Kera

Keraonmatemaatikasteatav ruumi punktihulk,kerapinnaehksfäärisisemus.Elementaarmatemaatikasja tavakeeles mõeldaksekeraall kera "tavalises kolmemõõtmelises ruumis" ehk kolmemõõtmeliseseukleidilises ruumis,kuid matemaatikas üldistatakse kera mõistet ka$n$-mõõtmelisele eukleidilisele ruumile (kus$n$on suvalinenaturaalarv) ning veel üldisemalt kõigilemeetrilistele ruumidele.

Kera kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis

Selles alajaotuses nimetatakseruumikskolmemõõtmelist eukleidilist ruumi, nagu sõnaruumigapäevakeeles jaelementaarmatemaatikasmõistetakse.

Definitsioon

Keraon ruumi antudpunktistO teatudkauguselr>0 või lähemal olevate punktidehulk.

Punkti O nimetataksekera keskpunktiksjapositiivsetreaalarvurkeraraadiuseks.Kera on seega punktihulk, milles ühegi punktiXkaugus kera keskpunktistOei ole suurem kui kera raadiusr:

$\{X\in E\:\ \left|OX\right|\leq r\},$

kus$E$on vaadeldava ruumi kõigi punktide hulk.

Kerapinnaksnimetatakse kera keskpunktist O täpselt kauguselrolevate punktide hulka. Kera pind onsfäärehk kerapind.

Keraläbimõõtonsirglõik,mis ühendab kaht kerapinna ehk sfääri punkti ja läbib kera keskpunkti. Kõik diameetrid on võrdsepikkusega.

Kera võib defineerida ka sfääri kaudu: kera on sfäär koos punktidega, mille kaugus sfääri keskpunktist on väiksem kui sfääriraadius(keraraadius). Sel juhul langeb kera keskpunkt kokku sfääri keskpunktiga ja kera raadius sfääri raadiusega. Sfäär osutub niiviisi defineeritava kera pinnaks.

Niiviisi defineeritud kera nimetatakse kakinniseks keraks.Lahtine keraerineb kinnisest kerast selle poolest, et kera pinna punktid on vastavast hulgast välja arvatud:

$\{X\in E\:\ \left|OX\right|<r\}.$

Kera kui pöördkeha

Kera tekibringipöörlemisel ümber omadiameetri,seega on kerapöördkeha.Et kera piirav pind sfäär onpöördpind,siis kera onpöördkeha.Sfääri keskpunkt, raadius ja diameeter on ühtlasi ka kera keskpunktiks, raadiuseks ning diameetriks.

Kera tasapinnalised lõiked

Kera iga tasapinnaline lõige on ring. Mida lähemal on lõiketasand kera keskpunktile, seda suurem on lõikeringi raadius. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis on lõikeringi raadiuseks kera raadius ja lõiget nimetataksesuurringiks.Kõiki teisi lõikeid nimetatakseväikeringideks.Kaht kerapinna punkti, mis ei ole ühe diameetri otspunktideks, läbib ainult üks suurringjoon.

Kera lõikav tasand jaotab ta kahekskera segmendiksja kerapinna kahekssfääri segmendiks.Kera segmendi põhjaks on kera lõige. Mõlema segmendi kõrguseks on segmendi põhjaga ristuv lõik põhja keskpunktist sfäärini. Sfääri osa kahe paralleelse lõiketasandi vahel nimetataksekera vööksja kera osa samade tasandite vahelkera kihiks.Lõiketasandite vaheline kaugus onkihi kõrgus.

Kera puutujatasand

Tasandit,millel on kerapinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse kerapuutujatasandiksselles punktis. Puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.

Kera pindala

Kera pindala arvutamine.

Kerapindalaon:

$S=4\pi r^{2}\,=\pi d^{2}.\,$

Viimane valem on tuletatavpiirväärtusemõiste abil. Selleks leitakse esiteks sama diameetri ümber pöörleva korrapärasekõõlmurdjoonepoolt moodustatud pinna pindala ning vaadeldakse seejärel piirvärtus protsessis, kus murdjoone lülide arv lõpmatusele läheneb.

Kera ruumala

Keraruumalavõrdub ühe kolmandikuga kera pindala ja raadiuse korrutisest:

$V={\frac {1}{3}}\times 4\pi r^{2}\times r={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

n-mõõtmeline kera

n-mõõtmelises eukleidilises ruumisEⁿnimetatakselahtiseks keraksB_r(p) punktistp(kera keskpunktist) väiksemal kaugusel kuir(kera raadius) olevate punktide hulka.

Kera meetrilises ruumis

OlguXmeetriline ruum,kus punktidexjayvahelinekauguson ρ(x,y). Olguameetrilise ruumi fikseeritud element (a∈X) jarpositiivne reaalarv (r>0). Hulka

$B(a,r)=\left\{x\in X:\rho (x,a)<r\right\}$

nimetatakselahtiseks keraksja hulka

${\bar {B}}(a,r)=\left\{x\in X:\rho (x,a)\leq r\right\}$

kinniseks keraks.Elementi$a$nimetataksekera keskpunktiksja arvu$r$kera raadiuseks.

Vaata ka

• Sfäär