Cifra (matemática)

Los diez dígitos utilizados en la cultura occidental. Con ellos podemos representar gráficamente los números.

Unacifraes unsímboloocarácter gráficoque sirve para representar unnúmero.​ Por ejemplo, los caracteres «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» y «9» son cifras del sistema de numeración arábigo, mientras que los caracteres «I», «V», «X», «L», «C», «D» y «M» son cifras del sistema denumeración romano.

Las cifras se usan también como identificadores en números de teléfono, numeración de carreteras, como indicadores de orden en números de serie, como códigos (ISBN) y en un sinfín de otros ejemplos.

Para un sistema numérico dado conbaseentera, el número de dígitos diferentes necesarios viene dado por elvalor absolutode la base. Por ejemplo, el sistema decimal (base 10) requiere diez dígitos (del 0 al 9), mientras que elbinario(base 2) requiere dos dígitos (0 y 1).​

Historia

Glifos utilizados para representar los dígitos del sistema numérico hindú-árabe.

Europa(descendiente del árabe occidental)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Arábico-Índico	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Árabe oriental-índico(Persa y Urdu)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Devanagari(Hindi)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Tamil		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Se considera que el primersistema numérico posicionalescrito es elsistema numérico hindú-árabe.Este sistema se estableció en el sigloVIIen la India,​ pero todavía no estaba en su forma moderna porque el uso del dígitoceroaún no había sido ampliamente aceptado. En lugar de un cero, a veces los dígitos se marcaban con puntos para indicar su significado, o se utilizaba un espacio como marcador de posición. El primer uso ampliamente reconocido del cero fue en 876.​ Los numerales originales eran muy similares a los modernos, incluso hasta losglifosutilizados para representar los dígitos.​

Los dígitos del sistema numeral maya

En el sigloXIII,losnúmeros arábigos occidentaleseran aceptados en los círculos matemáticos europeos (Fibonaccilos utilizó en suLiber Abaci), y comenzaron a ser de uso común en el sigloXV.​ A finales del sigloXX,prácticamente todos los cálculos no informatizados del mundo se realizaban con números arábigos, que han sustituido a los sistemas numéricos nativos en la mayoría de las culturas.

Otros sistemas numéricos históricos que utilizan dígitos

La antigüedad exacta de losnúmeros mayasno está clara, pero es posible que sea más antiguo que el sistema hindú-árabe. El sistema eravigesimal(base 20), por lo que tiene veinte dígitos. Los mayas utilizaban un símbolo de concha para representar el cero. Los números se escribían verticalmente, con las unidades en la parte inferior. Losmayasno tenían un equivalente delseparador decimalmoderno, por lo que su sistema no podía representar fracciones.

El sistema numérico tailandés es idéntico al sistema numérico hindú-árabe excepto por los símbolos utilizados para representar los dígitos. El uso de estos dígitos es menos común enTailandiaque antaño, pero se siguen utilizando junto con los números arábigos.

Los números de barra, las formas escritas de lasbarras contadorasutilizadas en su día por los matemáticoschinosyjaponeses,son un sistema posicional decimal capaz de representar no sólo el cero, sino también los números negativos. Las propias barras de contar son anteriores al sistema numérico hindú-árabe. Losnumerales de Suzhouson variantes de los numerales de varilla.

Números de varilla (verticales)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
–0	–1	–2	–3	–4	–5	–6	–7	–8	–9

Cifra y numeral

Unnumerales una cadena de cifras utilizada para denotar un número (no un código identificativo). A modo de ejemplo, los numerales «21», «2», «3», «4» y «500» representan en el sistema arábigo los mismos números que los respectivos numerales «XXI», «II», «III», «IV» yD» en el sistema romano.

Cifra y dígito

Unnúmero dígitoes unnúmeroque puede expresarse empleando unnumeralde una sola cifra.​ Por extensión se puede decir que un dígito es cada símbolo o guarismo de los usados para expresar un numeral o un número.

Guarismos enminúsculaspara el sistema decimal

En elsistema decimalson: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Así, 157 se compone de los dígitos 1, 5 y 7. El nombredígitoproviene del latíndígitusdedo, porque los 10dedoscorresponden a los 10 dígitos en el sistema numérico común en base 10, esto es, un dígito decimal.

Enmatemáticasycienciade lacomputación,undígito numéricoes un símbolo, como por ejemplo «3», que usado en combinaciones, como por ejemplo «37», representanúmeros(enterosoreales) ensistemas de numeraciónposicionales.

Por tradición, al menos desde la época delAntiguo Egipto,se usa el sistema decimal, debido al arcaico uso de los diez dedos para ayudarse a contar, aunque no hay ninguna razón especial para que un sistema de numeración deba utilizar la base diez.

En el sistema decimal se necesitan 10 dígitos, aunque tienen diferente valor en función de su posición en el numeral, pues su valor varía de diez en diez, esto es unidades, decenas (10¹), centenas (10²), millares (10³), y así sucesivamente, de modo que un dígito a la izquierda tiene diez veces el valor de la posición dada y a la derecha la décima parte del valor de la misma.​ Para separar valores menores a la unidad se usa el punto decimal (en Europa, la coma). Este método denotación posicional,proviene de laIndiay fue transmitido a Occidente por los matemáticosmusulmanesdurante laEdad Media.

El más simple es elsistema binario,que solo precisa de dos dígitos, generalmente representados por 0 y 1; en el sistema binario varían dos en dos: unidades, parejas (2¹), cuartetas (2²), y así sucesivamente. Es un sistema profusamente empleado eninformática.

Ejemplos de dígitos incluyen cualquiera de los caracteres decimales desde «0» hasta «9», o de los caracteres delsistema binario«0» o «1», y los dígitos «0»...«9», «A»,...,«F» usados en elsistema hexadecimal.En un sistema de numeración dado, si la base (radical,en inglésradix) es un entero, el número de dígitos necesarios, para la parte entera, es igual al siguiente entero del logaritmo del sucesor del número a representar dividido entre el logaritmo de la base. Para la parte fraccionaria el número de dígitos dependerá de la precisión necesaria a manejar.

Signos gráficos

En los sistemas de numeración, losdígitosse combinan para representar distintos números. Si el valor viene determinado por la posición del dígito, se habla denotación posicional.Si los dígitos tienen un valor fijo, que no depende de su posición, se habla de notación aditiva, como, por ejemplo, la numeración romana.

Valor	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1 000	10 000
Cifras árabes, alfabeto occidental		ا	ب	ج	د	ه	و	ز	ح	ط	ي	ك	ل	م	ن	ص	ع	ف	ض	ق	ر	س	ت	ث	خ	ذ	ظ	غ	ش
Cifras árabes, alfabeto oriental		ا	ب	ج	د	ه	و	ز	ح	ط	ي	ك	ل	م	ن	س	ع	ف	ص	ق	ر	ش	ت	ث	خ	ذ	ض	ظ	غ
Cifras árabes oriental	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Cifras árabes extremo oriente	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Cifras chinas o japonesas	〇	Một	Nhị	Tam	Bốn	Năm	Sáu	Bảy	Tám	Chín	Mười									Trăm									Ngàn	Vạn
Cifras europeas	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Cifras griegas iónicas		α	β	γ	δ	ε	ϛ	ζ	η	θ	ι	κ	λ	μ	ν	ξ	ο	π	ϟ	ρ	σ	τ	υ	φ	χ	ψ	ω	ϡ
Cifras hebreas		א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח	ט	י	כ	ל	מ	נ	ס	ע	פ	צ	ק	ר	ש	ת	(ך)	(ם)	(ן)	(ף)	(ץ)
Cifras romanas		I				V					X				L					C				D					M
Cifras thaï	๐	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙

Origen y evolución de la palabra cifra

El cero de los doctos

Cuando los árabes del sigloXadoptaron la numeración de laIndia,tradujeron la palabra «sunya», que significaba ‘vacío’ o ‘en blanco’, por «sifr», ‘vacío’ en árabe. Después, el sistema de numeración indo-arábigo fue introducido enItaliay la palabra «sifr» se latinizó como «zephirum». El proceso comenzó a principios del sigloXIIIy con el correr del tiempo una sucesión de cambios culminó con la palabra italiana «zero».

Casi paralelamente se desarrolló un proceso similar enAlemania.Jordanus Nemorariuscambió la palabra «sifr» por «cifra». Durante un tiempo enEuropaambas palabras denotaban el cero. Como uno de los testimonios de esta etapa, la palabra inglesa «cipher» tiene actualmente dos significados: ‘cifra’, en el sentido moderno, y ‘cero’ en su forma arcaica, de acuerdo a suetimología.

Las palabras «cifra», «chiffre», «cipher», «ziffer» y «zero» representaban elceropara los doctos.

La cifra de las masas

La historia no contempla los títulos y honores de los doctos. Los procesos sociales cambian irremediablemente algunos de los conceptos originales. Cuando la masa adopta un uso, es inútil todo esfuerzo en sentido contrario.

En laEdad Antiguay en laEdad Medialos cálculos eran realizados por expertos. Hasta la adopción definitiva del sistema de posición y el cero, la multiplicación y la división se realizaban por duplicaciones y mediaciones, respectivamente. Por ejemplo, para multiplicar un número por 13 se descomponía al multiplicador en potencias de 2, en este caso, 8 + 4 + 1. El multiplicando se duplicaba dos y tres veces. Luego se sumaban la triple duplicación, la doble duplicación y la cantidad original. La división seguía un proceso análogo pero inverso. Los cálculos demandaban mucho tiempo de trabajo y el costo era elevado. Puede observarse un residuo de esto en la forma en que se subdividen las medidas antiguas, como la pulgada inglesa: medios, cuartos, octavos, dieciseisavos, treintaidosavos.

Los comerciantes de aquellos tiempos debían solventar esos gastos para tener control e información de sus negocios. Cuando llegó a ellos la noticia del nuevo sistema de numeración, vieron muy prontamente la ventaja que les daría. Los cálculos eran fáciles de realizar y ya no hacía falta una formación superior para dominar las operaciones aritméticas. No tendrían que pagar por el servicio de un experto.

Es realmente notable que estas personas se dieran cuenta del papel fundamental del cero en el nuevo sistema. La masa identificó todo el sistema con su rasgo más característico, la cifra, usando, entonces, cifra con el sentido de signo numérico que tiene hoy en nuestra civilización. Este uso era totalmente opuesto al significado de la cifra de los doctos.

El secreto y la lucha

Los comerciantes consideraron que era prudente reservar ese uso para ellos, como una ventaja. El sistema se utilizó en secreto. De esta forma, la palabra «cifra» era usada como un signo secreto. De esa etapa sobreviven las palabras «descifrar» y «cifrado». Un código cifrado es un texto de significado inaccesible si no se dispone de la clave. Cuando se obtiene la clave el secreto queda revelado, el código secreto se descifra, «se le quita el cero» o el secreto.

Por motivos egoístas los comerciantes guardaron para sí el sistema. Por otro lado, hubo una reacción de parte de los partidarios de las tradiciones y defensores de antiguas filosofías, a la que se sumaron quienes vivían de los cálculos difíciles de antaño. Por estas razones, el sistema tardó mucho en imponerse. La lucha duró desde el sigloXIhasta el sigloXV.En algunos lugares hasta fue prohibido. Pero hacia principios del sigloXVIya estaba decididamente establecido y no sufrió ningún retraso en su desarrollo.

Los partidarios del sistema de posición se denominaban «algoristas» y los defensores del viejo sistema, «abacistas», porque en sus cálculos utilizaban elábaco.En esos tiempos también «abaci» era sinónimo de aritmética.

El uso actual de la palabra

Una vez que quedó completamente adoptado el nuevo sistema, el uso de la palabra «cifra» en el sentido de un signo numérico estaba tan fuertemente arraigado que fue inútil el esfuerzo de los doctos por volver al significado original de ‘cero’. No tuvieron más remedio que dejar «cifra» con ese sentido y tomar «zero» para designar al espacio vacío hasta llegar al uso que tiene ahora.​

Sistemas digitales modernos

En informática

Los sistemasbinario(base 2),octal(base 8) yhexadecimal(base 16), ampliamente utilizados eninformática,siguen las convenciones delsistema numérico hindú-árabe.​ El sistema binario utiliza sólo los dígitos "0" y "1", mientras que el sistema octal utiliza los dígitos del "0" al "7". El sistema hexadecimal utiliza todos los dígitos del sistema decimal, además de las letras de la "A" a la "F", que representan los números del 10 al 15 respectivamente.​ Cuando se utiliza el sistema binario, el término "bit(s)" se utiliza normalmente como una alternativa para "dígito(s)", siendo uncontenedordel término "dígito binario". Existen términos similares para otros sistemas numéricos, como "trit(s)" para un sistema ternario y "dit(s)" para el sistema decimal, aunque se utilizan con menos frecuencia.

Sistemas inusuales

En ocasiones se han utilizado los sistemasternarioyternario equilibrado.Ambos son sistemas de base 3.​

El ternario equilibrado es inusual por tener los valores de los dígitos 1, 0 y -1. El ternario equilibrado resulta tener algunas propiedades útiles y el sistema se ha utilizado en los ordenadores experimentales rusosSetun.​

Varios autores en los últimos 300 años han señalado una facilidad de lanotación posicionalque equivale a unarepresentación decimalmodificada.Se citan algunas ventajas para el uso de dígitos numéricos que representan valores negativos. En 1840Augustin-Louis Cauchydefendió el uso de larepresentación de dígitos con signode los números, y en 1928Florian Cajoripresentó su colección de referencias para losnumerales negativos.El concepto de representación de dígitos con signo también se ha adoptado enarquitectura de computadoras.

Otros significados

Enastronomíaundígito astronómicoes cada una de las partes iguales en que se divide eldiámetrode los discoslunarysolarpara expresar la importancia de uneclipse.Así, uneclipse de lunade 8dígitosafecta a los dos tercios del diámetro de nuestroplaneta(véasemagnitud de un eclipse).

Véase también

• Cálculo
• Lenguaje formalizado
• Sistema binario
• Bit
• Metrología
• Notación matemática
• Expresión matemática
• Cuenta (matemáticas)

Enlaces externos

• Wikcionariotiene definiciones y otra información sobrecifra.

• Datos:Q82990
• Multimedia:Numerals/Q82990