Norma vectorial

Engeometríayfísica,unanormaen unespacio vectoriales unoperadorque permite definir una noción de "longitud" o "tamaño" de cualquiervector.Más concretamente, dado un espacio vectorial$V$,unaaplicaciónde$V$en el conjunto de losnúmeros realesse dice que es una norma si es no negativa, se anula únicamente en elvector nuloy satisface ladesigualdad triangulary una especie dehomogeneidad.

El ejemplo por antonomasia es lanorma euclídeaen$\mathbb {R} ^{n}$,definida mediante$\|(x_{1},\dots,x_{n})\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}$,y que se interpreta como la distancia en línea recta al cero.

No obstante, en un mismo espacio vectorial puede haber muchas maneras de definir una norma, y cada una le confiere una estructura distinta deespacio normado.De hecho, en$\mathbb {R} ^{n}$existen otras normas distintas de la euclídea, como la norma$\|\cdot \|_{1}$,también llamadadel taxista.

Todoproducto escalar$\langle,\rangle:V\times V\to \mathbb {R}$produce una norma definida como$\|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$.

Cualquier norma$\|\cdot \|$en$V$genera unadistanciaen$V$mediante$d(x,y)=\|y-x\|$;o en elespacio afínasociado mediante$d(p,q)=\|{\vec {pq}}\|$.

Norma euclídea

En unespacio euclídeoordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como ladistancia euclídea(en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con elmódulodel vector${\vec {AB}}$.

• En dos dimensiones:

$\|{\vec {AB}}\|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}$siendo${\vec {OA}}=(a_{1},a_{2})$y${\vec {OB}}=(b_{1},b_{2})$y O elorigen de coordenadasde dicho espacio.

• Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:

$\|{\vec {AB}}\|={\sqrt {{(b_{1}-a_{1})^{2}}+{(b_{2}-a_{2})^{2}}+{(b_{3}-a_{3})^{2}}}}$siendo${\vec {OA}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$y${\vec {OB}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$

• En el caso general de un espacio euclídeo dendimensiones se tiene:

$\|{\vec {AB}}\|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+...+(b_{n}-a_{n})^{2}}}$siendo${\vec {OA}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$y${\vec {OB}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$.

De lo anterior se sigue que, fijada unabaseortonormal${\mathcal {B}}$en la que un vector$\mathbf {v}$viene dado por sus componentes en esta base,$\mathbf {v} _{\mathcal {B}}=(v_{1},v_{2},\cdots,v_{n})$,entonces la norma de dicho vector viene dada por:

$\|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}$

Definición general

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:

• Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.
• La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
• La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular:la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado, también generalizada en ladesigualdad de Cauchy-Schwarz). Se presentan dos maneras de forma, una casi directa y apunta a lo dicho: longitud de vector. La otra usa la noción de operador y mayor simbolismo de la matemática formal (tipo Bourbaki).

Esto motiva la siguiente definición:

Norma vectorial Sea$V$unespacio vectorialsobre uncuerpo$\mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ ó }}\mathbb {C}$. Se dice que ${\begin{aligned}\|\cdot \|:V&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto \|x\|\end{aligned}}$ es unanormaen$V$si verifica: No negatividad: $\|x\|\geq 0\quad \forall x\in V$. Además,$\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$. Homogeneidad: $\|kx\|=|k|\cdot \|x\|\quad \forall x\in V,\forall k\in \mathbb {K}$. Desigualdad triangular: $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall x,y\in V$.

Al número$\|x\|$se le llamanormadel vector$x$.

Al par$(V,\|\cdot \|)$se le denominaespacio normado.

Obsérvese que la condición$\|x\|\geq 0\quad \forall x\in V$(no negatividad) se deriva del resto, por lo que realmente se podría eliminar. En efecto,$0=\|0\|=\|x-x\|\leq \|x\|+\|-x\|=\|x\|+\|x\|=2\|x\|$,de donde$\|x\|\geq 0$.

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

• Para cualquier vector$x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$y un$p\geq 1$se define lanorma-pcomo:

  $\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+...+|x_{n}|^{p}}}$.

Así, para el caso$p=1$se obtiene$\|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|$,y para el caso$p=2$se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

• Otro operador norma sería, lanorma infinito:

  $\|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{n}|\}=\max\{|x_{i}|:i=1,\dots,n\}$.

La elección del subíndice$\infty$para esta norma se debe al hecho de que$\lim _{p\to +\infty }\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty }$

• En un espacio vectorial dotado deproducto escalar- unespacio prehilbertiano- existe unanorma asociada al producto escalardefinida como:

  $\|x\|={\sqrt {\langle x,x^{*}\rangle }}$

  donde$x^{*}$es el complejo conjugado de$x$.

Si dicho espacio es unespacio de Hilbertentonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es unespacio de Banach.

Distancia asociada

Dada una norma$\|\cdot \|$en un espacio vectorial$V$,se puede definir unadistanciaasociada mediante

$d(x,y)=\|y-x\|\quad \forall x,y\in V$.

Esto dota a$V$de estructura deespacio métrico,y por consiguiente deespacio topológico.Es decir, en un espacio normado siempre tiene sentido el concepto decercanía.

Ellímite de una sucesióntiene una caracterización especialmente útil:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\ \iff \ \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|=0$.

En$\mathbb {R} ^{n}$todas las normas son equivalentes desde el punto de vista de la convergencia. Esto es, para dos normas cualesquiera$\|\cdot \|_{1}$y$\|\cdot \|_{2}$existen dos constantes$a,b\in \mathbb {R}$tales que

$a\cdot \|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq b\cdot \|x\|_{1}\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$.

En consecuencia, todas las normas en$\mathbb {R} ^{n}$generan la misma topología.

Otras normas

Norma de Lebesgue

$\|v\|_{p}=\left(\int _{0}^{T}|v(t)|^{p}\,{\text{d}}t\right)^{1/p}$en el espacio$L_{p}[0,T],1\leq p<\infty$,formado por todas las funciones escalares medibles $v(t)$definidas sobre$0\leq t\leq T$​

Norma de Sobolev

$\|u\|_{m,p}=\left(\int _{\Omega }\sum _{|\ Alpha |\leq m}|D^{\ Alpha }u|^{p}\,{\text{d}}x\right)^{1/p}$en $C^{m}(\Omega )$el conjunto de todas las funciones reales conmderivadas continuas definidas en $\Omega$,donde este conjunto es acotado y abierto en$R^{n}$​

Véase también

• Tensor métrico
• Espacios vectoriales normados
• Espacios métricos

Referencias

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas(1987).«capítulos 1–5».Topological vector spaces.Springer.ISBN3-540-13627-4.
• Prugovečki, Eduard (1981).Quantum mechanics in Hilbert space(2nd edición). Academic Press. p.20.ISBN0-12-566060-X.(requiere registro).
• Trèves, François (1995).Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels.Academic Press, Inc.pp. 136-149, 195-201, 240-252, 335-390, 420-433.ISBN0-486-45352-9.
• Khaleelulla, S. M. (1982).Counterexamples in Topological Vector Spaces.Lecture Notes in Mathematics936.Springer-Verlag.pp. 3-5.ISBN978-3-540-11565-6.Zbl0482.46002.

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