Adición (matemática)

3 + 2 = 5.​

Laadiciónosumaes laoperación matemáticade composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumaruno,es la forma más básica de contar.

En términos más formales, la suma es una operaciónaritméticadefinida sobre conjuntos de números (naturales,enteros,racionales,irracionales, realesycomplejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos, comoespacios vectorialescon vectores cuyas componentes sean estos números ofuncionesque tengan suimagenen ellos. También se suman matrices.

En elálgebra modernase utiliza el nombresumay su símbolo "+" para representar laoperaciónformal de unanilloque dota al anillo de estructura degrupo abeliano,o la operación de unmóduloque dota al módulo de estructura degrupo abeliano.También se utiliza a veces enteoría de grupospara representar la operación que dota a un conjunto de estructura degrupo.En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.

Historia

El hombreneolíticoya hacía matemática elemental, por lo tanto sabía sumar; pero previamente captó la idea derestar,puesto que sus medios de subsistencia disminuían durante el año, y no le era tan fácil de reponer.

Los egipcios llegaron a sumar lo que se llaman hoy, números naturales y losnúmeros fraccionarios.Los babilonios llegaron a sumar los cuadrados de los números naturales. Los chinos y los hindúes sumaronnúmeros negativos.En el Renacimiento, con el auge de la banca y del comercio, se impuso la suma dedecimales,catapultada por el uso del sistema denumeración decimal.Además se popularizó la adición delogaritmosvulgares, que reemplazaba eficazmente a la multiplicación de números tanto en el comercio, finanzas, astronomía, navegación, etc.​

Con la forma de los diferentes tipos de número, se habla de suma de números reales (o expresiones decimales) y la suma de números complejos, que no es sino la suma de pares ordenados de números reales. Pero sí, con sus propias peculiaridades, tanto al generalizar para racionales y enteros. Además se suman con otros objetos, aun en elálgebra de Boolese habla de suma boleana.​

Propiedades de la suma de números naturales

• Propiedad de cerradurao clausurativa: si$a,b\in S$entonces$a+b\in S$,siendo$S$cualquiera de estos conjuntos:$\mathbb {N},\mathbb {Z},\mathbb {Q},\mathbb {R}$o$\mathbb {C}$.
• Propiedad conmutativa:El arreglo de los sumandos no modifica el resultado:$a+b=b+a$.
• Propiedad asociativa:Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento.​ Un ejemplo es:$a+(b+c)=(a+b)+c$.
• Propiedad distributiva:La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo,$(3+4)\cdot 6=3\cdot 6+4\cdot 6$.
• Propiedad cancelativa:Si$a+c=b+c$entonces$a=b$y recíprocamente.

No funcionan con números naturales

Elemento neutro:Elelemento identidad aditivode los números es el cero, denotado por 0; porque todo número sumado con el 0 da el mismo número como total. Simbólicamente:$a+0=0+a=a$;ejemplo:$0+3=3$​​
Elemento opuesto:Si$a\in S$existe$-a\in S$tal que$a+(-a)=0$.Ejemplo:$7+(-7)=0$

Sumatorio

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leídomás). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es$1+2+4=7$.

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:

• $1+2+3+\cdots +98+99+100$es la suma de los cien primeros números naturales.
• $2+4+8+\cdots +512+1024$es la suma de las diez primeraspotencias de 2.

En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamadosumatorio,y se representa con la letra griegasigmamayúscula (Σ). Por ejemplo:

• $\sum _{k=1}^{100}k$es la suma de los cien primeros números naturales.
• $\sum _{k=1}^{10}2^{k}$es la suma de las diez primeras potencias de 2.
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$es la suma de todos los númerosracionalesde la forma${\frac {1}{k^{2}}}$.

Esta es unasumade una sucesión, cuyo enésimo término es la suma de los primerosntérminos de laserieinfinita;es decir, se sumantodoslos elementos de unconjuntoinfinito; sin embargo, en realidad se calcula ellímitede todos los elementos que se suman y se calcula el límite matemático.

Efectuar una suma

${\color {Blue}\left.{\begin{array}{l}3\to \left\{{\begin{array}{l}{\color {Cyan}\bigstar }\\{\color {Green}\clubsuit }\\{\color {Plum}\blacklozenge }\end{array}}\right.\\\\2\to \left\{{\begin{array}{l}{\color {Red}\blacksquare }\\{\color {Sepia}\spadesuit }\end{array}}\right.\end{array}}\right\}\to 5}$

El procedimiento paradigmático para efectuar sumas de varios números, denominados «sumandos», es el siguiente:

Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades (U), a la izquierda las decenas (D), la siguiente las centenas (C), la siguiente los millares (M), etc.

La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma:

${\begin{array}{rrrrr}&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline \end{array}}{\begin{array}{l}\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\end{array}}$

Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas elementales, colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean más de 10 las decenas se acumulan como un sumando más en la fila deacarreo.

En este caso3más9son12,el2del12se pone en la parte inferior y el1se pasa como acarreo en la columna siguiente.

${\begin{array}{rrrrr}&&&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &&&&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\\\end{array}}$

En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades.

Sumamos el1del acarreo más5,8y6que dan un total de20,el0de20se pone en la parte inferior como resultado y el2se pasa como acarreo a la columna siguiente.

${\begin{array}{rrrrr}&&2&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &&&0&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\\\end{array}}$

Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de acarreo sobre la columna de las centenas las decenas (de unidades de decenas).

En la columna de las centenas tenemos, el2de acarreo, el7y el5que sumados dan14,el4del14se pone en la parte inferior y el1se pasa a la siguiente columna como acarreo.

${\begin{array}{rrrrr}&1&2&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &&4&0&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\\\end{array}}$

Se procede de igual forma con todas las columnas, añadiendo a la columna última de la izquierda las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo.

En la columna de los millares tenemos1de acarreo más el1de sumando que sumados dan2,que se pone en la parte inferior como resultado, al no haber más sumandos damos por finalizada la operación.

${\begin{array}{rrrrr}&1&2&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &2&4&0&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow {\textrm {total}}\\\end{array}}$

Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realización de la suma sin las anotaciones auxiliares sería el siguiente:

${\begin{array}{rrrrr}&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &2&4&0&2\\\end{array}}$

En diversos conjuntos numéricos

Con los naturales

Según laaxiomática de Peanola adición en el conjunto de losnnúmeros naturalesse definen por estas dos condiciones:

1. $p+1=S(p)$
2. $p+S(q)=S(p+q)$,donde$p$y$q$son números naturales;$S$es la funciónsucesorcuyo dominio es$\mathbb {N}$.​

Con los enteros

• Si los sumandos tienen el mismo signo se suman losvalores absolutosy al resultado se le asigna el signo común.
• Si los dos sumandos tienen diferente signo se resta del mayor valor absoluto el menor valor absoluto. A la diferencia se le asigna el signo del número de mayor valor absoluto.​

Con los números racionales

• Cuando tienen el mismodenominador,solamente se suman los numeradores, según la regla de la adición de números enteros y el denominador es el mismo.
• Si tienen diferentes denominadores, todos losnúmeros racionalesse reducen a racionales con el mismo denominador; luego se aplica el criterio inmediato anterior.​

Tablas de sumar

${\begin{array}{c}{\text{Tabla de sumar}}\\\\{\begin{array}{ccccc}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 1}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&1&=&1\\1&+&1&=&2\\2&+&1&=&3\\3&+&1&=&4\\4&+&1&=&5\\5&+&1&=&6\\6&+&1&=&7\\7&+&1&=&8\\8&+&1&=&9\\9&+&1&=&10\\10&+&1&=&11\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 2}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&2&=&2\\1&+&2&=&3\\2&+&2&=&4\\3&+&2&=&5\\4&+&2&=&6\\5&+&2&=&7\\6&+&2&=&8\\7&+&2&=&9\\8&+&2&=&10\\9&+&2&=&11\\10&+&2&=&12\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 3}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&3&=&3\\1&+&3&=&4\\2&+&3&=&5\\3&+&3&=&6\\4&+&3&=&7\\5&+&3&=&8\\6&+&3&=&9\\7&+&3&=&10\\8&+&3&=&11\\9&+&3&=&12\\10&+&3&=&13\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 4}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&4&=&4\\1&+&4&=&5\\2&+&4&=&6\\3&+&4&=&7\\4&+&4&=&8\\5&+&4&=&9\\6&+&4&=&10\\7&+&4&=&11\\8&+&4&=&12\\9&+&4&=&13\\10&+&4&=&14\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 5}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&5&=&5\\1&+&5&=&6\\2&+&5&=&7\\3&+&5&=&8\\4&+&5&=&9\\5&+&5&=&10\\6&+&5&=&11\\7&+&5&=&12\\8&+&5&=&13\\9&+&5&=&14\\10&+&5&=&15\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 6}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&6&=&6\\1&+&6&=&7\\2&+&6&=&8\\3&+&6&=&9\\4&+&6&=&10\\5&+&6&=&11\\6&+&6&=&12\\7&+&6&=&13\\8&+&6&=&14\\9&+&6&=&15\\10&+&6&=&16\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 7}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&7&=&7\\1&+&7&=&8\\2&+&7&=&9\\3&+&7&=&10\\4&+&7&=&11\\5&+&7&=&12\\6&+&7&=&13\\7&+&7&=&14\\8&+&7&=&15\\9&+&7&=&16\\10&+&7&=&17\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 8}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&8&=&8\\1&+&8&=&9\\2&+&8&=&10\\3&+&8&=&11\\4&+&8&=&12\\5&+&8&=&13\\6&+&8&=&14\\7&+&8&=&15\\8&+&8&=&16\\9&+&8&=&17\\10&+&8&=&18\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 9}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&9&=&9\\1&+&9&=&10\\2&+&9&=&11\\3&+&9&=&12\\4&+&9&=&13\\5&+&9&=&14\\6&+&9&=&15\\7&+&9&=&16\\8&+&9&=&17\\9&+&9&=&18\\10&+&9&=&19\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 10}}\\{\begin{array}{rcrcr}0&+&10&=&10\\1&+&10&=&11\\2&+&10&=&12\\3&+&10&=&13\\4&+&10&=&14\\5&+&10&=&15\\6&+&10&=&16\\7&+&10&=&17\\8&+&10&=&18\\9&+&10&=&19\\10&+&10&=&20\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\end{array}}\\\end{array}}$

Véase también

• Sumatorio
• Suma vectorial
• Acarreo
• Función aditiva
• Principio de la suma
• Multiplicación
• División (matemática)
• Resta

Enlaces externos

• Wikcionariotiene definiciones y otra información sobreadición.
• Wikimedia Commonsalberga una categoría multimedia sobreAdición.
• Definición: propiedad asociativa de la suma

• Datos:Q32043
• Multimedia:Addition/Q32043
• Recursos didácticos:Números naturales/La suma