Valor absoluto

Enmatemáticas,elvalor absolutoomódulo​ de unnúmero real$x$,denotado por$|x|$,es el valor de$x$sin considerar el signo, sea estepositivoonegativo.​ Por ejemplo, el valor absoluto de$3$es$3$y el valor absoluto de$-3$es$3$.Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo.

El valor absoluto está vinculado con las nociones demagnitud,distanciaynormaen diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de unnúmero realpuede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son loscuaterniones,anillos ordenados,cuerposoespacios vectoriales.

Gráfica de la funciónvalor absoluto.

Definición

Números reales

Para cualquiernúmero real$x$,elvalor absolutoomódulode$x$se denota por$|x|$y se define como:​

$|x|=\left\{{\begin{array}{rcl}x,&{\mbox{si}}&x\geq 0\\-x,&{\mbox{si}}&x<0\end{array}}\right.$

El valor absoluto de$x$es siempre un númeropositivooceropero nuncanegativo:cuando$x$es un número negativo$(x<0)$entonces su valor absoluto es necesariamente positivo$(|x|=-x>0)$.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto de la diferencia entre dos números es la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales, considere$a,b\in \mathbb {R}$entonces

${\begin{aligned}&|a|\geq 0&{\text{No-negatividad}}\\&|a|=0\iff a=0&{\text{Definición positiva}}\\&|ab|=|a||b|&{\text{Propiedad multiplicativa}}\\&|a+b|\leq |a|+|b|&{\text{Desigualdad triangular}}\end{aligned}}$

Otras propiedades útiles son las siguientes

${\begin{aligned}&||a||=|a|\\&|-a|=|a|\\&|a-b|=0\iff a=b\\&|a-b|\leq |a-c|+|c-b|\\&\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\quad {\text{si }}b\neq 0\\&|a-b|\geq ||a|-|b||\end{aligned}}$

estas son consecuencia de la definición o de las primeras cuatro propiedades.

Otras dos propiedades que utilizan desigualdades son

${\begin{aligned}&|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b\\&|a|\geq b\iff a\leq -b\quad {\mbox{o}}\quad a\geq b\end{aligned}}$

Estas relaciones pueden ser utilizadas para resolver desigualdades que involucran el valor absoluto, por ejemplo:

${\begin{aligned}|x-3|\leq 9&\iff -9\leq x-3\leq 9\\&\iff -6\leq x\leq 12\end{aligned}}$

Definición equivalente

Si$x$es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:

1. $|x|={\sqrt {x^{2}}}$
2. $|x|$es igual al máximo de$\{-x,x\}$.​

Relación con las funciones pares

Una aplicación importante del valor absoluto sucede cuando se encuentra dentro de una función par. Es decir: $f(x)=f(|x|)$ Si y solo si, se sabe que$f$es unafunción par.Por ejemplo:

1. $\cos(|x|)=\cos(x)$
2. $\cosh(|x|)=\cosh(x)$
3. $\sec(|x|)=\sec(x)$
4. $|x|^{2}=x^{2}$

Función Valor absoluto

La función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto.

Formalmente, elvalor absolutode todonúmero real$x\,$está definido por:​

${\begin{aligned}|\quad |:\mathbb {R} &\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\\x&\mapsto |x|\end{aligned}}$

que suele expresarse como:

${\text{abs}}(x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rcl}x,&{\mbox{si}}&x\geq 0\\-x,&{\mbox{si}}&x<0\end{array}}\right.$

Por definición, el valor absoluto de$x\,$siempre será mayor o igual queceroy nuncanegativo.

Esta función es continua en toda la recta real y es diferenciable en$\mathbb {R}$menos en$x=0$.

Relación con la función signo

La función real valor absoluto de un número real devuelve su valor sin considerar el signo mientras que lafunción signodevuelve el signo de un número sin considerar su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

$|x|=x\operatorname {sgn} (x)$

o

$|x|\operatorname {sgn} (x)=x$

y para$x\neq 0$

$\operatorname {sgn} (x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}$

Derivada

La función real valor absoluto tienederivadapara cada$x\neq 0$pero no es diferenciable en$x=0$.Su derivada, para$x\neq 0$,está dada por la siguiente función

${\frac {d}{dx}}|x|={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}$

Para$x\neq 0$la derivada de la función valor absoluto es lafunción signo

${\frac {d}{dx}}|x|=\operatorname {sgn} x$

Antiderivada

Laantiderivada(integral indefinida) de la función real valor absoluto es

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C$

donde$C$es unaconstante de integraciónarbitraria.

Distancia

En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para hallar la distancia entre ellos. De hecho, el concepto defunción distancia o métricaen matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto que expresa ladistanciaa lo largo de larecta numérica real.

• Lafunción valor absolutoes unafunción continuaen todo su dominio, con su función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores constantes.
• La función y = x|x|, usando valor absoluto, es una función creciente y continua, su gráfica se obtiene de la gráfica de la parábola y=x²,reflejando la rama izquierda respecto al eje Ox.

El conjunto de los reales con lanormadefinida por el valor absoluto$(\mathbb {R},|\cdot |)$es unespacio de Banach.​

Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo$z\,$es la distancia$r\,$desde$z\,$al origen. Aquí vemos que$z\,$y suconjugado${\bar {z}}\,$tienen el mismo valor absoluto.

La generalización cabe. pues en R y C van a expresar la noción de distancia.

Como losnúmeros complejosno conforman unconjunto ordenadoen el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

$|z|={\sqrt {zz^{*}}}$dondez^*es el conjugado del número complejoz.

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

$z=x+iy\,$

conxeynúmeros reales, elvalor absolutoomódulodezestá definido formalmente por:

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

$|x+i0|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}=|x|$

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende delTeorema de Pitágorasque el valor absoluto de un número complejo corresponde a ladistanciaen elplano complejode ese número hasta elorigen,y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi ),\qquad {\bar {z}}=x-iy$

es elconjugadodez,entonces se verifica que:

$|z|=r\,$

$|z|=|{\bar {z}}|$

$|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman unsubgrupode los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como unendomorfismodelgrupomultiplicativo de los números complejos.

Generalizaciones

Números hipercomplejos

Además de en los números complejos la función valor absoluto puede extenderse anúmeros hipercomplejoscomo loscuaternioneso losoctoniones.En estasálgebras sobre los números realesel valor absoluto de un númerohse define como:

$|h|={\sqrt {h{\bar {h}}}}$

Donde${\bar {h}}$representa elhiperconjungadodeh.

Espacios vectoriales

En espacios vectoriales que no son álgebras sobre los reales, los conceptos demódulo,normayseminormageneralizan la noción de valor absoluto de los números reales.

Números p-ádicos

Elteorema de Ostrowskidemuestra que sobre el cuerpo de los números racionales$\mathbb {Q}$sólo se pueden definir un cierto número de normas no triviales con las propiedades del valor absoluto. Además del valor absoluto ordinario, se pueden definir las normas p-ádicas$|\cdot |_{p}$,que sonno-aquimedeanasy que tienen esencialmente las mismaspropiedades definitoriasdel valor absoluto ordinario, pero da lugar a unaestructura topológicatotalmente diferente.

Programación del valor absoluto

Enprogramación,lafunción matemáticautilizada comúnmente para calcular el valor absoluto esabs().Esta se utiliza en loslenguajes de programaciónFortran,MatlabyGNU Octave(los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en elLenguaje C,donde también son válidas las funcioneslabs(),llabs(),fabs(),fabsf()yfabsl().

La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:

intabs(inti)
{
if(i<0)
return-i;
else
returni;
}

Sin embargo, al tratar concoma flotantesla codificación se complica, pues se debe lidiar con lainfinitudy valoresNaN.^{[cita requerida]}

Con ellenguaje ensambladores posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32bitsen unaarquitectura x86,con la sintaxis deIntel:

cdq
xoreax,edx
subeax,edx

cdqextiende el bit de signo deeaxenedx.Sieaxes no-negativa, entoncesedxse convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejandoeaxsin cambios. Sieaxes negativa, entoncesedxse convierte en0xFFFFFFFF,o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversióncomplemento a dos,dejando el valor absoluto del valor negativo eneax.

Véase también

• Norma vectorial

Referencias y notas

Bibliografía

• Nahin, Paul J.;An Imaginary Tale;Princeton University Press;(hardcover, 1998).ISBN 0-691-02795-1
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Jean Robert Argand»(en inglés),MacTutor History of Mathematics archive,Universidad de Saint Andrews,https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Argand/.
• Schechter, Eric;Handbook of Analysis and Its Foundations,pp 259-263,"Absolute Values",Academic Press (1997)ISBN 0-12-622760-8
• Weisstein, Eric W.«Absolute Value».En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research.
• value Valor absolutoenPlanetMath.

Enlaces externos

• Wikimedia Commonsalberga una galería multimedia sobreValor absoluto.

• Datos:Q120812
• Multimedia:Absolute value/Q120812