Discriminante

Polinomios cuadráticos según su discriminante.

Enálgebra,eldiscriminantede unpolinomioes una cierta expresión de loscoeficientesde dicho polinomio que es igual a cerosi y solo siel polinomio tieneraícesmúltiples en elplano complejo.

Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

$ax^{2}+bx+c\,$es$b^{2}-4ac\,$.

El discriminante del polinomio cúbico

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$es$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,$.

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en uncuerpoque no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en sucuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otrasestructuras algebraicasademás de los polinomios, incluyendosecciones cónicas,formas cuadráticasycuerpos de números algebraicos.Los discriminantes en lateoría de números algebraicosestán fuertemente relacionados y contienen información sobreramificaciones.De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

El discriminante de un polinomio

El discriminante de los polinomios cuadráticos

Elpolinomio cuadrático$p(x)=ax^{2}+bx+c$tiene discriminante$\Delta =b^{2}-4ac$,que es la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula de la solución de laecuación de segundo grado.Dados los números reales$a,b,c,$se tiene:

• Si$\Delta >0$,entonces$p(x)$tiene dos raíces reales distintas$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$,y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces.

Si$\Delta =0$,entonces$p(x)$tiene dos raíces coincidentes reales$x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$,y su representación es tangente al eje de abscisas.

Si$\Delta <0$,entonces para$p(x)$,$x_{1,2}\notin \mathbb {R}$y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, para$p(x)$,$x_{1,2}\in \mathbb {C}$.

El discriminante de los polinomios cúbicos

El polinomio cúbico$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$tiene discriminante$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$.

Caso general

El discriminante del polinomio general

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

es, hasta cierto factor, igual aldeterminantede la matriz (2n− 1)×(2n− 1) (Véase también:matriz de Sylvester)

$\left({\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}\\\end{matrix}}\right)$

El determinante de esta matriz se conoce como laresultantede$p(x)$y$p'(x)$,notación$R(p,p')$.El discriminante$D(p)$de$p(x)$viene dado por

$D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,$.

Por

El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por$a_{4}$.

De forma equivalente, el discriminante es igual a

$a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}$

donder₁,...,r_nson las raícescomplejas(contando sumultiplicidad) del polinomiop(x):

${\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}$

Esta segunda expresión clarifica queptiene raíz múltiple si y solo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja).

El discriminante puede definirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera. La fórmula que involucra las raícesr_i igue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio.

Discriminante de una sección cónica

Para unasección cónicadefinida por el polinomio real:

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f= 0,

el discriminante es igual a

b²− 4ac,

y determina laformade la sección cónica. Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe unaelipseo unacircunferencia.Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe unaparábola.Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe unahipérbola.Esta fórmula no funciona en los casos en que el polinomio ya se ha factorizado.

Discriminante de una forma cuadrática

Hay una generalización de las formas cuadráticasQsobre cualquier cuerpoKdecaracterística≠ 2. Pueden expresarse como la suma de términos

a_iL_i²

donde los términosL_ison formas lineales y 1 ≤i≤ndondenes el número de variables. Entonces eldiscriminantees el producto dea_i,tomado enK/K²,y está bien definido. Una forma más invariante de decir lo mismo es que es el determinante de unamatriz simétricaparaQ.

• Datos:Q192487