Tridecágono

Tridecágono
Un tridecágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	13
Vértices	13
Grupo de simetría	$D_{13}$,orden 2x13
Símbolo de Schläfli	{13} (tridecágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	$A={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}$ (lado$a$)
Ángulo interior	≈152.308°
Propiedades
Convexo,isogonal,cíclico

Tridecágono regular, con sus ángulos principales

Engeometría,untridecágonoes unpolígonode13ladosy 13vértices.

Propiedades

Un tridecágono tiene 65diagonales,resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono en función del número de lados ($n$):

$D=n(n-3)/2$

La suma de todos losángulos internosde cualquier tridecágono es 1980gradoso$11\pi$radianes.

Tridecágono regular

Untridecágono regulares el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos susángulos internosiguales.Cada ángulo interno del tridecágono regular mide aproximadamente 152º o exactamente$11\pi /13$rad. Cadaángulo externodel tridecágono regular mide aproximadamente 27,69º o exactamente$2\pi /13$rad.

Apotema de tridecagono

Laapotemade un tridecágono regular de lado$L$es​

$a_{p}={\frac {L}{2}}\cdot {\frac {\sin(11\pi /26)}{\sin(\pi /13)}}={\frac {L}{2}}\cdot \cot(\pi /13)\simeq 2,0286\cdot Ledehh4vy$

siendo$\cot$la funcióncotangente.

Perímetro

Elperímetrode un tridecágono regular es el producto de la longitud de uno de sus lados ($L$) por trece (número de lados del polígono):

$P=13\cdot L$

Área

Eláreade un tridecágono regular es

$A={\frac {P\cdot a_{p}}{2}}={\frac {13\cdot L\cdot a_{p}}{2}}$

siendo$P$su perímetro,$L$su lado y$a_{p}$su apotema.

El área únicamente en función de su lado$L$es

$A={\frac {13}{4\tan({\frac {\pi }{13}})}}\cdot L^{2}\simeq 13,1858\cdot L^{2}$

El área únicamente en función de la apotema ($a_{p}$) del polígono es​

$A=13\cdot {\frac {\sin(\pi /13)}{\sin(11\pi /26)}}\cdot a_{p}^{2}=13\cdot a_{p}^{2}\cdot \tan(\pi /13)\simeq 3,2042\cdot a_{p}^{2}$

Construcción

Como 13 es unnúmero primo de Pierpontpero no unnúmero de Fermat,el tridecágono regular no puede serconstruidousandoregla y compás.Sin embargo, se puede construir utilizandoneusiso undispositivo trisectorde ángulos.

La siguiente es una animación de unaconstrucción neusisde un tridecágono regular inscrito en una circunferencia de radio dado${\overline {OA}}=12,$segúnAndrew Gleason,​ basado entrisección del ángulopor medio de untomahawk(azul claro).

Construcción de un tridecágono regular (triskaidecágono) inscrito en una circunferencia de radio$\ overline{OA}=12$(Animación de 1 min 44 s)
Trisección de un ángulo mediante untomahawk(azul celeste). Esta construcción se deriva de la siguiente ecuación:
$12\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)=2{\sqrt {26-2{\sqrt {13}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {{\sqrt {3}}\left({\sqrt {13}}+1\right)}{7-{\sqrt {13}}}}\right)\right)+{\sqrt {13}}-1.$

Aquí se muestra una construcción aproximada de un tridecágono regular usando regla ycompás.

Construcción aproximada de un tridecágono

Otra posible animación de una construcción aproximada, también posible con el uso de regla y compás.

Tridecágono, construcción aproximada como animación (3 min 30 s)

Basado en el círculo unitario

• Longitud del lado según la construcción mostrada enGeoGebra,$a=0.478631328575115\;[unidad\;de\;longitud]$
• Longitud del lado del tridecágono$a_{real}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0.478631328575115\ldots \;[unidad\;de\;longitud]$
• Error absoluto en la longitud del lado obtenido:

Hasta la precisión máxima de 15 lugares decimales, el error absoluto es de$F_{a}=a-a_{real}=0.0\;[unidad\;de\;longitud]$

• Ángulo central construido del tridecágono en GeoGebra (se muestran 13 decimales significativos, redondeados)$\mu =27.6923076923077^{\circ }$
• Ángulo central del tridecágono$\mu _{real}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27.{\overline {692307}}^{\circ }$
• Error angular absoluto del ángulo central construido:

Hasta 13 lugares decimales, el error absoluto es$F_{\mu }=\mu -\mu _{real}=0.0^{\circ }$

Ejemplo para ilustrar el error:
En una circunferencia circunscrita de radior = mil millones de km(una distancia que a la luz le costaría recorrer unos 55 minutos), el error absoluto en la longitud del lado construido seríamenor que 1 mm.

Simetría

Simetrías de un tridecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Los ejes de simetría se representan en color azul. Los órdenes de las simetrías de giro se anotan en el centro

El "tridecágono regular" poseesimetría diedralDih₁₃de orden 26. Dado que 13 es unnúmero primo,solo existen un subgrupo con simetría diédrica: Dih₁,y 2 simetríascíclicas:Z₁₃y Z₁.

Estas 4 simetrías se pueden ver en las 4 simetrías distintas del tridecágono.John Conwayclasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación. Asignó la letraral grupo de simetría de la figura regular; y para los subgrupos utilizó la letrad(de diagonal) para las figuras con ejes de simetría solo a través de sus vértices;ppara figuras con ejes de simetría solo a través de ejes perpendiculares a sus lados;ipara figuras con ejes de simetría tanto a través de vértices como a través de centros de lados; ygpara aquellas figuras solo con simetría rotacional. Cona1se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría. Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.​ Solo el subgrupog13no tiene grados de libertad, pero puede verse como ungrafo dirigido.(Véase un ejemplo en laTeoría de grupos de John Conway)

Uso numismático

El tridecágono regular se utiliza como forma en la moneda de20 coronas checas.​

Polígonos relacionados

Untridecagramaes unestrellade 13 lados. Hay 5 formas regulares dadas por lossímbolos de Schläfli:{13/2}, {13/3}, {13/4}, {13/5} y {13/6}. Dado que 13 es primo, ninguno de los tridecagramas son figuras compuestas.

Tridecagramas
Imagen	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
Ángulo interno	≈124.615°	≈96.9231°	≈69.2308°	≈41.5385°	≈13.8462°

Polígonos de Petrie

El tridecágono regular es elpolígono de Petriede unsímplex:

A12
Símplex

Véase también

• Polígono regular

Enlaces externos

• Wikimedia Commonsalberga una categoría multimedia sobretridecágonos.
• Weisstein, Eric W.«Tridecagon».En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research.

• Datos:Q849375
• Multimedia:13-gons/Q849375