Curva

Elipse

Unacurva algebraica:elFolium de Descartes
x³+ y³− 3axy = 0, a = 1

Enmatemática(inicialmente estudiado engeometríaelemental y, de forma más rigurosa, engeometría diferencial), lacurva(olínea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son laelipse,lacircunferencia,elóvaloo lacicloide;ejemplos decurvas abiertas,laparábola,lahipérbolay lacatenariay una infinidad de curvas estudiadas en lageometría analíticaplana. Larectaasume el caso límite de una circunferencia deradio de curvaturainfinito y de curvatura 0. Además, una recta es laimagen homeomorfade un intervalo abierto.​ Todas las curvas tienendimensión topológicaigual a 1. La noción de curva, conjuntamente con la de superficie, es uno de los objetos primordiales de lageometría diferencial,ciertamente con profusa aplicación de las herramientas delcálculo diferencial.​

Historia y definiciones

Cronología​

Año	Acontecimiento
300 a. C.	Euclidesdefine lassecciones cónicas
250 a. C.	Arquímedesinvestiga las curvasespirales.
225 a. C.	Apolonio de PergepublicaCónicas.
1704	Isaac Newtonclasifica lascurvas cúbicas.
1890	Giuseppe Peanoaplicando la definición de Jordán, demuestra que un cuadrado relleno también es una curva.
Década de 1920	Pável UrysónyKarl Mengerdefinen el concepto de curva a partir de la topología.

Camille Jordan(1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (verteorema de la curva de Jordan). Engeometría,unacurvaen el n-espacio euclidiano es un conjunto${\mathcal {C}}\subset \mathbb {R} ^{n}$que es la imagen de un intervaloΙabierto bajo una aplicación continua$\mathbf {x} \colon \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}$,es decir:

${\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}$

donde suele decirse que ($\mathbf {x},\mathrm {I}$) es una representación paramétrica oparametrizaciónde${\mathcal {C}}$.

Curva,en el plano o en el espacio tridimensional, es la imagen de uncamino γ,que se considera con derivada continua a trozos en el intervalo de definición.​

Métodos de expresión de una curva plana

En coordenadas cartesianas

1. En forma implícita…$F(x,y)=0$Ejemplo${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=e^{xy}$
2. En forma explícita…$y=f(x)$.Ejemplo:$y={\frac {3x^{2}+5x-7}{x^{2}}}$función racional.
3. En forma paramétrica...$x=x(t),y=y(t)$Ejemplo:$x=a\cdot lnt,y={\frac {a}{2}}(2t+{\frac {3}{t+1}})$paramétro:t.

En coordenadas polares

$\rho =f(\phi )$…Ejemplo:$\rho =a\cdot \phi$.Espiral de Arquímedes​

Curva elemental

Un conjunto$\mathbb {\gamma }$de puntos del espacio se denominarácurva elementalsi es la imagen obtenida en el espacio por una aplicación topológica​ de un segmento abierto de recta.​

Sea γ una curva elemental y sea a < t < b el segmento abierto del que se obtiene la aplicación f de la curva correspondiente al punto t del segmento. El sistema de igualdades

$x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),z=f_{3}(t)$

constituyenecuacionesde la curva$\mathbb {\gamma }$en forma paramétrica.​

Curva simple

La curva, según esta definición, pueden ser muy intrincadas, de muy diverso tipo. Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto decurva simplecomo aquella curva tal que para todo puntopexiste un Ω entorno abierto deppara el cual$\Omega \cap {\mathcal {C}}$admite una representación de clase$C^{k}$con$k\geq 1$.

La definición de Jordan ha sido cuestionada a partir del descubrimiento del italiano Giuseppe Peano. Este matemático demostró en 1890 que un cuadrado relleno entra dentro de la definición de Jordan, pues logró representar todos los puntos del mismo utilizando dicha definición: trazó todos los puntos del cuadrado con una única curva. Pero es claro que un cuadrado no es, en el sentido convencional del término, una curva. Debido a ello, y al descubrimiento posterir de otros casos similares a los de Peano, se ha planteado la necesidad de mejorar la definición de la definición de lo que es, matemáticamente, una curva.​

Un conjunto$\mathbb {\delta }$de puntos del espacio se denominaracurva simplesi es conjunto conexo y si para todo punto$W$del mismo existe un entorno tal que la parte de$\mathbb {\delta }$,comprendida en él, forma una curva elemental.​

Curva plana

En un sistema decoordenadas cartesianasse han representado lascurvas de algunas raíces, así como de suspotencias,en elintervalo [0,1].La diagonal, de ecuacióny=x,eseje de simetríaentre cada curva y la curva de su inversa.

Unacurva planaes aquella que reside en un soloplanoy puede ser abierta o cerrada. Larepresentación gráfica de una funciónrealde una variable real es una curva plana.​

Curva diferenciable

Una curva se llamadiferenciablecuando la función$\mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}$esdiferenciable.Si además la función anterior esinyectivaen el intervalo$(a,b)\,$entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y esrectificable(lo cual significa que sulongitud de arcoestá bien definida y es posible calcular su longitud. La curva$\mathbf {x} \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$:

$\mathbf {x} (t)={\begin{cases}(t,t\sin \left({\frac {1}{t}}\right))&t>0\\(0,0)&t=0\end{cases}}$

es continua pero no diferenciable, por lo que su longitud entre el punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.

Curva cerrada

Una curva diferenciable escerradacuando$\mathbf {x} \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$cuando$\mathbf {x} (a)=\mathbf {x} (b)$.Si además, la función$\mathbf {x}$esinyectivaen el intervalo$(a,b)\,$entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple. Una curva cerrada simple eshomeomorfaal círculo$S^{1}$,es decir, tiene la misma topología de un anillo. La curva$\mathbf {x} \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$dada por:

$\mathbf {x} (t)=(a\cos(2\pi t),b\sin(2\pi t))$

es una curva diferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejesayb.

Se llama curvacerradaa aquella curva simplehomeomorfacon una circunferencia.​ Se llamaentornode un punto W de una curva simple δ la parte común de la curva δ y un entorno espacial del punto W. Por tanto, todo punto de una curva simple posee un entorno que conforma una curva elemental.​

Curva suave

Cicloide

Se le llamacurva suavea la curva que no posee puntos angulosos. Un ejemplo puede ser elcírculo,laelipse,laparábola,etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo, unacicloide.​

Formalmente, dada una curvaCrepresentada por laecuación paramétrica:

${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$

en unintervaloIcualquiera, essuavesi susderivadasson continuas en el intervaloIy no son simultáneamente nulas, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo.

Suave por partes

Una curvaCessuave por partessi es suave en todo intervalo de alguna partición de I, es decir que el intervalo puede dividirse en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave.

Geometría diferencial de curvas en R³

Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (verde) y vector binormal (rojo) de una curvahélice

La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en elespacio euclídeotridimensional o, más generalmente, curvas contenidas envariedades de Riemann.En particular, en el espacio euclídeo tridimensional$\mathbb {R} ^{3}$,una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por sucurvatura y torsión.Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamadotriedro de Frênet-Serret,que se explica a continuación.

Vectores tangente, normal y binormal

Triedro de Frenet-Serret.Hélice alrededor de un toro

Dada una curva parametrizadar(t) según un parámetro cualquieratse define el llamado vector tangente, binormal y normal como:

$\mathbf {t} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\right\|}}$

$\mathbf {b} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\right\|}}$

$\mathbf {n} (t)=\mathbf {b} (t)\times \mathbf {t} (t)$

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido comotriedro de Frênet-Serret.Es interesante que para unapartículafísica desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad oaceleración normal.

Curvas no diferenciables

Porción de una curva de Koch. La extrema rugosidad que presenta hace que sudimensión fractalsea 1,261… > 1 aunque, como curva, sudimensión topológicasigue siendo 1.

Cuando la función que define la curva es diferenciable se dice que la curva es diferenciable. Una curva diferenciable tiene la propiedad de admitir unarecta tangenteen cada uno de sus puntos. Una curva con un número finito de puntos donde no es diferenciable es una curva diferenciable a tramos. Cuando el número de puntos no es finito puede darse el caso de una curva continua no sea rectificable en ningún punto, eso significa que la tangente no puede definirse en ningún punto. En esos casos lalongitud de la curvano es un número finito y puede darse el caso que la curva tenga una longitud infinita aun cuando ocupe una región finita del espacio. Lacurva de Koches un ejemplo decurva no rectificablede longitud infinita, que encierra un área finita. De hecho esta curva es un objetofractaldedimensión fractal:

$D_{f}={\frac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1,26186\dots$

Véase también

• Curva en el espacio
• Tangente (geometría)
• Geometría analítica
• Teorema de la función implícita
• Función diferenciable
• Derivada
• Geometría diferencial de curvas

Enlaces externos

• Wikimedia Commonsalberga una categoría multimedia sobrecurvas.
• Wikcionariotiene definiciones y otra información sobrecurva.
• Famous Curves IndexArchivadoel 13 de abril de 2006 enWayback Machine.The MacTutor History of Mathematics archive

• Datos:Q161973
• Multimedia:Curves/Q161973