Diferentsiaaloperaator

Diferentsiaaloperaatoronmatemaatikasoperaator,mida saab avaldadadiferentseerimisoperaatoritekaudu.

Diferentsiaaloperaatorid võivad ollalineaarsedvõimittelineaarsed operaatorid.Antud artiklis keskendutakse lineaarsetele diferentsiaaloperaatoritele.

Tähistused

Tuntuim diferentsiaaloperaator on arvatavastidiferentseerimisoperaator,mis seabfunktsioonilevastavusse selletuletise(võiosatuletise). Kasutatakse järgmiseid tähistusi:

${d \over dx}$,

$D,\,$kui on selge, millise muutuja suhtes tuletis võetakse,

$D_{x},\,$,kui soovitakse rõhutada, et tuletis võetakse muutujaxsuhtes. Sel juhul on enamasti tegu osatuletisegaxsuhtes.

Ülal kirjeldati esimest järku tuletisi,n-järku tuletisi tähistatakse järgmiselt:

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}},\,D^{n},\,D_{x}^{n}.\,$

TähistustDseostatakseOliver Heaviside'i nimega, kes vaatles diferentsiaaloperaatoreid kujul

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$,

kui tadiferentsiaalvõrrandeiduuris.

Tuntumate osatuletisi sisaldavate operaatorite seas onnabla-operaator,mis on defineeritud kui

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}$,

kus$\{{\vec {e}}_{i}:1\leq i\leq n\}$on vaadeldava ruumibaas,jaLaplace'i operaator:

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}}.$.

Veel üks näide diferentsiaaloperaatorist on Θ operaator ehkteetaoperaator,mis on defineeritud kui

$\Theta =z{d \over dz}.$

Diferentsiaaloperaatorite omadused

Diferentseerimineon lineaarne, st

$D(f+g)=(Df)+(Dg)\,$

$D(af)=a(Df)\,$

kusfjagon funktsioonid jaaon konstant.

Igapolünoom,mille argumendiks onDja mille kordajateks on funktsioonid, st

$\sum _{k=0}^{n}f_{k}D^{k}$,

on samuti lineaarne diferentsiaaloperaator. Nii konstrueeritud diferensiaaloperaatorite järjestikune rakendamine,

$(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)),\,$

annab samuti diferentsiaaloperaatori. Seejuures tuleb tähele panna, et funktsioonid, millele operaatorit rakendatakse nii mitu kordadiferentseeruvadoleks, kui mitu korda vastavaid operaatoreid rakendatakse. Rakendades neid operaatoreid lõputult diferentseeruvatele funktsioonidele moodustavad need operaatorid tehte$\circ$suhtesringi,kusjuures korrutamine$\circ$polekommutatiivne.Näitena võib tuua seose

$Dx-xD=1,\,$

mida kohtab tihtikvantmehaanikas.

Kaasoperaator

Pikemalt artiklisKaasoperaator

Olgu antud lineaarne operaatorT:

$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$.

Selle operaatorikaasoperaatoriksnimetatakse sellist operaatoritT*,mis rahuldab seost

$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$

kus$\langle \cdot,\cdot \rangle$tähistabskalaarkorrutist.Kaasoperaatori kuju sõltub seega sellest, kuidas on defineeritud skalaarkorrutis.

Rakendusnäiteid

• Füüsikas kasutatakse diferentsiaaloperaatoreid, naguLaplace'i operaator,erinevateosatuletistega diferentsiaalvõrranditekoostamisel ja lahendamisel. Kvantmehaanikas esitatakse diferentsiaaloperaatorite abil erinevaidfüüsikalisi suuruseid(ehkvaadeldavaid).

• Üldalgebrasantaksetuletisemõistele puhtalgebraline kuju ning diferentsiaaloperaatoritest saab rääkidamatemaatilist analüüsikasutamata. Neid üldistusi rakendatakse tihtialgebralises geomeetriasjakommutatiivses algebras.

Vaata ka

• Diferentsimisoperaator
• Lineaarne diferentsiaalvõrrand