Espacio afín

No hay puntos distinguidos por definición

Enmatemáticas,particularmente engeometría,unespacio afínes una estructura que surge alolvidarel punto distinguido (origen) de unespacio vectorial.

Históricamente, la noción deespacio afínprocede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de lageometría euclidianaque revisan los conceptos de longitud, asociadas con el dedistanciay de ángulo, propias de la geometría de Euclides.^{[cita requerida]}El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Dado un conjunto no vacío$E$diremos que es unespacio afínasociado a unespacio vectorial$V$si se tiene la siguiente aplicación:​

Visualización del orden de los puntos para$\varphi$o como origen y destino de una traslación.

${\begin{matrix}\varphi:&E\times E&\longrightarrow {}&V\\&(a,b)&\longmapsto &\varphi (a,b)\end{matrix}}$

tal que se cumplan:

1) Fijado un puntoala aplicación$\varphi _{a}$es biyectiva, es decir:

$\forall a\in E,\mathbf {v} \in V,\;\exists!\ b\in E:\varphi (a,b)=\mathbf {v}.$

2) Se tiene larelación de Chasles,es decir:

$\forall \ a,b,c\in E\qquad \varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)\,$

Los elementos de$E$se llamanpuntos.​

Se designa al vector$\varphi (a,b)\,$por la notación${\overrightarrow {ab}}$,así la propiedad 2 se escribe como:

$\forall a,b,c\in E\;\;{\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}$

Ladimensiónde un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación$\varphi$asociados puntosa un único vector, por lo que se dice que el primer punto es elorigeny el segundo elextremo.

Coordenadas

Hay dos tipos desistema de coordenadasfuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.

Coordenadas baricéntricas

Véase también:Coordenadas baricéntricas

SeaAun espacio afín de dimensiónnsobre uncuerpok,y$\{x_{0},\dots,x_{n}\}$sea una base afín deA.Las propiedades de una base afín implican que para cadaxenAexiste una(n+ 1)-tupla$(\lambda _{0},\dots,\lambda _{n})$única dekelementos tal que

$\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$

y

$x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.$

Las$\lambda _{i}$se denominancoordenadas baricéntricasdexsobre la base afín$\{x_{0},\dots,x_{n}\}$.Si losx_ise consideran cuerpos que tienen pesos (o masas)$\lambda _{i}$,el puntoxes, por tanto, elbaricentrode losx_i,y esto explica el origen del término "coordenadas baricéntricas".

Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afínAy el subespacio afín dek^{n+ 1}definido por la ecuación$\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$.

Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.

Coordenadas afines

Unmarco afínde un espacio afín consta de un punto, llamadoorigen,y de unabasedel espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afínAcon un espacio vectorial asociado${\overrightarrow {A}}$,el origenopertenece aA,y la base lineal es una base(v₁,...,v_n)de${\overrightarrow {A}}$(para simplificar la notación, se considera solo el caso de dimensión finita, considerando que el caso general es similar).

Para cada puntopdeA,existe una secuencia única$\lambda _{1},\dots,\lambda _{n}$de elementos del cuerpo base tal que

$p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},$

o equivalentemente

${\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.$

Las$\lambda _{i}$se denominancoordenadas afinesdepsobre el marco afín(o,v₁,...,v_n).

Ejemplo:Engeometría euclídea,lascoordenadas cartesianasson coordenadas afines relativas a unmarco ortonormal,es decir, un marco afín(o,v₁,...,v_n)tal que(v₁,...,v_n)es unabase ortonormal.

Relación entre coordenadas baricéntricas y afines

Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están fuertemente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.

De hecho, dado un marco baricéntrico

$(x_{0},\dots,x_{n}),$

se deduce inmediatamente el marco afín

$(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots,x_{n}-x_{0}\right),$

y si

$\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots,\lambda _{n}\right)$

son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son

$\left(\lambda _{1},\dots,\lambda _{n}\right).$

Por el contrario, si

$\left(o,v_{1},\dots,v_{n}\right)$

es un marco afín, entonces

$\left(o,o+v_{1},\dots,o+v_{n}\right)$

es un marco baricéntrico. Si

$\left(\lambda _{1},\dots,\lambda _{n}\right)$

son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son

$\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots,\lambda _{n}\right).$

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que involucran menos coordenadas que sean independientes. Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo del triángulo

Los vértices de untriángulono plano forman una base afín delplano.Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas(1, 0, 0),(0, 1, 0)y(0, 0, 1).Las rectas que contienen lasaristasson los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. Elinteriordel triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Lasmedianasson los segmentos cuyos puntos tienen dos coordenadas iguales, y elcentroidees el punto de coordenadas(1/3,1/3,1/3).

Cambio de coordenadas

Caso de coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean$\{x_{0},\dots,x_{n}\}$y$\{x'_{0},\dots,x'_{n}\}$bases afines deA.Por cadaxenAhay alguna tupla$\{\lambda _{0},\dots,\lambda _{n}\}$para la cual

$x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.$

De manera similar, para cada$x_{i}\in \{x_{0},\dots,x_{n}\}$de la primera base, ahora se tiene en la segunda base

$x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}$

para alguna tupla$\{\lambda _{i,0},\dots,\lambda _{i,n}\}$.En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que

$\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,$

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots,\,{}}$${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$.

Caso de coordenadas afines

Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean$o$,$\{v_{1},\dots,v_{n}\}$y$o'$,$\{v'_{1},\dots,v'_{n}\}$marcos afines deA.Para cada puntopdeA,existe una secuencia única$\lambda _{1},\dots,\lambda _{n}$de elementos del cuerpo base tal que

$p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},$

y de manera similar, por cada$v_{i}\in \{v_{1},\dots,v_{n}\}$de la primera base, ahora se tiene en la segunda base que

$o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,$

$v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}$

para la tupla$\{\lambda _{o,1},\dots,\lambda _{o,n}\}$y la tupla$\{\lambda _{i,1},\dots,\lambda _{i,n}\}$.Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como

${\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}$

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots,\,{}}$${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$.

Propiedades elementales

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados$a,b,c,d\,$y$a_{1},...,a_{n}\,$puntos cualesquiera en un espacio afín$E\,$.

Tenemos:

${\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\quad \Leftrightarrow a=b\,$

${\overrightarrow {aa}}+{\overrightarrow {aa}}={\overrightarrow {aa}}\Rightarrow$${\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}$. $\Rightarrow )\,Si\,{\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\,y\,{\overrightarrow {aa}}={\vec {0}},$entonces como$\varphi _{a}$es biyectiva, se tiene que$a=b$. $\Leftarrow )\,Si\,a=b\Rightarrow$${\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}\,$.

${\overrightarrow {ba}}=-{\overrightarrow {ab}}\,$

${\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {ba}}={\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}\Rightarrow$${\overrightarrow {ab}}=-{\overrightarrow {ba}}$

${\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {cd}}\quad \Leftrightarrow {\overrightarrow {ac}}={\overrightarrow {bd}}\,$(regla del paralelogramo).

Directo a partir de${\overrightarrow {ac}}+{\overrightarrow {cd}}={\overrightarrow {ad}}={\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bd}}.$

${\overrightarrow {a_{1}a_{n}}}=\sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}$(relación de Chaslesgeneralizada)

Inductivamente se aplica que$\sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}=\sum _{i=1}^{n-2}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}+\quad {\overrightarrow {a_{n-1}a_{n}}}.$

Traslaciones

Dado un espacio afín$E\,$sobre$V\,$mediante$\varphi \,$y un vector$u\in V$,unatraslaciónde vector$u\,$en$E\,$es una aplicación dada por:

${\begin{matrix}T_{u}:&E&\longrightarrow {}&E\\&a&\longmapsto &b&:\varphi (a,b)=u\end{matrix}}$

Observaciones:

Se puede escribir como$T_{u}(a):=\varphi _{a}^{-1}(u)$que está bien definida por ser$\varphi _{a}$biyectiva.

Propiedades

Dados los vectores$u,v\in V$se tiene:

$T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.$

$T_{u}(a)=b\Leftrightarrow$$u=\varphi (a,b)$ $T_{v}(b)=c\Leftrightarrow$$v=\varphi (b,c)$ $T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v}(b)=c$ $\varphi (a,c)=\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=u+v$ $\Rightarrow T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.$

$\forall a,b\in E,\;\exists!u\in V:\;T_{u}(a)=b$

$u:=\varphi (a,b)$y por tanto única por ser$\varphi$una aplicación.

Proposición

Un espacio afín$E\,$sobre$V\,$queda univocamente determinado por el conjunto:​

${\mathcal {T}}=\{T_{u}:E\to E$es aplicación$\forall u\in V\}$

si cumple:

a)$T_{v}\circ T_{u}=T_{v+u}$

b)$\forall a,b\in E,\;\exists!u\in V:\;T_{u}(a)=b.$

Demostración

Sea$\varphi$la aplicación dada por b): $\varphi (a,b):=u$ $\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)$ya que: $T_{u}(a)=b\Leftrightarrow \varphi (a,b)=u$, $T_{v}(b)=c\Leftrightarrow \varphi (b,c)=v$además $T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v+u}(a)=c\Rightarrow \varphi (a,c)=v+u.$ $\varphi _{a}$es biyectiva, es decir,$\forall a\in E,$$\forall u\in V,$$\exists!b\in E:$$\varphi _{a}(b)=u,$por definición equivale a tomar$b:=T_{u}(a),$es única por ser$T_{v}$una aplicación.

Observación:

${\mathcal {T}}$es el conjunto de todas las traslaciones ya que$\exists!b:\varphi _{a}^{-1}(u)=b=T_{u}(a).$

Un espacio afín$E\,$se designa por la terna$(E,V,\varphi )$o$(E,V,T)$según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

$T_{0}=Id.$

$\forall u\in V\;\;T_{\vec {0}}\circ T_{u}=T_{{\vec {0}}+u}=T_{u}\Rightarrow$$T_{\vec {0}}=Id.$

$T_{u}$es biyectiva y$T_{u}^{-1}=T_{-u}.$

$T_{u}\circ T_{-u}=T_{u-u}=T_{\vec {0}}=Id\Rightarrow$$T_{-u}=T_{u}^{-1}.$

Si$T_{v'}\circ T_{u}=T_{u'}\circ T_{v}$entonces$T_{u}=T_{u'}\Leftrightarrow T_{v}=T_{v'}.$

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si$\exists a\in E:T_{u}(a)=T_{v}(a)\Rightarrow u=v$

Por la propiedad b)$T_{u}(a)=b=T_{v}(a)\Rightarrow u=v.$

Ejemplos:

Los espacios vectoriales$V\,$son espacios afines sobre sí mismos.​

Como mera distinción se nota${\vec {V}}$como espacio vectorial y$V$para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación$\varphi$como: ${\begin{matrix}\varphi:&V\times V&\longrightarrow {}&{\vec {V}}\\&(u,v)&\longmapsto &{\vec {w}}&=v-u\end{matrix}}$ Esta aplicación cumple las dos condiciones: 1)$\varphi _{u}$es biyectiva ya que$\varphi _{u}^{-1}({\vec {w}})=w+u.$ 2)$\varphi (u,v)+\varphi (v,w)=(v-u)+(w-v)$$=w-u$$=\varphi (u,w)$ Por tanto es un espacio afín$\square$. Observaciones Traslación de vector${\vec {0}}$en el punto$0.$ Traslación de vector${\vec {u}}$y$-{\vec {u}}.$ Traslación de un vector${\vec {u}}$a${\vec {v}}.$

Dados dos espacios afínes$(E,V,T)$y$(E',V',T')$,entonces también es un espacio afín la terna:​

$(E\times E',V\times V',T\times T')$donde${\begin{matrix}T\times T'_{(u,v)}:&E\times E'&\longrightarrow {}&E\times E'\\&(a,b)&\longmapsto &(T_{u}(a),T'_{v}(b))\end{matrix}}.$

Notación

Se usa como notación algebraica de$u={\vec {ab}}$:​

• $u=b-a,$

• $b=u+a,$

• $a=b-u.$

Consistencia de la notación

En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos,$E,E$y$V\,$,más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos:$u$como vector,$b$como punto extremo de$u$y$a$como punto origen de$u$,también: $u=\varphi (a,b)=b-a$es consecuencia de que$\varphi$es una aplicación, es decir,$\forall a,b\in E,\exists!u\in V:\varphi (a,b)=u,$ $b=\varphi _{a}^{-1}(u)=u+a$es consecuencia de que$\varphi _{a}$es biyectiva, es decir,$\forall a\in E,u\in V,\exists!b\in E:\varphi (a,b)=u$ $a=\varphi _{b}^{-1}(-u)=-u+b$igual que antes,$\forall b\in E,u\in V,\exists!a\in E:\varphi (b,a)=-\varphi (a,b)=-u,$ lo cual justifica la notación. Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo$K\,$por vectores: $\forall \lambda \in K,\lambda u=\lambda {\vec {ab}}=\lambda b-\lambda a,$ de uso puramente cuantitativo, se tiene que:​ Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir: $\forall a,b\in E,\forall \ Alpha,\beta \in K$$\ Alpha a+\beta b$es un vectore si$\ Alpha +\beta =0.$ Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir: $\forall a,b\in E,\forall \ Alpha,\beta \in K$$\ Alpha a+\beta b$es un punto si$\ Alpha +\beta =1.$ No queda definido un sentido para el resto de casos.

• Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín

Unsubespacio afínes un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado$E\,$un espacio afín sobre$V\,$mediante$\varphi$y$U\subset V$un subespacio vectorial. Se espera que$F\,$sea un espacio afín sobre$U\,$con$\varphi _{\vert F\times F}$por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2)$\varphi (a,b)+\varphi (b,c)$$=\varphi (a,c)$es heredado del espacio afín$E\,$

1)$\varphi _{a}$es biyectiva, es decir:

${\begin{matrix}\varphi _{a}:&F&\longrightarrow {}&U\\&b&\longmapsto &b-a&=v\\b=&v+a&\longleftarrow &v\end{matrix}}$

de donde se deduce que$F-a\subset U$y$U+a\subset F$por tanto solo se ha de verificar que$F=a+U$para cualquier$a\in F$,es decir,$F\,$ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.​

Dado un espacio afín$E\,$sobre$V\,$,$a\in E$y$U\subset V$un subespacio vectorial. Llamaremosvariedad linealpor$a\,$y dirección$U\,$al conjunto$F\subset E$tal que:

$F:=\{b\in E:b-a\in U\}$$=\{b\in E:b=u+a,u\in U\}$$=\{a+u:u\in U\}$$=a+U.$

Dados$u,v\in E$diremos que pertenecen a un mismo espacio$F\,$de dirección$U\,$si$u-v\in U$.

La relación anterior es unarelación de equivalencia

Se considera la relación$x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in U\rangle$y se comprueban: Propiedad reflexiva: Dado un elemento$x\in F$se tiene que$x-x={\vec {0}}\in U.$ Propiedad de simetría: Dados dos elementos$x,y\in F$se tiene que si$x-y=v\in U$entonces$-v\in U$es decir$y-x\in U.$ Propiedad transitiva: Dados tres elementos$x,y,z\in F$se tiene que si$x-y\in U$y$y-z\in U$entonces$U\ni (x-y)+(y-z)=x-z$es decir$x-z\in U.$

Véase también

• Transformación afín

Bibliografía

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• Manuel Castellet, Irene Llerena,Álgebra lineal y geometría,Editorial reverté, S.A., 2000.

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• Datos:Q382698