Hulk

See artikkel on matemaatika mõistest; teiste tähenduste kohta vaata lehekülgeHulk (täpsustus).

Hulgamõiste on üks nüüdisaegsematemaatikapõhimõisteid. Lihtsustatult öeldes on hulk eri objektide kogum. Objekte, mis hulga moodustavad (hulkakuuluvad), nimetatakse selle hulgaelementideks,kusjuures hulk võib sisaldada niilõpliku(sealhulgas ühe) võilõpmatuarvu elemente kui kamitte ühtegielementi.

Esimeste näidetena hulkadest tuuakse sagelifüüsiliste objektidekogumeid: linnuparv, klassitäis õpilasi jne.Matemaatikason hulkade elementideks enamastimatemaatilised objektid,näiteksarvud,kuid hulki võib põhimõtteliselt moodustada mis tahes objektidest. Siiski peab olema täidetud kaks olulist tingimust: hulga elemendid on omavahel eristatavad ja iga objekti puhul peab olema võimalik üheselt otsustada, kas ta kuulub vaadeldavasse hulka või mitte.

Hulga elementideks võivad olla ka teised hulgad. Hulga element ja hulk ise on aga erinevad objektid^[a],mistõttu pole hulk kunagi iseenda elemendiks. Seetõttu ei saa rääkida ka kõikide hulkade hulgast, sest selline hulk peaks sisaldama ka iseennast. Selle asemel räägitakse kõikide hulkadeklassistvõi kõikide hulkade kogumist.^[1]

Mõnikord nimetatakse hulki kakogumiteksvõisüsteemideks.^[2]Viimast väljendit kasutatakse enamasti juhul, kui räägitakse hulgast, mille elemendid on hulgad (vthulkade süsteem).

Ajalugu

Hulgateooriarajas ja hulga mõistele andis esimesena range väljenduseGeorg Cantor 19. sajandilõpus. Pärast Cantorinaiivse hulgateooriaparadokside (näiteksRusselli paradoksvõiCantori paradoks) avastamist, loodi mitmeidaksiomaatilisi hulgateooriaid,millest levinuim onZermelo-Faenkeli hulgateooriakoosvalikuaksioomiga.Arvatakse, et viimases paradokse ei esine.

Tänapäeval põhineb peaaegu kogu matemaatika mõistestik hulgateoorial.20. sajandilõpupoole hakati hulga mõistet kasutamaalushariduses.

Konkreetse hulga määratlemine

Et hulk oleks määratletud, peab iga objekti puhul olema võimalik üheselt otsustada, kas see sellesse hulka kuulub või mitte^[b].Järgnevalt kirjeldatakse erinevaid võimalusi hulkade määratlemiseks.

Määratlemine üldkeele väljendiga

Mõnda hulka saab määratledaüldkeeleväljendiga, näiteks "Eesti Vabariigi presidendid 20. sajandil" või "kõikpaarisarvud1 ja 191 vahel ".

Määratlemine loetlemise abil

Üks viis hulga määratlemiseks on hulga elementide loetlemine.

Matemaatikas tähistatakse loeteluga määratletud hulka avaldisega, milles loetelu esitatakselooksulgudevahel ning loetletavad elemendid on eraldatud komadega, näiteks: {Konstantin Päts,Lennart Meri}. Pikemate loetelude korral on kombeks loetleda esimesed kaks või kolm elementi, kirjutada kolm punkti ning lõpuks tuua ära üks või kaks viimast elementi: näiteks 1-st suuremate ja 191-st väiksemate paarisarvude hulk on {2, 4, 6,..., 188, 190}. Loomulikult on täies mahus loetletavad vaidlõplikud hulgad.Lõputute hulkade puhul lõpetatakse loetelu kolme punktiga, mis tähistab asjaolu, et loetelu ei lõppegi. Näiteks täisarvude hulka võib tähistada järgmiselt: {..., –2, –1, 0, 1, 2,...}.Mõttepunktidekasutamine on õigustatud vaid juhul, kui loetelu täiendamise reegel on kontekstist kergesti leitav. Viimase asjaolu tõttu ei kasutata loetlemist keerukate lõpmatute hulkade defineerimisel.

Hulga määratlemisel on ebaoluline, millises järjekorras elemendid loetletud on. Näiteks {1, 2, 3} ja {3, 2, 1} tähistavad üht ja sama hulka. Mõnikord eelistatakse hulga elemente kirjutada teatud kindlas järjekorras, sest selline esitus võib olla ülevaatlikum. Näiteksreaalarvudestmoodustatud hulga elemente esitatakse tihti kasvavas järjekorras.

Hulk sisaldab identseid elemente vaid üks kord. Seega pole tähtis, mitu korda mõni objekt loetelus esineb. Kui loetelus peaks mõni objekt esinema mitu korda, siis on määratletud sama hulk nagu selle objekti ühekordsel loetlemiselgi. Näiteks {1, 2, 3, 1, 2, 3} on sama hulk mis {1, 2, 3}^[c].

Loetlemisel võib kasutada ka hulga elementemääravaid kirjeldusi.Sel juhul muutub küll hulga elemendi esitusviis, kuid element ise jääb samaks. Näiteks on {taasiseseisvunud Eesti Vabariigi esimene president, 71+71} sama hulk mis {Lennart Meri, 142). Kui soovitakse loetleda väljendeid endid, siis tähistatakse need vastavalt kokkulepitud tähistusviisile, näiteksjutumärkideabil: { "Lennart Meri", "142" } pole sama hulk mis {Lennart Meri, 142}, sest viimasesse kuulub üks inimene ja üks arv, esimesse aga kaks väljendit.

Määratlemine tingimuse abil

Hulk võidakse määratleda tingimuse kaudu, mida mingi üldisema hulga elemendid peavad rahuldama, et olla määratletava hulga elemendid. See tingimus sõnastab hulga elementide iseloomuliku tunnuse, mis neid üldisema hulga teistest elementidest eristab. Niiviisi määratletud hulga tähistamiseks märgitakselooksulgudevahele kõigepealt, millisest hulgast elemendid võetakse, ja seejärel esitataksepüstkriipsu(mõnikord kakooloni) järel tingimus, mida elemendid rahuldama peavad. Näiteks hulkaA,mis sisaldab naturaalarve 2-st 190-ni, võib tähistada järgmiselt:

A=\{n\in \mathbb {N} |n{\text{ on paarisarv}},n>1,n<191\},

kus enne püstkriipsu on öeldud, etnonnaturaalarvude hulgaelement.

Tingimus määratleb hulga ka juhul, kui pole teada, millised objektid seda tingimust rahuldavad. Näiteks altkäemaksu võtnud ametnike hulk on määratletud ka siis, kui pole teada, millised ametnikud altkäemaksu on võtnud.

Selleks et hulk oleks tingimuse abil määratletud, peab tingimus olema sõnastatud ühemõtteliselt, nii et hulga elemendid oleksid üheselt fikseeritud. Ebamäärase sõnastuse puhul hulga määratlemine õnnestuda ei pruugi. Samas ei taga tingimuse ühemõtteline sõnastus ilmtingimata hulga olemasolu. Näiteks "kõikide niisuguste hulkade hulk, mis pole iseenda elemendiks" viibRusselli paradoksini,mille tõttu ei õnnestu määratleda, kas määratletav hulk ise on enda element.

Määratlemine tehete abil

Hulkadega on võimalik teha mitmeidtehteid.Hulk võidakse määratleda ka mõne niisuguse tehtetulemina.

Rekursiivne määratlemine

Hulki saab defineerida karekursiivselt.Seda võimalust kasutatakse eelkõigelõpmatute hulkadepuhul. NäiteksFibonacci arvudehulga kaks esimest elementi on arvud 0 ja 1 ning iga järgmine element on kahe eelmisesumma.

Tähistamine

Tavaliselt tähistatakse hulki suurteladina tähtedegaA,B,C,... ja selle elemente väikesteladina tähtedegaa,b,c,.... Elemendiakuuluvust hulkaAtähistatakse

a\in A

ning öeldakse, et $a$ on hulga $A$ element ehk $a$ kuulub hulka $A$ .Asjaolu, et $a$ ei kuulu hulka $A$ ,tähistatakse

a\notin A

.

Tühi hulk

Tühjas hulgaspole ühtki elementi. See mõiste on vajalik sellepärast, et hulk võib olla määratletud tingimusega, mida ükski objekt ei rahulda. Lisaks on tühja hulga mõiste abil võimalik hulkade kohta käivaid üldiseid väiteid lihtsamalt sõnastada.

Hulkade võrdsus ja hulga ekstensionaalsus

Kaht hulka loetaksevõrdseksehkidentseks parajasti siis, kuimõlemasse hulka kuuluvad ühed ja samad elemendid. HulkadeAjaBvõrdsust tähistatakse võrdusmärgiga:A=B.

Seda asjaolu nimetataksehulga ekstensionaalsuseks^[d].

Hulga ekstensionaalsusest järeldub muuseas, et leidub vaid üks tühi hulk. Tõepoolest, kui oletada, et leidub mõni muu hulk, millel ei ole ühtki elementi, siis ta peab olema tühja hulgaga võrdne, sest neil on "ühed ja samad elemendid".

Alamhulgad

Pikemalt artiklisAlamhulk

Kui hulgaAkõik elemendid kuuluvad hulkaB(siis peab hulgasBolema vähemalt sama palju elemente kui hulgasA), siis öeldakse, et hulkAon hulgaBalamhulkehk osahulk. Seda asjaolu tähistatakse $A\subseteq B$ (või mõnikord ka $A\subset B$ ). Seega on hulgadAjaBvõrdsed (A=B) parajasti siis, kuiAonBalamhulk jaBonAalamhulk. Näiteks onnaturaalarvude hulk $\mathbb {N}$ = {0, 1, 2,...}täisarvude hulga $\mathbb {Z}$ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} alamhulk.

Formaalsemalt võib alamhulga mõiste defineerida järgmiselt: $A\subseteq B$ parajasti siis, kui sellest, et $x\in A$ ,järeldub, et $x\in B$ .Selle definitsiooni järgi on iga hulk iseenda alamhulk: $A\subseteq A$ .Viimasele asjaolule viitab ka alumine kriips sümbolis $\subseteq$ (võrdle märgiga≤).

HulkaAnimetatakse hulgaBpärisalamhulgaks,kuiAonBalamhulk, kuidBpoleAalamhulk. Seda asjaolu tähistatakse $A\subset B$ (või mõnikord ka $A\subsetneq B$ ).

Lõplikud ja lõpmatud hulgad

Hulka, milles onnelementi, kusnon naturaalarv, nimetatakse lõplikuks hulgaksvõimsusegan.Hulka, mis pole tühihulk ja mille elementide arvu ei saa väljendada ühegi naturaalarvu abil, nimetatakselõpmatuks hulgaks.Öeldakse, et sellel hulgal on lõputult palju elemente.

Lõpmatud hulgad erinevad lõplikest veel selle poolest, et nende võimsus ei muutu, kui neist lõplik arv elemente eemaldada: piltlikult öeldes jääb neisse pärast eemaldamist "sama palju" elemente. Kui näiteks eemaldada naturaalarvude hulgast arvud 1 kuni 1 000 000, siis jääb ikkagi alles naturaalarvude võimsusega hulk. Lõplikel hulkadel seda omadust pole: kui lõplikust hulgast eemaldadanelementi, siis hulga võimsus vähenebnvõrra.

Võiks arvata, et lõpmatute hulkade võimsused on võrdsed (kõigil neil on "sama palju" elemente). Nii see siiski pole. Saab näidata, et näiteks naturaalarvude hulga võimsus erinebreaalarvude hulgavõimsusest. Vaata ka artikleidCantori teoreemjaCantori diagonaaltõestus.

Tehted hulkadega

Pikemalt artiklisTehted hulkadega

Hulkadel saab defineerida mitmeid tehteid. Alljärgnevalt esitatakse neist olulisimad:

Hulkade ühisosa

Pikemalt artiklisÜhisosa

Hulkade $A$ ja $B$ ühisosa ehk lõige ehk korrutis koosneb kõikidest elementidest, mis kuuluvad nii hulka $A$ kui ka hulka $B$ .Hulkade $A$ ja $B$ ühisosa tähis on $A\cap B$ .

Kui kahel hulgal pole ühtki ühist elementi, siis neid nimetatakseühisosata hulkadeksehk disjunktseteks hulkadeks. Ühisosata hulkade ühisosa on tühi hulk.

Hulkade ühend

Pikemalt artiklisÜhend

HulkadeAjaBühend ehk summa saadakse, kui võetakse kokku kõik elemendid mis kuuluvad kas hulkaAvõi hulkaBvõi mõlemasse. HulkadeAjaBühendi tähis on $A\cup B$ .

Hulkade vahe

Pikemalt artiklisHulkade vahe

HulkadeAjaBvahesse kuuluvad parajasti need elemendid, mis kuuluvad hulkaA,kuid ei kuulu hulkaB.HulkadeAjaBvahe tähis on $\setminus$ .

Hulga täiend

Pikemalt artiklisHulga täiend

HulgaAtäiendistsaab rääkida, kui on määratletuduniversaalhulkU,mis sisaldab vaadeldavas probleemis käsitlevate hulkade kõikvõimalikke elemente.Atäiendiks universaalhulgaUsuhtes nimetatakse hulkadeUjaAvahetU \ A.

Hulga mõiste defineerimine

Hulga mõiste defineerimine pole lihtne, sest tegemist onalgmõistega.Naiivses hulgateooriashulga mõistet pelgalt selgitatakse. Georg Cantor on öelnud:^[3]

"Hulk on selline kindlate ja omavahel erinevate meie mõttes või kaemuses asuvate objektide kogum, millest saab mõelda kui tervikust. Neid objekte nimetatakse hulga elementideks."

Richard Dedekindileomistatakse hulga mõiste näitlik tõlgendus, mille järgi hulk on nagu kott, mis sisaldab mingeid asju. Selline tõlgendus teeb arusaadavaks ka tühja hulga mõiste: tühi hulk ei ole mitteeimiski,vaid otsekui kott, milles ühtegi asja sees ei ole.

Tänapäeva matemaatikas on elementide omadused määratud ainult eeldatavate elementidevahelistesuhetega(matemaatiliste struktuuridega), mitte elementide endi omadustega. Hulgateoorias on tähtis üksnes eeldatav võimalus elemente üksteisest eristada.

Aksiomaatilise hulgateooriamõnes^[viide?]variandis eristatakse Russelli paradoksi ja teisteantinoomiatevältimiseks hulki jaklasse.Esmalt vaadeldaksekuuluvusseost(elemendiks olemiseseost) klasside vahel ning seejärel defineeritakse hulk klassina, mis on omakorda mõne klassi element. Hulga täielik definitsioon antakse aksiomaatilise hulgateooriaaksiomaatikas.Tuntumad aksiomaatikad onZermelo-Fraenkeli aksiomaatikajaNeumanni-Bernaysi-Gödeli aksiomaatika.

Vaata ka

Kirjandus

Eesti keeles

Jevgeni Gabovitš.Arvudeta matemaatika:populaarne sissejuhatus tänapäeva matemaatikasse, Tallinn: Valgus 1968.
Naum Vilenkin.Jutustusi hulkadest,Tallinn: Valgus 1968.
Peeter Oja.Hulgateooria,Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus 2006.

Võõrkeeltes

Barbara Hall Partee,Alice G. B. ter Meulen,Robert Eugene Wall.Mathematical methods in linguistics,1990, lk 3–11.Google'i raamat

Märkused

^aTänapäeval on arendatud ka aksiomaatilisi hulgateooriaid, kus antud väide ei kehti, st hulgad võivad olla iseenda elementideks. Samuti ei sisalda seda väidet Cantorinaiivne hulgateooria.Lisaks tuleb märkida, et antud nõue pole postuleeritud vaid järeldub näiteksZermelo-Fraenkeli aksiomaatikast. ^bHulga üldistuseks onhägus hulk,milles iga objekti korral on määratud,mil määralta antud hägusasse hulka kuulub; hulkade puhul objekt lihtsalt kuulub või ei kuulu antud hulka. ^cNimetatud asjaolu eristab hulkamultihulgast,mille puhul on oluline ka elemendi esinemise kordade arv, kuid siiski mitte elementide järjekord. ^dNimetus tuleb sellest, et hulk on määratud omaekstensiooniga,mis omakorda tuleneb tema elementide ekstensioonidest. Elemente võidakse küll nimetadaintensioonikaudu, s.o viidates elementide iseloomulikele omadustele, kuid hulga määrab ainult see, millistel elementidel need omadused on, mitte see, milliste omaduste kaudu elementidest räägitakse

Viited

↑P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 5
↑Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
↑Hrbacek K., Jech T, "Introduction to set theory" 3. trükk (1999), lk 1

Välislingid

Wolfram MathWorld: Set(inglise keeles)

[1] P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 5

[2] Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[3] Hrbacek K., Jech T, "Introduction to set theory" 3. trükk (1999), lk 1

[1]

[2]

[3]