Área

Área, coloreada, de tres figuras geométricas simples

Eláreaes unconcepto métricoque puede permitir asignar unamedidaa la extensión de unasuperficie,expresada en matemáticas comounidades de medidadenominadasunidades de superficie.​ El área es un concepto métrico que requiere la especificación de unamedida de longitud.

Eláreaes unamagnitudmétricade tipoescalardefinida como la extensión endos dimensionesde una recta al plano delespacio.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquierpolígono— puedetriangularse,y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone.​ Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie,​ cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Para una forma sólida como unaesfera,unconoo uncilindro,el área de su superficie límite se denominaárea superficial.Losantiguos griegoscalcularon fórmulas para las áreas superficiales de formas simples, pero calcular el área superficial de unafiguramás complicada suele requerir cálculo multivariable.

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial.

Este cuadrado y este disco tienen la misma área (véase:cuadratura del círculo).

Para poder definir el área de una superficie en general —que es un conceptométrico—, se tiene que haber definido untensor métricosobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de unespacio euclídeo,la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en unafigura geométricaproviene de la antigüedad. En elantiguo Egipto,tras la crecida anual de ríoNiloinundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron lageometría,segúnHeródoto.​

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griegoAntifónhacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. Elmétodo exhaustivoconsiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce comométodo exhaustivodeEudoxo,consiguió obtener una aproximación para calcular el área de uncírculo.Dicho sistema fue empleado tiempo después porArquímedespara resolver otros problemas similares,​ así como el cálculo aproximado delnúmero π.

Área del círculo

En el sigloVa. C.,Hipócrates de Quíosfue el primero en mostrar que el área de un círculo (la región encerrada por una circunferencia) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de sucuadratura de la lúnula,​ pero no identificó laconstante de proporcionalidad.Eudoxo de Cnido,también en el s.Va. C., encontró también que el área de un círculo es proporcional a su radio al cuadrado.​

Posteriormente, el Libro I de losElementosde Euclidesse ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemáticoArquímedesusó las herramientas de lageometría euclidianapara mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de untriángulo rectángulocuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libroSobre la medida del círculo.(La circunferencia es 2πr, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área πr²del disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).​

El científico suizoJohann Heinrich Lamberten 1761 demostró que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, esirracional,lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros.​ En 1794, el matemático francésAdrien-Marie Legendredemostró que π²es irracional; esto también prueba que π es irracional.​ En 1882, el matemático alemánFerdinand von Lindemanndemostró que π estrascendental(no es la solución de ningunaecuación polinómicacon coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.​

Área del triángulo

Herón de Alejandríaencontró lo que se conoce como lafórmula de Herónpara el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libroMétrica,escrito alrededor del 60 d. C. Se ha sugerido queArquímedesconocía la fórmula más de dos siglos antes,​ y dado queMétricaes una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.​

En 499Aryabhata,un matemático-astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en elAryabhatiya(sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Herón independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito porQin Jiushao.

Definición formal

Un enfoque para definir lo que se entiende por «área» es a través deaxiomas.El «área» se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades:​

• Para todoSenM,a(S)≥ 0.
• SiSyTestán enM,entonces también lo estánS∪TyS∩T,y tambiéna(S∪T) =a(S) +a(T) −a(S∩T).
• SiSyTestán enMconS⊆TentoncesT-Sestá enMya(T−S) =a(T) −a(S).
• Si un conjuntoSestá enMySes congruente conT,entoncesTtambién está enMya(S) =a(T).
• Todo rectánguloRestá enM.Si el rectángulo tiene una longitudhy una anchurak,entoncesa(R) =hk.
• SeaQun conjunto encerrado entre dos regiones escalonadasSyT.Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir,S⊆Q⊆T.Si hay un número únicoctal quea(S) ≤ c ≤a(T) para todas esas regiones escalonadasSyT,entoncesa(Q) =c.

Se puede probar que tal función de área existe realmente.​

Confusión entre área y perímetro

Cuanto más cortes se hacen, más disminuye el área y aumenta el perímetro.

Elperímetroes, junto con el área, una de las dos medidas principales de las figuras geométricas planas. A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones​ o creer que cuanto mayor es una, mayor es también la otra. De hecho, la ampliación (o reducción) de una figura geométrica aumenta (o disminuye) simultáneamente su área y su perímetro. Por ejemplo, si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a unaescalade 1:10 000, el perímetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perímetro de la representación por 10 000 y el área multiplicando el de la representación por 10 000².Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura. Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0,5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5 m) pero también 0,001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000 m).Proclo(siglov) informa que los campesinos griegos compartían «equitativamente» campos de acuerdo con sus perímetros, pero con áreas diferentes.​​ Sin embargo, la producción de un campo es proporcional al área, no al perímetro.

Área de figuras planas

Fórmulas de polígonos

Para un polígono (simple) del que se conocen lascoordenadas cartesianas$(x_{i},y_{i})$(i = 0, 1,...,n − 1) de susnvértices,el área viene dada por lafórmula del área de Gauss:

$A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }$

cuando i = n − 1, entonces i + 1 se expresa comomódulony por tanto se refiere a 0.

Rectángulos

El área de este rectángulo es$l\times a$.

La fórmula más básica del área es la fórmula del área de unrectángulo.Dado un rectángulo con largo$l$y anchura$a$,la fórmula del área es:

$A=l\times a$(rectángulo).

El área del rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura. Como caso particular, ya que$l=a$en el caso de uncuadrado,el área de un cuadrado con longitud de lado$c$viene dada por la fórmula:

$A=c^{2}$(cuadrado).

La fórmula del área de un rectángulo se deduce directamente de las propiedades básicas del área y a veces se toma comodefiniciónoaxioma.Por otra parte, si lageometríase desarrolla antes que laaritmética,esta fórmula puede utilizarse para definir lamultiplicaciónde losnúmeros reales.

Disección, paralelogramos y triángulos

La mayoría de las fórmulas sencillas para calcular el área siguen el método de ladisección.Consisten en cortar una forma en trozos cuyas áreas debensumarel área de la forma original.

Un diagrama que muestra cómo un paralelogramo puede convertirse en un rectángulo.

Por ejemplo, cualquierparalelogramopuede subdividirse en untrapecioy untriángulo rectángulo,como se muestra en la figura. Si el triángulo se traslada al otro lado del trapecio, la figura resultante es un rectángulo. Se deduce que el área del paralelogramo es la misma que la del rectángulo:

$A=b\times h$(paralelogramo).

Un paralelogramo dividido en dos triángulos iguales.

Sin embargo, el mismo paralelogramo también puede cortarse a lo largo de unadiagonalen dos triánguloscongruentes,como se muestra en la figura. Se deduce que el área de cadatriánguloes la mitad del área delparalelogramo:

$A={\frac {1}{2}}bh$(triángulo).

Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para eltrapecioy polígonos más complicados.

Área de las formas curvas

Círculos

La fórmula del área de uncírculo(más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de undisco) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio$r$,es posible dividirlo ensectores,como se muestra en la figura. Cada sector es aproximadamente triangular, y los sectores pueden reorganizarse para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es$r$,y la anchura es la mitad de lacircunferenciadel círculo o$\pi r$.Por tanto, el área total del círculo es$\pi r^{2}$:

Un círculo puede dividirse ensectoresreordenados para formar unparalelogramoaproximado.

$A=\pi r^{2}$(círculo).

Aunque ladisecciónutilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error es cada vez menor a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente$\pi r^{2}$,que es el área del círculo.

Este argumento es una simple aplicación de las ideas delcálculo.En la antigüedad, elmétodo por agotamientose utilizaba de forma similar para encontrar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como un precursor delcálculo integral.Utilizando métodos modernos, el área de un círculo puede calcularse mediante unaintegral definida:

$A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}$

Elipses

La fórmula del área encerrada por unaelipseestá relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse consemieje mayor y semieje menor$x$e$y$la fórmula es:

$A=\pi xy$

Arquímedesdemostró que la área superficial de unaesferaes exactamente cuatro veces el área de un disco plano del mismo radio, y el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de uncilindrode la misma altura y radio.

Área del triángulo$={b\times h \over 2}$

Área superficial

La mayoría de las fórmulas básicas para elárea superficialse pueden obtener cortando las superficies y aplanándolas. Por ejemplo, si la superficie lateral delcilindro(o de cualquierprisma) se corta longitudinalmente, la superficie puede aplanarse hasta formar un rectángulo. Del mismo modo, si se hace un corte a lo largo de uncono,la superficie lateral se puede aplanar hasta convertirla en un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula de la superficie de unaesferaes más difícil de obtener: como una esfera tiene unacurvatura gaussianadistinta de cero, no puede aplanarse.Arquímedesobtuvo por primera vez la fórmula del área superficial de una esfera en su obraSobre la esfera y el cilindro.La fórmula es:

$A=4\pi r^{2}$(esfera).

donde$r$es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula del área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza intrínsecamente métodos similares alcálculo.

Fórmulas generales

Áreas de figuras bidimensionales

• Untriángulo:${\tfrac {1}{2}}Bh$(donde$B$es un lado cualquiera, y$h$es la distancia desde la línea en la que se encuentra$B$hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula puede utilizarse si se conoce la altura$h$.Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede utilizar lafórmula de Herón:${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$donde$a$,$b$,$c$son los lados del triángulo y$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$es elsemiperimetro.Si se da un ángulo y dos lados incluidos, el área es${\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {sen}(C)$donde$C$es el ángulo dado, y$a$y$b$son sus lados incluidos. Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, se puede utilizar una matriz y simplificar el valor absoluto de${\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})$.Esta fórmula también se conoce como lafórmula de la lazaday es una forma fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$y$(x_{3},y_{3})$.La fórmula de la lazada también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para encontrar el área.

• Unpolígono simplese construye sobre una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadasenteras). Todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula:$i+{\frac {b}{2}}-1$,donde$i$es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y$b$es el número de puntos del límite. Este resultado se conoce comoteorema de Pick.

Área en el cálculo

La integración puede medir el área bajo una curva, definida por$f(x)$,entre dos puntos (aquí$a$y$b$).

• El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores$a$y$b$($b$se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, viene dada por la integral de$a$hasta$b$de la función que representa la curva:

$A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

• El área entre lasgráficasde dos funciones esiguala laintegralde unafunción,f(x),menosla integral de la otra función,g(x):

$A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,$donde$f(x)$es la curva con el mayor valor de y.

• Un área delimitada por una función$r=r(\theta )$expresada encoordenadas polareses:

$A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta$

• El área encerrada por unacurva paramétrica${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$con puntos extremos${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$está dada por lasintegrales de línea:

  

  El área entre dos gráficas se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones.

$\oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt$

o el componente z de

${1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.$

(Para más detalles, véase elteorema de Green § Área de una región con el teorema de Green.) Este es el principio del dispositivo mecánico del planímetro.

Área limitada entre dos funciones cuadráticas

Para encontrar el área acotada entre dosfunciones cuadráticas,restamos una de la otra para escribir la diferencia como:

$f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\ Alpha )(x-\beta )$

dondef(x)es el límite superior cuadrático yg(x)es el límite inferior cuadrático. Definir eldiscriminantede f(x)−g(x) como:

$\Delta =b^{2}-4ac.$

Simplificando la fórmula de la integral entre las gráficas de dos funciones (como se indica en el apartado anterior) y utilizando lafórmula de Vieta,podemos obtener:

$A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\ Alpha )^{3},\qquad a\neq 0.$

Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones delimitadoras es lineal en lugar de cuadrática.

Área superficial de las figuras tridimensionales

• Cono:​$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$,donde$r$es el radio de la base circular y$h$es la altura. Esto también se puede reescribir como$\pi r^{2}+\pi rl$​ or$\pi r(r+l)\,\!$donde$r$es el radio y$l$es la altura oblicua del cono.$\pi r^{2}$es la superficie base mientras que$\pi rl$es la superficie lateral del cono.
• cubo:$6a^{2}$,donde$a$es la longitud de unaarista.
• cilindro:$2\pi r(r+h)$,donde$r$es el radio de una base y$h$es la altura.$2\pi r$también se puede reescribir como$\pi d$,donde$d$es el diámetro.
• prisma:$2B+Ph$,donde$B$es el área de una base,$P$es el perímetro de una base y$h$es la altura del prisma.
• pirámide:$B+{\frac {PL}{2}}$,donde$B$es el área de la base,$P$es el perímetro de la base y$L$es la longitud de la inclinación..
• prisma rectangular:$2(\ell a+\ell h+ah)$,donde$l$es la longitud,$a$es la anchura y$h$es la altura.

Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

${\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estrictas

Lista de fórmulas

Otras fórmulas comunes para el área:

Forma	Fórmula	Variables
Rectángulo	$A=ab$
Triángulo rectángulo	$A={\frac {ab}{2}}$
Triángulo	$A={\frac {1}{2}}bh\,\!$
Triángulo	$A={\frac {1}{2}}ab\operatorname {sen}(\gamma )\,\!$
Triángulo (fórmula de Herón)	$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$
Triángulo isósceles	$A={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
Triángulo equilátero	$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!$
Rombo/deltoide	$A={\frac {1}{2}}de$
Paralelogramo	$A=ah_{a}\,\!$
Trapecio	$A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!$
Hexágonoregular	$A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$
Octágonoregular	$A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!$
Polígono regular (de lados$n$)	$A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}$ $\quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\operatorname {sen}({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!$	$p=na\$(perímetro) $r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),$ ${\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\operatorname {sen}({\tfrac {\pi }{n}})$ $r:$radio de lacircunferencia inscrita $R:$radio de lacircunferencia circunscrita
Círculo	$A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}$ ($d=2r:$diámetro)
Sector circular	$A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$
Elipse	$A=\pi ab\,\!$
Integral	$A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0$
	Área superficial
Esfera	$p=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$
Ortoedro	$p=2(ab+ac+bc)$
Cilindro (incl. parte inferior y superior)	$A=2\pi r(r+h)$
Cono (incl. la parte inferior)	$A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$
Toro	$A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$
Superficie de revolución	$A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x$ (rotación alrededor del eje x)

Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchasformascomunes.

Las áreas de los polígonos irregulares (y, por tanto, arbitrarios) pueden calcularse mediante la «fórmula del área de Gauss» (fórmula de la lazada).

Unidades de medida de superficies

Esta sección es un extracto deUnidades de superficie.[editar]

Metro cuadradode pasto

Lasunidades de superficieson patrones establecidos mediante convención para facilitar el intercambio de datos de mediciones de la superficie, área o extensión de un objeto, terreno o figura geométrica.

La medición es la técnica mediante la cual asignamos un número a unapropiedad física,como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se adopta como unidad. La medida de una superficie da lugar a dos cantidades diferentes si se emplean distintas unidades de medida. Así, surgió la necesidad de establecer una unidad de medida única para cada magnitud, de modo que la información fuese fácilmente comprendidas

Sistema Internacional de Unidades

Según elSistema Internacional de Unidades,las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:​

Múltiplos

• Kilómetro cuadrado:10⁶metros cuadrados
• Hectómetro cuadradoohectárea:10⁴metros cuadrados
• Decámetro cuadradooárea:10²metros cuadrados

Unidad básica

• metro cuadrado:unidad derivada del SI
• Elenio: litro/centímetro
• Piornio: (candela·estereorradián)/lux

Submúltiplos

• Decímetro cuadrado:10⁻²m² (una centésima de metro cuadrado)
• Centímetro cuadrado:10⁻⁴m² (una diezmilésima de metro cuadrado)
• Milímetro cuadrado:10⁻⁶m² (una millonésima de metro cuadrado)
• barn:10⁻²⁸m² (metro cuadrado)

En la escala atómica, el área se mide en unidades debarn.​ Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción enfísica nuclear.​

Sistema anglosajón de unidades

Las unidades más usadas delsistema anglosajónson:​

• pulgada cuadrada
• pie cuadrado
• yarda cuadrada
• Elacretambién se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde 1 acre = 4840 yardas cuadradas = 43 560 pies cuadrados.​

Véase también

• Unidad de medida
• Metrología
• Áreas de figuras geométricas

Bibliografía

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed.Fórmulas y tablas de matemática aplicada.Aravaca (Madrid).ISBN 84-7615-197-7.

• Weisstein, Eric W (1999). Chapman&Hall, ed.CRC Concise Encyclopedia of Mathematics(en inglés).ISBN0-8493-9640-9.

Enlaces externos

• Wikimedia Commonsalberga una categoría multimedia sobreÁrea.
• Wikcionariotiene definiciones y otra información sobreárea.
• Weisstein, Eric W.«Área».En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research.
• El problema del área, en fca.unl.edu.ar
• El valor del área representada gráficamente, en fca.unl.edu.ar
• WikiUnits - Convert Area w/ different units
• Esta obra contiene una traducción Parcial derivada de «Area» de Wikipedia en inglés, concretamente deesta versión del 17 de junio de 2021,publicada porsus editoresbajo laLicencia de documentación libre de GNUy laLicencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
• Esta obra contiene una traducción Parcial derivada de «Aire (géométrie)» de Wikipedia en francés, concretamente deesta versión del 12 de junio de 2021,publicada porsus editoresbajo laLicencia de documentación libre de GNUy laLicencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

• Datos:Q11500
• Multimedia:Area/Q11500