Tensor

Pingetensorikomponendid. Pingetensor on kolmemõõtmeline teist järku tensor. Joonisel kujutatud tensor onreavektor$\scriptstyle \sigma ={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\end{bmatrix}}$jõududest,mis mõjuvadkuubitahkudeleX,YjaZ.Neid jõude kujutavadtulbavektorid.Rea- ja tulbavektoreid, mis tensori moodustavad, saab koos esitadamaatriksina
$\sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

Tensoronlineaaralgebrasmatemaatiline objekt,mis üldistabskalaari,vektori,maatriksijabilineaarse vormimõistet.

Paljusidfüüsikalisi suurusion loomulik vaadelda kahe vektorihulga vaheliste vastavustena. Näitekspingetensorväljendab sisend- ja väljundvektorite vahelist seost.

Tensori mõiste võtsid kasutuseleBernhard RiemannjaElwin Bruno Christoffelning seda arendasid edasiTullio Levi-CivitajaGregorio Ricci-Curbastro.Nende eesmärk oli formuleeridadiferentsiaalmuutkonnadiferentsiaalgeomeetrilisedomadusedRiemanni kõverustensoriabil.

Et tensorid väljendavad vektoritevahelist seost, on nad sõltumatudkoordinaadistikuvalikust. Tensorit on võimalik esitada selle järgi, mida ta teebvektorruumi baasigavõitaustsüsteemiga.Saadakse suurus, mis korrastataksemitmemõõtmeliseks massiiviks.Tensori sõltumatus koordinaatidest avaldub siiskovariantse teisendusena,mis seob ühes koordinaadistikus arvutatud massiivi teises koordinaadistikus arvutatud massiiviga.Tensori järkon selle esitamiseks vajaliku massiivimõõde.Skalaar on 0-järku tensor, sest tema suurus on ainus komponent, nii et teda saab esitada 0-mõõtmelise arvusüsteemina. Vektor on esimest järku tensor, sest teda saab koordinaatide abil esitada komponentide ühemõõtmelise massiivina. Maatriks on teist järku tensor, sest teda saab esitada kahemõõtmelise massiivina. Ja nii edasi:k-järku tensor on esitatav komponentidek-mõõtmelise massiivina. Tensori järk on tema komponendi spetsifitseerimiseks vajalikeindeksitearv.

Terminoloogia

Termin "tensor" ei ole päris ühemõtteline; matemaatikas ja füüsikas mõistetakse seda erinevalt. "Matemaatikaentsüklopeedia" järgi on "tensorarvutusel"kaks tähendust: see on" tensoreid jatensorväljuuuriva matemaatikaharu traditsiooniline nimetus (...). Tensorarvutus jagunebtensoralgebraks(mis onmultilineaarse algebrapõhiosa) jatensoranalüüsiks,mis uuribdiferentsiaaloperaatoreidtensorväljade algebral."

Multilineaarses algebras jadiferentsiaalgeomeetriasmõistetakse tensori all eelkõigevektorruumidetensorkorrutist.Füüsikas mõeldakse tensori all sageli seda, mida matemaatik nimetakstensorväljaks:see seabruumiigalepunktilevastavusse teatud matemaatilise tensori, nii et tensor on punktipidev funktsioon.

Definitsioonid

Tänapäevane definitsioon

$(n,m)$-tüüpitensorüle$d$-mõõtmelisevektorruumi$V$on$m$ruumi$V$ja$n$kaasruumi$V^{*}$(stlineaarsete funktsionaalide(1-vormideruumide ruumil$V$)tensorkorrutiseelement

${\begin{matrix}\tau \in T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}$

Arvudesummat$n+m$nimetataksetensori järguksvõi tensori valentsiks ( "tensori valentsil"on ka teine tähendus).$(n,m)$-tüüpi tensorit nimetatakse$n$korda kovariantseks ja$m$korda kontravariantseks.

Tensor kui multilineaarne funktsioon

Täpselt nii, nagu$(1,0)$-tüüpi kovariantset tensorit võib esitadalineaarse funktsioonina,on$(n,0)$-tüüpi tensorit$\tau$mugav kujutleda$n$vektoriaalse argumendi$v_{i}\in V$funktsioonina$\tau (v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$,mis onlineaarneigaargumendi$v_{i}$järgi (selliseid funktsioone nimetataksemultilineaarseteks funktsioonideks), st mis taheskonstandi$c$korralkorpusest$F$(üle mille on vektorruum defineeritud)

$\tau (v_{1},\ldots,cv_{A},\ldots,v_{n})=c\tau (v_{1},\ldots,v_{A},\ldots,v_{n})$

$\tau (v_{1},\ldots,v_{A}+v_{A}',\ldots,v_{n})=\tau (v_{1},\ldots,v_{A},\ldots,v_{n})+\tau (v_{1},\ldots,v_{A}',\ldots,v_{n}).$

Samamoodi esitub mis tahesvalentsiga$(n,m)$tensor$\tau$$n$vektorija$m$kovektorimultilineaarse funktsionaalina

$\tau (v_{1},v_{2},\ldots,v_{n},\omega ^{1},\omega ^{2},\ldots,\omega ^{m})$

$\tau:V^{n}\times (V^{*})^{m}\to F$

Tensori komponendid

Valime ruumis$V$baasi$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots,\mathbf {e} _{d}\}$,ja vastavalt$\{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots,\mathbf {f} ^{d}\}$onduaalne baaskaasruumis$V^{*}$(s.o$(\mathbf {e} _{a}\cdot \mathbf {f} ^{b})=\delta _{a}^{b}$,kus$\delta _{a}^{b}$onKroneckeri sümbol).

Siis tekib ruumide$(\bigotimes _{i=1}^{n}V)\otimes (\bigotimes _{i=1}^{m}V^{*})$korrutises$\mathrm {T} _{n}^{m}(V)$loomulikul viisil baas

$\{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{n}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{m}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant d$.

Kui defineerida tensor multilineaarse funktsioonina, siis tema komponendid on määratud selle funktsiooni väärtustega baasil$\mathrm {T} _{n}^{m}(V)$:

${\tau _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{m}}=\tau (\mathbf {e} _{j_{1}},\mathbf {e} _{j_{2}},\ldots,\mathbf {e} _{j_{n}},\mathbf {f} ^{i_{1}},\mathbf {f} ^{i_{2}},\ldots,\mathbf {f} ^{i_{m}}),\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant d.$

Pärast seda võib tensori esitada baastensorkorrutistelineaarse kombinatsioonina:

$T=\sum _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{n}}^{}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots,i_{m}}^{}{\tau _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{m}}\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{m}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{n}}.$

Tensori komponentidealaindekseidnimetataksekovariantseteks,ülaindekseidkontravariantseteks.

Näiteks mingi kahekordselt kovariantse tensori$h$lahutus on järgmine:

$h=\sum _{j,k}h_{jk}\mathbf {f} ^{j}\otimes \mathbf {f} ^{k}$

Klassikalisest definitsioonist

Füüsikakirjanduses levinum klassikaline lähenemine tensori defineerimisele alustab tensori esitamisest komponentide kaudu.

Tensorit defineeritaksegeomeetrilise objektina,mida kirjeldatakse mitmemõõtmelisemassiivina,st mitmeindeksiganummerdatud arvude komplektina, ehk teiste sõnadega tabelina (üldjuhul$n$-mõõtmelisena, kus$n$ontensori järk.

Nii onvektor(esimest järku tensor) määratletud ühemõõtmelise massiivina (reana või õigemini tulbana), näitekslineaarne operaatorjaruutvormaga kahemõõtmelise massiivina ehkmaatriksina.Skalaar(0-järku tensor) on määratud ühe arvuga (mida võib vaadelda 0-mõõtmelise massiivina), mis sisaldab ainult ühe elemendi. (Skalaare ja vektoreid on mugav vaadelda tensorite erijuhtudena, sest kõikdefinitsioonidjateoreemidtensorite kohta käivad ka nende kohta ning skalaare ja vektoreid ei ole üldises arutluses tarvis eraldi mainida.)

Defineeritakse tehted tensoritega, mida võib pidada maatriksitehete (näiteksmaatriksite korrutaminejamaatriksi korrutamine vektoriga) ning vektoritehete (näiteksskalaarkorrutis) otseseks üldistuseks. Kui lähtuda tänapäevasest (aksiomaatilisest) definitsioonist, siis need tulenevad otseselt tensorite (multi)lineaarsusest selles definitsioonis.

Formuleering

Tensoreid on palju liike, ja konkreetset tüüpi tensori kirjeldamiseks on tarvis spetsiaalset terminoloogiat. Kui tensorite esitamiseks komponentide kaupa kasutatakseindeksnotatsiooni,on tarvis teada, milliseid piirkondi indeksid hõlmavad. Asja algseks mõistmiseks on kasulik lähtuda arusaamast, et tensoriTsaab moodustada vektorite korrutamise teel (kuigi nõnda pole võimalik saada kõiki tensoreid, vaid tuleb veel kasutadalineaarkombinatsioone). Korrutatud vektorite arv annabtensoriTjärgu,kuna indeksnotatsioon nõuab massiivi, mille komponentide koguarv saadakse vektorite komponentide arvude korrutamisel. Teiste sõnadega, tensori järk ütleb, mitmemõõtmeline see massiiv on, kuna tema suurus sõltub geomeetrilisest rakendusest. Kõige tavalisemat tüüpi tensorid vastavadruutmaatriksile,kuupmassiivilejne, kusjuures kõigil indeksitel on sama piirkond, kuid see ei kitsenda matemaatilisi võimalusi.

Tensori valents

Pikemalt artiklisKovariantne vektor

Pikemalt artiklisKontravariantne vektor

Pikemalt artiklisKovariantne teisendus

Füüsikalistes rakendustes jagunevadmassiiviindeksidvastavalt teisenduste omsadustelekontravariantseteksülaindeksiteksjakovariantseteksalaindeksiteks.Tensori valentson massiiviindeksite arv ja tüüp. Tensorid, mille summaarne järk on sama, kuid valents on erinev, ei ole üldjuhul identsed, sest nende geomeetrilised meetrilised tähendused on erinevad. Ent iga antud kovariantse indeksi saab teisendada kontravariantseks indeksiks ja ümberpöördult, rakendadesmeetrilist tensorit.Seda geomeetrilist operatsiooni nimetatakse üldiseltindeksite tõstmiseksvõiindeksite langetamiseks.

Einsteini kokkulepe

Pikemalt artiklisEinsteini kokkulepe

Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on tensorite kirjutamise viis, mis võimaldab läbi saada ilmasummamärgita,jättes selle implitsiitseks. Lepitakse kokku, et iga korduva indeksi puhul toimub summeerimine: kui indeksitikasutataksetensoravaldiseantud liikmes kaks korda, siis see tähendab, et väärtused tuleb indeksiijärgi summeerida. Sel moel võidakse summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid üldiselt peab sel juhul kõigil indeksitel olema sama piirkond, nii et kõik tähistamata summeeringud onsummad1-stN-ini, kusNon mingi antud arv.

Tensorid tänapäeva matemaatikas

Kuna tensoreid saab esitada komponentide mitmemõõtmeliste massiividena, käituvad nadkoordinaatide teisendustekorral spetsiifilisel moel. Tensorite abstraktne teooria onlineaaralgebraharu, mida nüüd nimetataksemultilineaarseks algebraks.Teisendustega seotud omadus antakse tensoriteleaksiomaatilise definitsiooniga.Tensorite loomus on see, et nad on bilineaarsed, trineaarsed,...,n-lineaarsed, kusnon tensori järk; ühesõnaga multilineaarsed. Tavaliselt defineeritakse matemaatikas teatudvektorruumid;koordinaadistikudjäetakse fikseerimata, kuni vajaduse korral võetakse kasutuselebaasid.Näiteks saab kontravariantseid vektoreid kirjeldada ka1-vormidenaehk kovariantsete vektoritegaduaalse ruumielementidena.

Definitsioon vektorruumide vektorkorrutiste kaudu

OlguV₁,...,V_nvektorruumidüle ühisekorpuseF.Siis saab moodustada nendetensorkorrutiseV₁⊗... ⊗V_n.

Tensor vektorruumilVdefineeritakse siis vektorruumi

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

elemendina, kusV* on ruumiVkaasruum.Paljudes kontekstides tähendabki sõna "tensor" seda.

Kui tensorkorrutises esinebmkordaVjankordaV*, siis öeldakse, et tensor on(m,n)-tüüpiningm-järku kovariantne jan-järku kontravariantne ning tema kogujärk (tensori järk) on 'm+n.On erijuhte: 0-järku tensorid on parajastiskalaarid(korpuseFelemendid), esimest järku kovariantsed tensorid on ruumiVtensorid ning esimest järku kontravariantsed tensorid on ruumiV*elemendid, stlineaarsed funktsionaalidehk1-vormid(sellepärast nimetatakse ruumideVjaV*elemente vastavalt kontravariantseteks ja kovariantseteks vektoriteks). Kõikide (m,n)-tüüpi tensorite ruumi tähistatakse

${\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.$

(1, 1)-tensorite ruum

$V\otimes V^{*}$

on loomulikul moelisomorfsedlineaarteisendusteruumigaV-stV-sse. Reaalse vektorruumiVsisekorrutis,mis on defineeritud kuiV×V→R,vastab loomulikul viisil (0, 2)-tensorile

$V^{*}\otimes V^{*}.$

Mõnes rakenduses nimetatakse seda assotsieeritudmeetrilisele tensorile.

Ühitatavus

Kunatensorsuuruseformaalne matemaatiline definitsioon algab abstraktse lõplikumõõtmelise vektorruumiga${\mathcal {V}}$,mis siis annab ühtsed "ehituskivid" iga tüüpi (iga valentsiga) tensoriteke, on tüüpilistes rakendustes${\mathcal {V}}$puutujaruummõnemuutkonnamõnespunkt.Ruumi${\mathcal {V}}$elemendid esitavad tavaliselt füüsikalisi suurusi, näiteks kiirusi või jõude. Selleks et esitada tensorit konkreetse arvumassiivina, peab olema valitud taustsüsteem, teiste sõnadega ruumi${\mathcal {V}}$kui vektorruumibaas

$\mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e} _{n}\in {\mathcal {V}}.$

Ruumi${\mathcal {V}}$iga vektorit saab selle baasi suhtes "mõõta", st iga

$\mathbf {v} \in {\mathcal {U}}$

korral leiduvad parajasti üks skalaaride massiiv$v^{i}$,nii et (nüüdsest peale kasutameEinsteini kokkulepetja jätamesummamärgidära)

$\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}$

Neid skalaare nimetatakse vektori$\mathbf {v}$komponentideks antud taustsüsteemi suhtes.

Olgu$\varepsilon ^{1},\ldots,\varepsilon ^{n}\in {\mathcal {V}}^{*}$vastavduaalne baas,nii et

$\varepsilon ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta ^{i}{}_{j},$

kus paremal pool onKroneckeri sümbolitemassiiv. Igakovektori(1-vormi)

$\mathbf {\alpha } \in {\mathcal {V}}^{*}$

korral leidub parajasti üks komponentide$\alpha _{i}$massiiv, mille korral

$\mathbf {\alpha } =\alpha _{i}\,\varepsilon ^{i}.$

Üldisemalt, igal tensoril$\mathbf {T} \in {\mathcal {V}}^{m,n}$on ainus esitus komponentide kaudu. See tähendab, leidub parajasti üks skalaaride$T_{j_{1}\ldots j_{n}}^{i_{1}\ldots i_{m}}$massiiv, mille korral

$\mathbf {T} =T_{j_{1}\ldots j_{n}}^{i_{1}\ldots i_{m}}\,\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{m}}\otimes \varepsilon ^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \varepsilon ^{j_{n}}.$

See üleminek komponentidele on sillaks tensorite abstraktse matemaatilise notatsiooni ning viisi vahel, kuidas neid tavaliselt kirjutatakse teoreetilises füüsikas ja tehnikas. Tensorite kirjutamine komponentide kaupa kajastab vaid osaliselt ideed, et tensor on "geomeetriline suurus": ilmneb ainult "kvantitatiivne aspekt", kuid mitte ruumi aspekt. Edasi vaatame, mis juhtub, kui minnakse üle teise taustsüsteemi

${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}\in {\mathcal {V}}.$

Iga kahe taustsüsteemi jaoks leidub parajasti üks pööratav üleminekumaatriks$A^{i}{}_{j}$,millel on omadus, et indeksi$j$kõigi väärtuste korral kehtib taustsüsteemiteisenduse reegel

${\hat {\mathbf {e} }}_{j}=A^{i}{}_{j}\,\mathbf {e} _{i}.$

Olgu$\mathbf {v} \in {\mathcal {U}}$vektor ja tähistagu$v^{i}$ja${\hat {v}}^{i}$vastavaid komponendimassiive nende kahe taustsüsteemi suhtes. Valemist

$\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={\hat {v}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},$

ja taustsüsteemiteisendusest tuletub vektoriteisenduse reegel

${\hat {v}}^{i}=B^{i}{}_{j}\,v^{j},$

kus$B^{i}{}_{j}$on maatriksi$A^{i}{}_{j}$pöördmaatriks,st

$A^{i}{}_{k}B^{k}{}_{j}=\delta ^{i}{}_{j}.$

Seega on vektori komponentide teisendusreegel kontravariantne taustsüsteemi teisendusreegliga. Sellepärast nimetataksegi vektori ülaindekseid kontravariantseteks.

Et näidata kovektorite teisendusreeglit, saab kasutada duaalse baasi teisendusreeglit kujul

${\hat {v}}e^{i}=B^{i}{}_{j}\,\varepsilon ^{j}.$

Siis

$v^{i}=\varepsilon ^{i}(\mathbf {v} ),$

kuna aga

${\hat {v}}^{i}={\hat {v}}e^{i}(\mathbf {v} ).$

Kovektori komponentide teisendusreegel on kovariantne. See tähendab järgmist: olgu$\mathbf {\alpha } \in {\mathcal {V}}^{*}$antud kovektor, ja olgu$\alpha _{i}$ning ${\hat {\alpha }}_{i}$vastavad komponendimassiivid. Siis

${\hat {\alpha }}_{j}=A^{i}{}_{j}\alpha _{i}.$

Ülaltoodud suhet on kerge näidata, sest

$\alpha _{i}=\mathbf {\alpha } (\mathbf {e} _{i}),$

ja

${\hat {\alpha }}_{j}=\mathbf {\alpha } ({\hat {\mathbf {e} }}_{j});$

edasi saab kasutada taustsüsteemi teisendusreeglit.

Ülaltoodu valguses võtab üldist$(m,n)$-tüüpi tensor kuju

${\hat {T}}_{\,j_{1}\ldots j_{n}}^{i_{1}\ldots i_{m}}=A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{n}}{}_{k_{n}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{m}}{}_{j_{m}}T_{l_{1}\ldots l_{n}}^{k_{1}\ldots k_{m}}.$

Kokkuvõttes, kahe tavalise tensoritele lähenemise ühitatavus tähendab, et komponentide kaudu lähenemine ja abstraktne tensorkorrutiste kaudu lähenemine väljendavad eri viisidel üht ja sedasama sisu.

Ühitatavus tensorväljade korral

Tensorväljusaab väljendada kaosatuletistekaudu:

${\hat {T}}_{j_{1}\dots j_{n}}^{i_{1}\dots i_{m}}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{k_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{m}}}{\partial x^{k_{m}}}}{\frac {\partial x^{l_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{l_{n}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{n}}}}T_{l_{1}\dots l_{n}}^{k_{1}\dots k_{n}}.$

Seda nimetatakse mõnikord tensorite teisendusseaduseks. Peetakse silmas, et üldise mittelineaarse koordinaatide teisenduseJacobi maatriksitekomponente saab kasutada samal moel nagu ülalmainitud maatriksiteAjaBkomponente, ja tulenev geomeetriline "seadus" on õige viis tensorväljade äratundmiseks. Selle seaduse saab tuletada samamoodi nagu enne: matemaatiliselt vastab tapuutujakihtkonnale,mitte puutujaruumile, ja asjaolu, et seda seadust rakendataksepideva keskkonna mehaanikas,toetab ta märkust, et rakendused tulenevad puutujaruumist kui põhimudelist.

Ajalugu

Karin Reichon kirjutanud tensorite päritolu üksikasjaliku ajaloo.Selle uurimuse järgi on tensoranalüüs välja kasvanudCarl Friedrich Gaussidiferentsiaalgeomeetria alastest töödest ning formuleeringut on palju mõjutanud19. sajandikeskel arendatudalgebraliste vormidejainvariantide teooria.

Sõna "tensor" võttis1846kasutuseleWilliam Rowan Hamilton,kuid ta ei kasutanud seda tänapäevases tähenduses, vaid mõistis selle allCliffordi algebranormioperatsiooni.Tänapäevases tähenduses võttis sõna "tensor" kasutuseleWoldemar Voigt1898.

Tensorarvutuse töötas 1890. aasta paiku absoluutse diferentsiaalarvutuse nime all väljaGregorio Ricci-Curbastro;ta avaldas selle esmakordselt1892.Paljudele matemaatikutele tegi selle kättesaadavaks Ricci jaTullio Levi-Civitaklassikaline õpikMéthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications( "Absoluutse diferentsiaalarvutuse meetodid ja nende rakendused";1900;hiljem tõlgiti see teistesse keeltesse).

20. sajandilhakati seda valdkonda nimetama tensoranalüüsiks. 1915. aasta paiku formuleerisAlbert Einsteinseda kasutadesüldrelatiivsusteooria.Einstein õppis selle meetodi suurte raskustega geomeeterMarcel Grossmannilt.Levi-Civita algatas siis Einsteiniga kirjavahetuse, et parandada vigu, mis Einstein oli tensoranalüüsi rakendades teinud. Kirjavahetus leidis aset 1915–1917. Seda kirjavahetust iseloomustas vastastikune austus. Kord kirjutas Einstein:"Ma imetlen teie arvutusmeetodi elegantsust; oleks tore ratsutada läbi nende valdkondade tõelise matemaatika hobusel, kuna meietaolised peavad oma teekonna vaevaliselt jalgsi läbi tegema."

Tensorid osutusid kasulikuks ka teistes valdkondades, näitekspideva keskkonna mehaanikas.Mõned tuntud tensorite näiteddiferentsiaalgeomeetriasonruutvormid,näiteksmeetriline tensorjakõverustensor.Hermann Grassmannivälisalgebra19. sajandi keskpaigast on väga geomeetriline tensorite teooria, kuid alles mõne aja pärast avastati, et nii välisalgebra kui kadiferentsiaalvormideteooria kuuluvad loomulikul moel tensorarvutuse juurde.Élie Cartanitööd tegid diferentsiaalvormid ühtedeks põhilisteks matemaatikas rakendatavatest tensorväljadest.

1920. aastatel hakati taipama, et tensoritel on fundamentaalne rollalgebralises topoloogias(näiteksKünnethi teoreemipuhul). Tensoreid kasutatakse ka paljudesüldalgebraharudes, sealhulgashomoloogilises algebrasjaesituste teoorias.Multilineaarset algebrat saab üldistadakorpustestvõetud skalaaridelt üldisematele juhtudele, kuid saadav teooria on vähem geomeetriline ja arvutused keerukamad. Tensorid on 1960. aastatel üldistatud kakategooriateooriasse,kasutadesmonoidaalse kategooriamõistet.