Cuantificador existencial

En el lenguaje de predicados enlógica matemática,se usa el símbolo:$\exists$,llamadocuantificador existencial,antepuesto a unavariablepara decir que "existe al menos" un elemento delconjunto,$B$,al que hace referencia la variable, que cumple laproposiciónescrita a continuación.​

$\exists x\in B$

Existexque pertenece aB.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes$A$y$B$,y$A$es unsubconjuntode$B$:

$A\subset B\;\land \;A\neq B\;\land \;A\neq \varnothing$

existe al menos un elemento$x$de$B$que pertenece a$A$:

$\exists x\in B\;\land \;x\in A\,$

Al afirmar que existe al menos un$x$que pertenece a$B$y pertenece a$A$,quiere decir que no todos los elementos de$B$pertenecen a$A$,al ser$A$y$B$conjuntos distintos, existe al menos un elemento$y$de$B$que no pertenece a$A$:

$\exists y\in B\;\land \;y\notin A\,$

Que podemos leer: existe al menos un elemento$y$en$B$,y este elemento$y$no pertenece a$A$.

Cuantificador de existencia única

Como relataJohn F. Sowa​ (p. 475), a partir de la distinción queBertrand RussellyAlfred North Whiteheadhicieron en losPrincipia Mathematicaen dos operadores, E! «indicando exactamente uno» y E!! indicando «único»,Stephen Kleene,definió el cuantificador existencial «exactamente uno»$(\exists!x)$,explícitamente:

$(\exists!x)P(x)\equiv _{def}(\exists x)\,(P(x)\,\wedge \neg (\exists y)\,(P(y)\wedge y\neq x))$.

y el propio Sowa, el cuantificador existencial «único»$(\exists!!x)$,implícitamente:

$(\forall x)(\exists!!y)P(x,y)\equiv _{def}(\forall x)(\exists!y)\,(P(x,y)\,\wedge \neg (\exists z)\,(P(x,y)\wedge z\neq y))$.

Hay que notar que en la literatura está muy extendida la denominación «cuantificador de existencia única» para el primero —aunque se mantiene también sobre todo en la literatura inglesa la denominaciónKleene's exactly-one quantifier(basta con hacer una búsqueda en Internet)—, y todo ello a pesar de la confusión que esto puede generar, pues no es precisamente lo mismo «exactamente uno» que «único», como argumenta Sowa. Veámoslo con un ejemplo —adaptado de Sowa (p. 475):

• «Exactamente uno»: «Toda persona tiene exactamente una madre». (Dos personas distintas pueden tener la misma madre, dicho de otra forma, la correspondencia de Personas a Personas que son madres no es inyectiva).

Denotando por$P$el conjunto de las personas, por$D$el conjunto de las personas que son madres y por$M(x,y)$el predicado «$y$es madre de$x$», o bien, «la madre de$x$es$y$», entonces quedaría formalizado así:$(\forall x\in P)(\exists!y\in D)M(x,y)$.

Obsérvese que en este ejemplo la unicidad se refiere a la madre, de ahí que pueda leerse perfectamente como: «Toda persona tiene una única madre», sin embargo no queda explícito que personas distintas puedan ser hijas de la misma madre.

• «Único»: «Toda persona tiene un único número de identidad estatal asociado (por ejemplo, en España, un número de DNI)». (Dos personas distintas no tienen el mismo número, en otras palabras, la correspondencia de Personas a Números es inyectiva).

Denotando por$P$el conjunto de las personas, por$N$el conjunto de números y por$I(x,y)$el predicado «$x$tiene el número de identidad$y$», entonces quedaría formalizado así:$(\forall x\in P)(\exists!!y\in N)I(x,y)$.

Obsérvese que en este ejemplo la unicidad se refiere a ambos, las personas y los números, quedando explícito que personas distintas no pueden tener números distintos.

Si no se especifica nada en contra, al referirse al cuantificador de existencia única se entiende el primero.

Véase también

• Cuantificador universal
• Lógica de primer orden
• Metaontología

Referencias

• Datos:Q773483