de deducción. Dada una demostración como la anterior si el elemento finalF_nno es un axioma entonces es un teorema. Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente, unteoremaes una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula bien formada para la cual existe una demostración, lo tal que lleva que un teorema no exista .

Teorema y verdad

Hasta finales del sigloXIXy lacrisis fundacional de las matemáticas,todas las teorías matemáticas se construyeron a partir de unas pocas propiedades básicas que se consideraban evidentes; por ejemplo, los hechos de que todonúmero naturaltiene un sucesor, y que hay exactamente unalíneaque pasa por dos puntos distintos dados. Estas propiedades básicas que se consideraban absolutamente evidentes se denominabanpostuladosoaxiomas;por ejemplo lospostulados de Euclides.Todos los teoremas se demostraban usando implícita o explícitamente estas propiedades básicas y, debido a la evidencia de estas propiedades básicas, un teorema probado se consideraba como una verdad definitiva, a menos que hubiera un error en la prueba. Por ejemplo, la suma de losángulos interioresde untriánguloes igual a 180°, y esto se consideraba como un hecho indudable.

Un aspecto de la crisis fundacional de las matemáticas fue el descubrimiento degeometrías no euclidianasque no conducen a ninguna contradicción, aunque, en tales geometrías, la suma de los ángulos de un triángulo es diferente de 180°. Entonces, la propiedad"la suma de los ángulos de un triángulo es igual 180°"es verdadero o falso, dependiendo de si se asume o se niega el quinto postulado de Euclides. De manera similar, el uso de propiedades básicas "evidentes" deconjuntosconduce a la contradicción de laparadoja de Russel.Esto se ha resuelto elaborando las reglas que se permiten para manipular conjuntos.

Esta crisis se ha resuelto revisando los fundamentos de las matemáticas para hacerlos más rigurosos. En estos nuevos fundamentos, un teorema es unafórmula bien formadade unateoría matemáticaque puede probarse a partir de losaxiomasy lasreglas de inferenciade la teoría. Entonces, el teorema anterior sobre la suma de los ángulos de un triángulo se convierte en:Bajo los axiomas y reglas de inferencia de lageometría euclidiana,la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.De manera similar, la paradoja de Russel desaparece porque, en una teoría de conjuntos axiomatizada, el "conjunto de todos los conjuntos" no puede expresarse con una fórmula bien formada. Más precisamente, si el conjunto de todos los conjuntos se puede expresar con una fórmula bien formada, esto implica que la teoría esinconsistente,y toda afirmación bien formada, así como su negación, es un teorema.

En este contexto, la validez de un teorema depende únicamente de la corrección de su prueba. Es independiente de la verdad, o incluso del significado de los axiomas. Esto no significa que el significado de los axiomas no sea interesante, sino que la validez de un teorema es independiente del significado de los axiomas. Esta independencia puede ser útil al permitir el uso de resultados de algún área de las matemáticas en áreas aparentemente no relacionadas.

Una consecuencia importante de esta forma de pensar sobre las matemáticas es que permite definir teorías y teoremas matemáticos comoobjetos matemáticos,y probar teoremas sobre ellos. Los ejemplos son losteoremas de incompletitud de Gödel.En particular, hay afirmaciones bien formadas que pueden demostrarse que no son un teorema de la teoría ambiental, aunque pueden demostrarse en una teoría más amplia. Un ejemplo es elteorema de Goodstein,que se puede establecer en laaritmética de Peano,pero se demuestra que no es demostrable en la aritmética de Peano. Sin embargo, es demostrable en algunas teorías más generales, como lateoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Consideraciones epistemológicas

Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales, cuyas pruebas deducen conclusiones de condiciones conocidas comohipótesisopremisas.A la luz de la interpretación de la prueba como justificación de la verdad, la conclusión se ve a menudo como unaconsecuencia necesariade las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera en caso de que las hipótesis sean verdaderas, sin más suposiciones. Sin embargo, el condicional también podría interpretarse de manera diferente en ciertossistemas deductivos,dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (por ejemplo,lógica no clásica).

Aunque los teoremas se pueden escribir en una forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones encálculo proposicional), a menudo se expresan de manera informal en un lenguaje natural como el inglés para una mejor legibilidad. Lo mismo ocurre con las demostraciones, que a menudo se expresan como argumentos informales lógicamente organizados y claramente redactados, con la intención de convencer a los lectores de la verdad del enunciado del teorema más allá de toda duda, y a partir de los cuales se puede, en principio, construir una demostración simbólica formal.

Además de la mejor legibilidad, los argumentos informales suelen ser más fáciles de verificar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos expresarían su preferencia por una prueba que no solo demuestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera "por qué" es obviamente cierto. En algunos casos, uno podría incluso corroborar un teorema usando una imagen como prueba.

Debido a que los teoremas se encuentran en el núcleo de las matemáticas, también son fundamentales para suestética.Los teoremas a menudo se describen como "triviales", "difíciles", "profundos" o incluso "hermosos". Estos juicios subjetivos varían no solo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene una demostración, se simplifica o se comprende mejor, un teorema que alguna vez fue difícil puede volverse trivial.​ Por otro lado, un teorema profundo puede formularse de manera simple, pero su demostración puede involucrar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. Elúltimo teorema de Fermates un ejemplo particularmente conocido de tal teorema.​

Cuenta informal de teoremas

Lógicamente,muchos teoremas tienen la forma de unindicativo condicional:Si A, entonces B.Tal teorema no afirma "B", sólo que "B" es una consecuencia necesaria de "A". En este caso,Ase llama lahipótesisdel teorema ( "hipótesis" aquí significa algo muy diferente de unaconjetura), yBlaconclusióndel teorema. Los dos juntos (sin la demostración) se denominan laproposicióno elenunciadodel teorema (por ejemplo, "Si A, entonces B"es laproposición). Alternativamente,AyBtambién pueden denominarseantecedenteyconsecuente,respectivamente.​ El teorema "Sines unnúmero naturalpar, entoncesn/2 es un número natural "es un ejemplo típico en el que la hipótesis es"nes un número natural par ", y la conclusión es"n/2 es también un número natural ".

Para que un teorema sea probado, debe ser en principio expresable como un enunciado formal y preciso. Sin embargo, los teoremas generalmente se expresan en lenguaje natural en lugar de una forma completamente simbólica, con la presunción de que una declaración formal puede derivarse de una informal.

Es común en matemáticas elegir un número de hipótesis dentro de un lenguaje dado y declarar que la teoría consta de todos los enunciados demostrables a partir de estas hipótesis. Estas hipótesis forman la base fundamental de la teoría y se llamanaxiomaso postulados. El campo de las matemáticas conocido comoteoría de la pruebaestudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las pruebas.

Un mapaplanarcon cinco colores tal que no se encuentran dos regiones con el mismo color. De hecho, se puede colorear de esta manera con solo cuatro colores. Elteorema de los cuatro coloresestablece que tales colores son posibles para cualquier mapa plano, pero cada prueba conocida implica una búsqueda computacional que es demasiado larga para verificarla a mano.

Algunos teoremas son "triviales",en el sentido de que se derivan de definiciones, axiomas y otros teoremas de manera obvia y no contienen ideas sorprendentes. Algunos, por otro lado, pueden llamarse" profundos ", porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema en sí, o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de las matemáticas.​ Un teorema puede ser simple de enunciar y, sin embargo, ser profundo. Un excelente ejemplo es elÚltimo Teorema de Fermat,​ y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples pero profundos enteoría de númerosycombinatoria,entre otras áreas.

Otros teoremas tienen una prueba conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y laconjetura de Kepler.Solo se sabe que ambos teoremas son verdaderos al reducirlos a una búsqueda computacional que luego es verificada por un programa de ordenador. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, pero se ha vuelto más aceptada. El matemáticoDoron Zeilbergerincluso ha ido tan lejos como para afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos han probado alguna vez.​ Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a cálculos más sencillos, incluidas identidades polinómicas, identidades trigonométricas​ e identidades hipergeométricas.​

Teoremas intervinculados

Siendopyqdos proposiciones se obtienen los siguientes teoremas, intercambiando la hipótesis con la conclusión y luego considerando las negaciones de las proposiciones originales.​

Teorema directo:$p\Rightarrow q$

Teorema recíproco:$q\Rightarrow p$

Teorema inverso:$-p\Rightarrow -q$

Teorema contrarrecíproco:$-q\Rightarrow -p$​

Terminología en Matemáticas

En matemática un teorema

debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan:

• Lema:una afirmación que forma parte de un teorema más amplio. Algunas veces, los lemas adquieren tanta importancia que se vuelven teoremas, como ellema de Gaussy ellema de Zorn,por ejemplo. Estos, por sí mismos, son teoremas, aunque, por razones históricas, la palabralemapermanece en su nombre.
• Corolario:una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposiciónAes un corolario de una proposición o teoremaBsiApuede ser deducida sencillamente deB.
• Proposición:una afirmación o resultado no asociado a ningún teorema en particular. Muchos expertos usan proposición como sinónimo de teorema.​

• Conjeturaohipótesis,un enunciado matemático que se supone verdadero, aún no demostrado. Como ejemplos, de larga data: laconjetura de Goldbacho lahipótesis de Riemann.

Teoremas dentro de otras ciencias

Con frecuencia enfísicaoeconomíaalgunas afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras afirmaciones ohipótesisbásicas se llaman comúnmente teoremas. Sin embargo, frecuentemente las áreas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma desistema lógicopor lo que estrictamente debería usarse con cautela el términoteoremapara referirse a esas afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos «más básicos».

Diseño

Un teorema y su prueba normalmente se presentan de la siguiente manera:

Teorema(nombre de la persona que lo probó, junto con el año del descubrimiento o publicación de la prueba)

Enunciado del teorema (a veces llamadoproposición)

Prueba

Descripción de la prueba

Fin

El final de la prueba se puede señalar con las letrasQ.E.D.(quod erat demonstrandum) o con una de las marcastombstone,como "□" o "∎", que significa "fin de la prueba", introducido porPaul Halmostras su uso en revistas para marcar el final de un artículo.​

El estilo exacto depende del autor o publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones omacrospara componer en elestilo interno.

Es común que un teorema esté precedido pordefiniciónque describa el significado exacto de los términos utilizados en el teorema. También es común que un teorema esté precedido por una serie de proposiciones o lemas que luego se usan en la demostración. Sin embargo, los lemas a veces están incrustados en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.

Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la prueba, o directamente después de la prueba. A veces, los corolarios tienen pruebas propias que explican por qué se derivan del teorema.

Saber

Se ha estimado que cada año se prueban más de un cuarto de millón de teoremas.​

El conocidoaforismo,"Un matemático es un dispositivo para convertir el café en teoremas",probablemente se deba aAlfréd Rényi,aunque a menudo se atribuye al colega de RényiPaul Erdős(y Rényi puede haber estado pensando en Erdős), que era famoso por los muchos teoremas que produjo, elnúmerode sus colaboraciones y su consumo de café.​

Algunos consideran que laclasificación de grupos simples finitoses la prueba más larga de un teorema. Comprende decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas de unos 100 autores. Se cree que estos documentos en conjunto brindan una prueba completa, y varios proyectos en curso esperan acortar y simplificar esta prueba.​ Otro teorema de este tipo es elteorema de los cuatro colorescuya prueba generado por ordenador es demasiado larga para que la lea un ser humano. Es una de las demostraciones más largas conocidas de un teorema cuyo enunciado puede ser entendido fácilmente por un profano.

Teoremas célebres

Algunos de los teoremas más conocidos son:

• Teorema de Pappus-Guldin
• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Bayes
• Teorema del binomio
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Teorema de incompletitud de Gödel
• Teorema del límite central
• Teorema de los números primos
• Teorema de la divergencia
• Teorema de Bell
• Teorema de Stokes
• Teorema de Tales
• Teorema de los ceros de Hilbert
• Teorema de Frobenius
• Teorema de Fermat-Wiles
• Teorema de Morley
• Teorema de Shannon
• Teorema de la Bisectriz
• Teorema del Valor Medio
• Teorema de Taylor
• Teorema de Rolle
• Teorema de Cauchy

Véase también

• Axioma
• Sistema axiomático
• Tautología
• Teoría

Bibliografía

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• Bocheński, J. M.(1970).A history offormal logic.2nd Edition. Translated and edited from the German edition by Ivo Thomas. Chelsea Publishing, New York.
• Hoffman, P. (1998).The Man Who Loved Only Numbers:The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth.Hyperion, New York.ISBN1-85702-829-5.
• Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996).A = B.A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts.ISBN1-56881-063-6.Archivado desdeel originalel 15 de abril de 2021.Consultado el 1 de febrero de 2023.

Enlaces externos

• Wikimedia Commonsalberga una categoría multimedia sobreTeoremas.
• Wikcionariotiene definiciones y otra información sobreteorema.
• Symploke: Teorema

• Datos:Q65943
• Multimedia:Theorems/Q65943
• Diccionario:teorema
• Citas célebres:Teorema