Injektiivne funktsioon

See artikkel räägib matemaatika mõistest; geoloogia mõiste kohta vaata artiklitInjektsioon (geoloogia);teiste tähenduste kohta vaata lehekülgeInjektsioon (täpsustus)

---

Joonis illustreerib injektsiooni:hulgaYigalelementon ülimalt üks originaal: elementidelA,BjaDon igaühel üks originaal, elemendilCei ole ühtegi originaali.

Injektiivne funktsioonehkinjektiivne kujutusehkinjektsioonehküksühene kujutusonfunktsioon$f:X\to Y$,mille korralsihthulga$Y$igaelemendi$y$puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi)lähtehulga$X$element$x$,millele funktsioon teda vastavusse seab ($f(x)=y$), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon oninjektiivse seoseerijuht.

Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksemvõimsuskui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente.

Injektiivsefunktsiooni kujutis$\{f(x)|x\in X\}$võib olla sihthulga$Y$pärisalamhulk.Teiste sõnadega, võib olla elemente$y\in Y$,mis ei ole kujutised$f(x)$,(nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioonbijektiivsest funktsioonist,mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis$f(x)$.

Funktsiooni$f:X\to Y$injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga$f:X\hookrightarrow Y$,mis on koostatud märkidest$\subset$ja$\to$.See meenutab hulga$X$sisestamistülemhulka$Y$funktsiooni$f:X\to Y$abil, mis kujutab hulga$X$iga elemendi temaks endaks:$f(x)=x$.

Formaalsed definitsioonid

Olgu$X$ja$Y$hulgad ning$f\colon \,X\to Y$funktsioon hulgast$X$hulka$Y$.
Järgmiseddefinitsioonidon samaväärsed:

• Funktsiooni$f$nimetatakse injektiivseks, kui iga$y$-i korral hulgast$Y$eksisteerib ülimalt üks$x$hulgast$X$,nii et$f(x)=y$.( "Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)
  Formaalselt:$\forall y\in Y\ (\exists!x\in X\colon \,f(x)=y\vee \neg (\exists x\in X\colon \,f(x)=y)).$

• Funktsiooni$f$nimetatakse injektiivseks, kuifunktsiooni väärtuste(muutuja$y$väärtuste) võrdusest järeldubfunktsiooni argumendi$x$väärtuste võrdus.
  Formaalselt:$\forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$

• Funktsiooni$f$nimetatakse injektiivseks, kui argumendi$x$erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.
  Formaalselt:$\forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))$
  

Kui injektiivsusetõestamisekskasutatakse kolmandat tõestust, viib see sagelivastuväitelise tõestuseni.Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem.

Näiteid ja mittenäiteid

Mitteinjektiivne funktsioon

• Iga funktsioon$\{\bullet,\bullet \}\to \{\bullet \}$kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne.
• Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse temaisikukoodi,on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
• Olgu$\mathbb {N}$naturaalarvude hulkja$\mathbb {Z}$täisarvude hulk.

Funktsioon$f_{1}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N},\,x\mapsto 2x$on injektiivne.

Funktsioon$f_{2}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z},\,x\mapsto 2x$on injektiivne.

Funktsioon$f_{3}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N},\,x\mapsto x^{2}$on injektiivne.

Funktsioon$f_{4}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z},\,x\mapsto x^{2}$ei ole injektiivne, sest näiteks$f(1)=f(-1)$.

Omadused

Injektiivsus sõltub ainult graafikust

Funktsiooni$f\colon \,A\to B$injektiivsus sõltub ainultgraafikust$\{(x,f(x))\mid x\in A\}$(erinevaltsürjektiivsusest,mis sõltub ka sihthulgast$B$,mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Injektiivsuse tunnused

Funktsioon$f\colon \,A\to B$on injektiivneparajasti siis, kuikõikide alamhulkade$X,Y\subseteq A$korral$f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)\!\,$.

Funktsioon$f\colon \,A\to B$on injektiivne parajasti siis, kui kõikide$T\subset A$korral$f^{-1}{\big (}f(T){\big )}=T$.

Kategooriateooriaga seotud omadused

Kui funktsioonid$f\colon \,A\to B$ja$g\colon \,B\to C$on injektiivsed, siis ka nendefunktsioonide kompositsioon$g\circ f\colon \,A\to C$on injektiivne.

Kui$g\circ f$on injektiivne, siis$f$on injektiivne.

Funktsioon$f\colon \,A\to B$,mille lähtehulk$A$onmittetühi,on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil$f$onvasakpoolne pöördelement,st funktsioon$g\colon \,B\to A$mille korral$g\circ f=\operatorname {id} _{A}$,kus$\operatorname {id} _{A}$onsamasuskujutushulgal$A$.Hulkade kategooriasSettähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooriavasakult pööratavad morfismidehkkoretraktsioonid.