Impulsimoment

Impulsimomentehkpöördeimpulssehkliikumishulga momentonmehaanikasdünaamilinesuurus, mis on seotudpöördliikumisega.

Impulsimomendi tähis on$L$jamõõtühiknjuutonmeetersekund (n·m·s).

Punktmassi impulsimoment

Punktmassiimpulsimoment koordinaatide alguspunkti suhtes on

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \,,$

kusron osakesekohavektor,vkiirusevektor,mmassjap= mvimpulss.× tähistabvektorkorrutist.Impulsimoment fikseeritud punktir₀suhtes on

$\mathbf {L} =(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\times \mathbf {p} \,.$

Näiteksnurkkiirusegaω pikiringjoontraadiusegartiirleva punktmassi impulsimomendimoodulon

$L=mr^{2}\omega.\,$

Osakeste süsteemi impulsimoment

Paljudest osakestest koosneva süsteemi koguimpulsimoment on osakeste impulsimomentide summa:

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\,,$

kusr_ioni-nda osakesekohavektor,v_isellekiirusjam_isellemass.(Σ_itähistab summat üle kõigi osakeste.)

Impulsimoment ja massikese

Osakeste süsteemi jaoks on tihti otstarbekas vaadleda impulsimomenti süsteemimassikeskme

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

suhtes, kus

$M=\sum _{i}m_{i}.\,$

tähistab süsteemi kogumassi. Nende suuruste abil saab süsteemi impulsimomendi jagada kahte ossa

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{0}+\mathbf {R} \times M\mathbf {V} \,,$

kusV= dR/dton massikeskme liikumise kiirus ja

$\mathbf {L} _{0}=\sum _{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V} )\,,$

on impulsimomenttaustsüsteemis,kus massikese on paigal, ent kirjeldab seega süsteemi "sisemist" impulsimomenti. SuurusR×MVkirjeldab aga massikeskme liikumisest tingitud impulsimomenti.

Jäiga keha impulsimoment

Nurkkiirusegaωümber omasümmeetriateljepöörlevajäiga kehaimpulsimoment on

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,.$

kusIon kehainertsimomentvaadeldava sümmeetriatelje suhtes.

Impulsimomendi jäävus

Kui osakesele mõjub jõudF,siis on impulsimomendi muutumise kiirus võrdnejõumomendigaM=r×F:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M}.$

Osakeste süsteemi koguimpulsimoment on võrdne süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}\mathbf {M} _{i}.$

Seega isoleeritud süsteemis, väliste jõudude puudumisel, on osakeste süsteemi koguimpulsimoment jääv – viimane väide väljendabimpulsimomendi jäävuse seadust.

TuginedesNoetheri teoreemilesaab impulsimomendi jäävuse järeldada ruumiisotroopsusest,st asjaolust, et ruum on igas suunas ühesugune.

Impulsimoment relatiivsusteoorias

Relatiivsusteooriaskirjeldab impulsimomentiimpulsimomendi 2-vormr∧p,kusron osakese kohavektoraegruumisjaponenergia-impulsi 4-vektorning ∧ tähistabväliskorrutist.Et impulsimoment on Noetheri teoreemi kaudu seotud ruumi isotroopsusega, siis pole see kõverates aegruumides üldjuhul jääv.

Impulsimoment kvantmehaanikas

Kvantmehaanikassaab impulsimoment võtta vaid diskreetseid väärtuseid, mis ontaandatud Plancki konstandi$\hbar$poolarvkordsed. Samuti pole impulsimomendi suund kvantmehaanikas määratud – kvantsüsteemi jaoks saab korraga täpselt määratud olla vaid impulsimomendiprojektsioonühele fikseeritud teljele.

Kvantmehaanikas kirjeldatakse vaadeldavaid suurusiolekuvektoritelemõjuvateoperaatoriteabil. Orbitaalset impulsimomenti kirjeldabimpulsimomendi operaator

${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {x} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,,$

mis onkoordinaatesituseskujul

${\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )\,,$

kus$\nabla$onnabla-operaator.Orbitaalne impulsimomendi (projektsiooni) väärtused saavad olla vaid$\hbar$täisarvkordsed.

Lisaks viimasele võib osake omada ka sisemist impulsimomenti ehkspinni,mille väärtused võivad olla$\hbar$poolarvkordsed. Spinni kirjeldatakse vastava spinni operaatorgaS.Spinniga osakese koguimpulssi kirjeldab operaator

${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}\,.$

Impulsimomendi operaatori komponentide vahel kehtivadkanoonilised kommutatsiooniseosed

$[{\hat {J}}_{l},{\hat {J}}_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}{\hat {J}}_{n}\,,$

kus ε_lmnon (täielikult antisümmeetriline)Levi-Civita sümbolja$[X,Y]=XY-YX$onkommutaator.Neid seoseid rahuldavad eraldi kaLjaSkomponendid.

Vaata ka

• Pöördliikumise energia
• Spinn